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A. P. M. E. P.

?Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014?

EXERCICE15POINTS

Commun à tous lescandidats

PartieA

Dans le plan muni d"un repère orthonormé, on désigne parC1la courbe représentative de la fonctionf1

définie surRpar : f

1(x)=x+e-x.

1.Justifier queC1passe par le point A de coordonnées (0; 1).

2.Déterminer le tableau de variation de la fonctionf1. On précisera les limites def1en+∞et en-∞.

PartieB

L"objet de cette partie est d"étudier la suite

(In)définie surNpar : I n=? 1

0?x+e-nx?dx.

1.Dans le plan muni d"un repère orthonormé?

O,-→ı,-→??

, pour tout entier natureln, on noteCnla courbe représentative de la fonctionfndéfinie surRpar f n(x)=x+e-nx.

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbeCnpour plusieurs valeurs de l"entiernet la droiteD

d"équationx=1. 1 1 D OA C1 C 2 C 3 C 4 C 6 C 15 C 60

Baccalauréat S 19 juin 2014A. P. M. E. P.

a.Interpréter géométriquement l"intégraleIn.

b.En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite(In)

et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s"appuie pour conjecturer.

2.Démontrer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1,

I n+1-In=? 1 0 e-(n+1)x?1-ex?dx. En déduire le signe deIn+1-Inpuis démontrer que la suite(In)est convergente.

3.Déterminer l"expression deInen fonction denet déterminer la limite de la suite(In).

EXERCICE25POINTS

Commun à tous lescandidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

PartieA

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de com-

munication met en avant les caractéristiques suivantes : — la probabilité qu"une personne malade présente un test positif est 0,99; — la probabilité qu"une personne saine présente un test positif est 0,001.

1.Pourunemaladiequivient d"apparaître,lelaboratoireélaboreunnouveau test.Uneétudestatistique

permet d"estimer quele pourcentagedepersonnes maladesparmilapopulation d"une métropole est

égal à 0,1%. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.

On noteMl"évènement "la personne choisie est malade» etTl"évènement "le test est positif».

a.Traduire l"énoncé sous la forme d"un arbre pondéré. b.Démontrer que la probabilitép(T) de l"évènementTest égale à

1,989×10-3.

c.L"affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? Justifier la réponse. Affirmation : "Si le test est positif, il y a moins d"une chancesur deux que la personne soit ma- lade».

2.Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors quela probabilité qu"une personne testée

positivement soitmaladeest supérieureouégaleà0,95. Ondésigneparxlaproportiondepersonnes atteintes d"une certaine maladie dans la population. À partir de quelle valeur dexle laboratoire commercialise-t-il le test correspondant?

PartieB

La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d"un médicament.

1.Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et920 mg. On admet que la masse en

milligrammes d"uncomprimé prisauhasarddanslaproductionpeut êtremodélisée parune variable aléatoireXqui suit la loi normaleN?μ,σ2?, de moyenneμ=900 et d"écart-typeσ=7.

a.Calculer la probabilité qu"un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10-2.

b.Déterminer l"entier positifhtel queP(900-h?X?900+h)≈0,99 à 10-3près.

Métropole219 juin 2014

Baccalauréat S 19 juin 2014A. P. M. E. P.

2.La chaine de production a été réglée dans le but d"obtenir au moins 97% de comprimés conformes.

primés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce

prélèvement puisse être assimilé à 1000 tirages successifsavec remise.

Le contrôle effectué a permis de dénombrer 53 comprimés non conformes sur l"échantillon prélevé.

Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire? On pourra utiliser un intervalle

de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.

EXERCICE35POINTS

Commun à tous lescandidats

On désigne par (E) l"équation

z

4+4z2+16=0

d"inconnue complexez.

1.Résoudre dansCl"équationZ2+4Z+16=0.

Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.

2.On désigne parale nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal àπ

3.

Calculera2sous forme algébrique.

En déduire les solutions dansCde l"équationz2= -2+2i?

3. On écrira les solutions sous forme

algébrique.

