[PDF] Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 31 mai 2012

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?Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord?

31 mai 2012

Exercice 1

Partie A

Notonspla probabilité que le membre choisi au hasard soit une femme. L"arbre de probabilités correspondant à la situation est : F p? T 1 4 T3 4 F1p? T 1 3 F2

31. T(TF)(TF). C"est une réunion d"événements incompatibles, donc :

p(F)p(TF))p(T

F)pF(T)p(F)pF(T)p(T).

Par conséquent :p(T)p1

4(1p)13?1413?

p13112p13

On sait quep(T)0,33

10.

On en déduit :1

12p13310p1213310130d"oùp123025.

La probabilité de l"événement F est :

p(F)25

2.pT(F)p(FT)p(T)p

4 3

1010p345p656252613;pT(F)13

Partie B

1. (a) SoitNla variable aléatoire donnant le nombre de membres adhérantà la section tennis parmi les membres

choisis.

Nous avonsrépétition d"uneexpériencealéatoire à deuxissues, identique etindépendante.Nsuit donc laloi

binomiale de paramètresn4 (nombre d"épreuves) etp3

10:NB?

4 ;310?.

On sait alors quep(Nk)?

4 k? 3 10k 1310?
4k 4 k? 310k

0,74k.

D"où :p(N2)?

4 2? 3 102
0,72 1323

50000,2646.

(b) Cette fois,Nsuit la loi binomialeB? n;3 10? p np(N1)1p(N0)1? n 0? ?3 10? 0 ?710? n

1?710?

n :pn1?710? n. (c)pn0,990,010,7nln(0,01)nln(0,7) (en appliquant la fonction ln qui est croissante) d"oùnln(0,01) ln(0,07)12.9.Il faut quensoit supérieur ou égal à 13 pour quepnsoit supérieur à 0,99. Amérique du Nord (correction)Page 1/531 mai 2012

2. (a) Le nombre de tirages possibles de deux jetons est?

100
2? 4950.

Xpeut prendre les valeurs 35 (deux jetons gagnants), 15 (un seul jeton gagnant) et -5 (deux jetons perdants).

p(X2)? 10 2? ?100 2?

4549501110.

p(X0)? 90
2? ?100 2?

4005495089110

p(X1)1[p(X0)p(X2)]1?1

11089110?

19011020110211.

La loi de probabilité deXest donc :

xi-51535 p(Xxi)89 110
2 11 1 110
(b) L"espérance estE(X)? ix ip(Xxi)589110152113511101101101.E(X)1. Cela signifie qu"en moyenne, sur un grand nombre de partie, lejoueur perd 1 euro par partie.

Exercice 2

Partie A : Restitution organisée des connaissances On effectue un changement de variable, en possantXln(x); alorsxeX.

Lorsquextend vers,Xtend aussi vers.

Par conséquent : lim

xln(x) xlimXXeXlimX1eX

X0 d"après le rappel.

Partie B

1. Soitgla fonction définie sur [1 ;[] parg(x)x21ln(x).

gest dérivable sur [1 ;[] comme somme de fonctions dérivables.

Pour toutx[1 ;[,g(x)2x1

x0 (somme de nombres positifs). gest donc croissante sur [1 ;[. g(1)0.

Le tableau de variation degest donc :

x1 g(x) g(x) 0?? Le minimum degest 0, doncg(x) est positif pour toutx[1 ;[.

2. (a)fest dérivable sur [1 ;[ comme somme et quotient de fonctions dérivables sur [1 ;[.

Pour toutx[1 ;[,f(x)1?

1 xxln(x) x2?

11ln(x)x2x21ln(x)x2g(x)x2doncf(x)g(x)x2.

(b) Commex20 sur [1 ;[,f(x) est du signe deg(x), donc positif sur [1 ;[ avecf(1)0. (c) Pour toutx[1 ;[,f(x)xln(x) x.

D"après la partie A, lim

xln(x) x0 donc limx[f(x)x]0. La droiteDd"équationyxest donc asymptote àCau voisinage de. (d) Pour toutx in[1 ;[,f(x)xln(x) x0 car ln(x)0 etx0. La courbeCest donc en dessous de son asymptoteD(avec intersection enx1).

3. (a) On a doncMkNkyNkyMkln(k)

k. Amérique du Nord (correction)Page 2/531 mai 2012 (b) L"algorithme est :

1 VARIABLES

2 k EST_DU_TYPE NOMBRE

3 DEBUT_ALGORITHME

4 k PREND_LA_VALEUR 2

5 TANT_QUE (log(k)/k>0.01) FAIRE

6 DEBUT_TANT_QUE

7 k PREND_LA_VALEUR k+1

8 FIN_TANT_QUE

9 AFFICHER k

10 FIN_ALGORITHME

Exercice 3

Partie A

1. Pour toutx[0 ; 1],f(x)11x20, doncfest croissante sur [0; 1].

2. Soitgla fonction définie sur?

0 ;π

4? parg(x)f(tan(x)). (a)gestdérivablesur?

0 ;π

4? 1

1tan2x1.g(x)1

(b) Puisqueg(x)1 sur?

0 ;π4?

,g(x)xk,kR. g(0)f(tan(0))f(0)0 donck0, d"où g(x)x. f(1)f? tanπ 4? g?π4?

4carg(x)x.

3.fest croissante sur [0; 1].f(0)0 etf(1)π

4donc, pour toutx[0 ; 1],0f(x)π4

Partie B

Soit(In)la suite définie parI0?

1 0 f(x) dxet, pour tout entier naturelnnon nul,In? 1 0 xnf(x) dx. 1.I0? 1 0 f(x) dx? 1 0 [1f(x)] dx. On poseu(x)1.uetfsont continues, donc on peut effectuer une intégration par parties :?1 0 [1f(x)] dx? 1 0 u(x)f(x)?u(x)f(x)?10? 1 0 u(x)f(x) dx?xf(x)?10? 1 0x 1x2dx f(1)?1

2ln(1x2)?

1 0

412ln(2).

2. (a) Pour toutx[0 ; 1],xnf(x)0 (produit de fonctions positives), doncIn0 (positivité de l"intégrale).

(b) Pour toutx[0 ; 1],f(x)π

4, doncIn?

1 0 xnf(x) dx? 1

0π4xndxπ4?

1 0 xndxπ4? xn1n1? 1 0

41n1π4(n1).

Pour toutn0,

Inπ4(n1)

(c) limn?

14(n1)?

0, donc, d"après le théorème des gendarmes,limnIn0

Amérique du Nord (correction)Page 3/531 mai 2012 Exercice 4 (pour les candidats n"ayant pas suivil"enseignement de spécialité) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect?O;u;v?.

On considère l"applicationfdu plan dans lui même qui, à tout pointMd"affixez, associe le point M" d"affixeztelle

que :zz2.

On notele point d"affixe 1.

1.f(M)Mz2zz2z0z(z1)0z{0 ; 1}.

1{O;}

2. SoitAle point d"affixea2i2.

(a)a

2(1i) donca21i 222.

On en déduita2?

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