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Chapitre 1

Nombres

I/ Verite

1) Aectation

EnPython, l'af-

fectation se note par un signe "=".Lorsqu'on souhaite que la variablexsoit egale a 3, on place le nombre 3 dansx: x 3 print ( x)

Des aectations peuvent se succeder :

x 3 x 8 7 print ( x)

2) Propositions

Unepropositionest une armation qui est soit vraie, soit fausse. Par exemple : 1:

2 + 2 = 4est vraie;

2:

8>5est fausse;

3:

2x+ 1 = 3n'est pas une proposition.

Pour la distin-

guer de l'aec- tation, l'egalite est notee par le signe "=" dedouble; de plus, superieur ou egal se note print ( 2+2==4)print( -8>5)print( 2*x+1==3) 1

2CHAPITRE 1. NOMBRES

3) Negation

print notTrue)print( notFalse)

Exercice :

Donner les negations des propositions suivantes :

1: Le triangleABCest isocele enA:.............................................................. 2: Les droitesd1etd2sont paralleles:.............................................................. 3: L'entier naturelnest impair:..............................................................

4) Operations logiques

a) Conjonction La conjonction de deux propositions n'est vraie que si chacune des deux propositions est vraie. print ( 2+2==4and2>3)

Exercice :

Simplier les enonces des conjonctions suivantes :

1:

Le triangleABCest isocele et il a un angle de 60:

2: Les diagonales deABCDsont perpendiculaires et elles ont le m^eme milieu 3: Les droitesd1etd2sont paralleles et elles passent par le pointP: b) Disjonction Des qu'une des propositions d'une disjonction est vraie, toute la disjonc- tion est vraie : print ( 2+2==4or2>3)

II/. NOMBRES ENTIERS3

II/ Nombres entiers

1) Operations en Python

Les operations sont notees respectivement+,-,*et/. L'elevation a une puissance se note avec l'asterisque dedoublee**. Par exemple pour acher le cube de 5, on peut faire print ( 5**3)

Exercice :

Que va acher le programmePythonci-dessous?

print ( 2+3*7)print( -3**2)print( ( -3)**2)print( 5+1/2+3)print( ( 5+1)/(2+3))

2) Reconnaissance

Pythonreconna^t les nombres en achant leurtype. Ainsi,32 et vrai ne sont pas entiers, alors que 3 est entier :le type des pro- positions est une abreviation de booleen, d'apres le nom de George

Boole.

print ( type(3/2)) print( type(3)) print( type(True))

3) Division euclidienne

a) Arrondi L'arrondi entier par defaut d'un nombre positif se noteintenPython: print ( int(3/2)) print( int(3)) b) Quotient Pour obtenir le quotient euclidien de 34 par 13, il sut de faire print ( 34//13)

4CHAPITRE 1. NOMBRES

c) Reste Pour obtenir le reste euclidien de 34 par 13, on utilise le symbole "pourcent" : print ( 34%13)

III/ Nombres reels

1)

Ecriture

Le carre de 2 milliemes est 4 millionniemes :

print ( 0.002**2) L'achage 4e6 veut dire 4106: C'est l'ecriture scientiquedu reel. La presence de l'exposant evite de xer la place de la virgule : enPython, les reels sont dits ottants.

Bien que62

soit entier,Pythonne le sait pas : print ( type(6/2))

Exercice d'algorithmique :

Comment faire pour quePythonreconnaisse62

comme un entier?

2) Programmation objet

a) Proprietes Le reeln'est pas connu parPython. Pour le charger, il faut le recuperer aupres de l'objetmathdont il est unepropriete: frommathimportp iprint( p i) b) Methodes L'expression "racine carree" s'abregesqrt(squareroot). Mais pour acceder a cette fonction enPython, on doit aussi l'importer depuis l'objetmathdont elle est unemethode(ou algorithme) : frommathimports qrtprint( s qrt( 2))

III/. NOMBRES R

EELS5 Le meilleur moyen pour faire des mathematiques avecPython, c'est d'impor- ter toutes les proprietes et toutes les methodes de l'objetmathavec frommathimport*

Dans ce cas, l'asterisque signie

tout.

6CHAPITRE 1. NOMBRES

Chapitre 2

Vocabulaire des evenements

I/

Evenements

1) Description

a) Notation Un evenement est decrit par la liste de ses issues possibles, notee entre accolades.La m^eme nota- tion sera utilisee pour donner la liste des solutions d'une equation ou inequation.b) Exemples

1:On tire une carte d'un jeu de 32. L'evenementla carte est une

dame se noteD=fD};D~;D;D|g.

2:Toujours avec un jeu de 32 cartes, l'evenementla carte est un piquese

noteP=f1;7;8;9;10;V;D;Rg.