3. Restitution organiséede connaissances

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexez=x+iyoùx?Rety?R, le conjugué de zest le nombre complexezdéfini parz=x-iy.

Démontrer que :

— Pour tous nombres complexesz1etz2,

z1z2=z1·z2. — Pour tout nombre complexezet tout entier naturel non nuln, zn=?z? n.

4.Démontrerquesizestunesolution del"équation (E)alorssonconjugué

zestégalement unesolution de (E).

EXERCICE45POINTS

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

Dansl"espace, on considèreun tétraèdreABCD dontles facesABC,ACD etABD sont destriangles rectangles

et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA].

A ;--→AB,--→AC,--→AD?

del"espace.

1.On désigne parPle plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF).

On note H le point d"intersection du planPet de la droite (DF). a.Donner les coordonnées des points D et F. b.Donner une représentation paramétrique de la droite (DF). c.Déterminer une équation cartésienne du planP. d.Calculer les coordonnées du point H. e.Démontrer que l"angle?EHG est un angle droit.

Métropole319 juin 2014

Baccalauréat S 19 juin 2014A. P. M. E. P.

2.On désigne parMun point de la droite (DF) et partle réel tel que---→DM=t--→DF. On noteαla mesure

en radians de l"angle géométrique ?EMG. Le but de cette question est de déterminer la position du pointMpour queαsoit maximale. a.Démontrer queME2=3

2t2-52t+54.

b.Démontrer que le triangleMEG est isocèle enM.

En déduire queMEsin?α

2? =12?2. c.Justifier queαest maximale si et seulement si sin?α 2? est maximal. En déduire queαest maximale si et seulement siME2est minimal. d.Conclure.

EXERCICE45POINTS

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l"élevagede ses poissons. Tous les ans à la même pé-

riode :

— il vide le bassin B et vend tous les poissons qu"il contenaitet transfère tous les poissons du bassin A

dans le bassin B; — la vente de chaque poisson permet l"achat de deux petits poissons destinés au bassin A. Parailleurs, lepisciculteur achète enplus 200 poissons pourlebassin Aet100 poissons pour lebassin B.

Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on note respectivementanetbnles effectifs de poissons des

bassins A et B au bout denannées. Endébutdepremièreannée,lenombredepoissons dubassinAesta0=200etceluidubassinBestb0=100.

1.Justifier quea1=400 etb1=300 puis calculera2etb2.

2.On désigne parAetBles matrices telles queA=?0 21 0?

etB=?200100? et pour tout entier natureln, on poseXn=?an b n? a.Expliquer pourquoi pour tout entier natureln,Xn+1=AXn+B. b.Déterminer les réelsxetytels que?x y? =A?x y? +B. c.Pour tout entier natureln, on poseYn=?an+400 b n+300? Démontrer que pour tout entier natureln,Yn+1=AYn.

3.Pour tout entier natureln, on poseZn=Y2n.

a.Démontrer que pour tout entier natureln,Zn+1=A2Zn. En déduire que pour tout entier naturel n,Zn+1=2Zn. b.On admet que cette relation de récurrence permet de conclureque pour tout entier natureln, Y

2n=2nY0.

En déduire queY2n+1=2nY1puis démontrer que pour tout entier natureln, a

2n=600×2n-400 eta2n+1=800×2n-400.

4.Le bassin A a une capacité limitée à 10000 poissons.

Métropole419 juin 2014

Baccalauréat S 19 juin 2014A. P. M. E. P.

a.On donne l"algorithme suivant.

Variables :a,petnsont des entiers naturels.

Initialisation : Demander à l"utilisateur la valeur dep.

Traitement : Sipest pair

Affecter ànla valeurp2Affecter àala valeur 600×2n-400. Sinon Affecter ànla valeurp-12Affecter àala valeur 800×2n-400.

Fin de Si.

Sortie : Affichera.

Que fait cet algorithme? Justifier la réponse.

b.Écrire un algorithme qui affiche le nombre d"années pendant lesquelles le pisciculteur pourra

utiliser le bassin A.

Métropole519 juin 2014

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