3:En lancant un de, l'evenementle resultat est pairse noteA=

f2;4;6g, et l'evenementle resultat est plus petit que 5se note

B=f1;2;3;4g.

2) Cas particuliers

1:L'evenement certainouuniverscontient toutes les eventualites. On

le note . Par exemple, en lancant un de, =f1;2;3;4;5;6g.

2:L'evenement impossibleest au contraire celui qui ne contient aucune

eventualite. Par exemple, en choisissant une carte au hasard dans un jeu de 32, l'evenement la carte est un 37 de foieest impossible.

L'evenement impossible est notef gou;.

7

8CHAPITRE 2. VOCABULAIRE DESEVENEMENTS

3:Lorsqu'un evenement ne contient qu'une eventualite, on dit qu'il est

elementaire. Par exemple : (a)

Av ecun jeu de ca rtes,l' evenement

la carte est l'as de piqueou f1gest elementaire. (b)

Av ecun d e,l' evenement

le de est tombe sur 6est elementaire aussi : C'estf6g.

3) Lancer de de en Python

a) Simulation

Pour lancer un de, on peut faire ceci :

from r andom i mport*print( r andint( 1,6)) b) Univers

Pour faciliter

la suite, on va stocker l'univers dans une variable appeleeomega. omega set(r ange( 1,7)) print( omega) c) Autres evenements pair 2,4,6 petit

1,2,3,4

print ( pair)print( petit)

II/ Operations

1) Contraire

Le contraire d'un evenementA, noteA, est forme des eventualites qui ne sont pas dansA. On l'obtient en enlevantAa omega set(r ange( 1,7)) pair={2,4,6} impair omega pair print ( impair)

II/. OP

ERATIONS9

Exercice :

Donner le contraire des evenements suivants :

1:L'univers :.......................................

2:L'evenement impossible :......................................

3:L'evenementla carte est un pique:........................................

4:L'evenementla carte est rouge:.........................................

5:Quel est le contraire du contraire deA?.....................

2) Conjonction

Le symbole "\"

ressemble a un "n", lettre cen- trale du mot anglaisandqui s'abrege sou- vent par une esperluette &, elle-m^eme ob- tenue par une deformation calligraphique de "Et".L'evenement A et Best forme de toutes les eventualites communes a

A et B. On le noteA\B.

omega set(r ange( 1,7)) pair={2,4,6} petit

1,2,3,4

print ( pair&petit) LorsqueA\B=;, on dit queAetBsontincompatibles. C'est le cas en particulier deAetA: On ne peut pas avoir a la fois un evenement et son contraire.

Exercice :La reciproque est-elle vraie?

3) Disjonction

L'evenement

A ou Best forme de toutes les eventualites qui sont soit dans A, soit dans B. On le noteA[B.Le symbole "[" ressemble a un "u", qui se prononce souvent "ou" dans plusieurs langues. omega set(r ange( 1,7)) pair={2,4,6} petit

1,2,3,4

print ( pair|petit)

10CHAPITRE 2. VOCABULAIRE DESEVENEMENTS

Chapitre 3

Intervalles

I/ Ensembles de nombres

1:L'ensemble des entiers naturels est note?.

2:L'ensemble des entiers (relatifs) est note?.L'initiale

deZahl, nombreen

Allemand.3:L'ensemble des fractions est note?.

4:L'ensemble des reels est note?.

Pour noter qu'un nombrexest entier, on ecritx2?. Pour noter qu'un nombrexn'est pas entier, on ecritx62?.Scoop :62?

II/ Inclusion

Pour dire que tous les entiers sont des fractions, on note??. On dit que?estinclusdans?.

III/ Intervalles de reels

1) Segments

L'ensemble de tous les nombres compris entreaetbest note [a;b]. Plus precisement

1:x2[a;b] veut direa6x6b;

2:x2[a;b[ veut direa6x < b;

3:x2]a;b] veut direa < x6b;

4:x2]a;b[ veut direa < x < b;

11

12CHAPITRE 3. INTERVALLES

2) Intervalles d'entiers

EnPython, les intervalles d'entiers peuvent ^etre denis parrange, suivi par les deux bornes de l'intervalle. L'appartenance s'ecritin. Par exemple, les entiers entre 13 et 21 constituent l' intervalle intervalle

=range( 13,21)print( 0inintervalle)print( 13inintervalle)print( 13.2inintervalle)print( 20inintervalle)print( 23inintervalle)print( 21inintervalle)

En bref, le

"range" en question est mathematiquement decrit par ?\[13;21[.3) Demi-droitesOn prononce plus l'inni.L'ensemble des tous les reels superieurs aaest note ]a;+1[; l'ensemble de tous les reels superieurs ou egaux aaest [a;+1[. Ce sont aussi des intervalles. L'ensemble des nombres inferieurs abest note ] 1;b[. L'ensemble des reels est lui-m^eme un intervalle :?=] 1;+1[. L'ensemble vide est aussi un intervalle : ]4;4[=;.L'intersection de deux intervalles est toujours un intervalle. La reunion de deux intervalles n'est pas forcement un intervalle.IV/ Boucles en Python LesrangedePythonservent avant tout a faire quelque chose de repetitif, par exemple pour ecrire beaucoup de texte : forninr ange( 5):print( 'ligne numero '+str(n))

Chapitre 4

Generalites sur les fonctions

I/ Exemple

Si on modie le rayonxd'une boule, on modie egalement son volume : On dit que le volumeVestfonctiondu rayonx.On rappelle que

V(x) =43

x3.En Python, on peut ecrire frommathimport*defV(x):return4/3*pi*x**3

II/ Denitions

1) Image

On dit queV(x) est l'imagedex.

Par exemple, l'image de 10 estV(10) =43

103'4189 cm3soit environ

4,2 litres.

2) Antecedent

On dit quexest l'antecedent deV(x) parV.

Pour trouver l'antecedent de 1000 parV, on doit resoudre l'equation43 x3= 1000. 13

14CHAPITRE 4. GENERALITES SUR LES FONCTIONS

3) Domaine

L'ensemble des reels qui ont une image parVs'appelle ledomaine de denitiondeV. Ici c'est [0;+1[ parce qu'un rayon est toujours positif.

III/ Representation graphique

1) Denition

Si, dans un repere, on place tous les points dont l'ordonneeyest l'image de l'abscissex, on obtient une courbe appeleerepresentation graphiquede la fonction dans le repere.

III/. REPR

ESENTATION GRAPHIQUE15

2) Utilisation

a) Recherche d'imagesb) Recherche d'antecedents Cette methode permet de resoudre des equations graphiquement.

16CHAPITRE 4. GENERALITES SUR LES FONCTIONS

c) Resolution d'inequationsOn trouve graphiquement que l'ensemble des solutions deV(x)>2 est [7;8;+1[.

IV/ Variations

1) fonction croissante

Plus le rayon d'une boule est grand, plus son volume est important : On dit que la fonctionVestcroissantesur [0;+1[. Une fonction est croissante sur un intervalleIsi, chaque fois quea6b dansI,f(a)6f(b).

2) fonction decroissante

Une fonction est decroissante sur un intervalleIsi, chaque fois quea6b dansI,f(a)>f(b).

3) extrema

a) Maximum On dit queMest lemaximumdefsur [a;b] si pour toutxde [a;b] on a f(x)6M.

IV/. VARIATIONS17

Pour trouver le maximum de la fonctionf(x) =xx325

sur l'intervalle [0;5] on peut, avec une assez bonne approximation, chercher la plus grande valeur d'un tableau de valeurs def: deff(x):returnx-x**3/25M=max[f(x/1000)f orxinr ange( 5000)] b) Minimum On dit quemest leminimumdefsur [a;b] si pour toutxde [a;b] on a f(x)6m.

18CHAPITRE 4. GENERALITES SUR LES FONCTIONS

Chapitre 5

Translations

I/ Implication

1) Exemple

L'enonce

SiABCest rectangle enAalorsAB2+AC2=BC2peut

aussi s'ecrire

1:ABCest rectangle enAseulement siAB2+AC2=BC2;

2:Pour queABCsoit rectangle enA, il est necessaire queAB2+AC2=

BC 2;

3:Pour queAB2+AC2=BC2, il sut queABCsoit rectangle enA;

4:Le fait queABCest rectangle enAimplique queAB2+AC2=BC2;

5:SiAB2+AC26=BC2, alorsABCne peut pas ^etre rectangle enA;

6:Ou bienABCn'est pas rectangle enA, ou alorsAB2+AC2=BC2.

2) Denition

Etant donnees deux propositionsaetb, la propositionaest faux oub est vrai s'appelleimplicationdeaversbet se notea)b.

Par exemple, le theoreme ci-dessus s'abrege en

BAC= 90)AB2+AC2=BC2

19

20CHAPITRE 5. TRANSLATIONS

3) Reciproque

a) Denition

En inversant le sens de la

eche dans une implication, on obtient la reciproquede celle-ci. Par exemple, la reciproque du theoreme precedent peut s'ecrire [BAC= 90(AB2+AC2=BC2 ou alors AB

2+AC2=BC2)[BAC= 90

Exercice :

Donner un exemple de theoreme vrai, dont la reciproque est fausse. b)

Equivalence logique

La proposition

a)betb)ase ditaest equivalent abet se notea,b. On dit souventaest vrai si et seulement sibest vrai.

4) Applications

quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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