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Université My Ismail, Meknes

Faculté des Sciences

Habilitation à Diriger des Recherches

En MathématiquesSoutenue publiquement le : 18 Décembre 2015

Par Dr. My Ismail Mamouni

CRMEF RabatDevant le Jury:

Président: Youssef Rami (PES), Faculté des Sciences, Meknes Examinateurs: Hamid Abchir (PES), Ecole Supérieure de Technologie,

Casablanca

Jilali Assim (PES), Faculté des Sciences, Meknes Mohamed Rachid Hillai (PES), Faculté des Sciences Ain

Chock, Casablanca

Année Universitaire:, 2015-2016

À ma femme Lamya

Un jour, nos chemins se sont croisés

Et depuis on ne s"est plus jamais quittés.

Tu es une des plus belles choses qui me soit arrivé Je sais que sans toi j"aurai déjà cessé d"exister.

Je ne te remercierai jamais assez,

D"être présente dans ma vie, d"en être un pilier Sans toi ma forteresse se serait déjà écroulée,

Sans toi, j"aurai fini par renoncer.

iv

Remerciements

Soyons reconnaissants aux personnes qui nous donnent du bonheur; elles sont les charmants jardiniers par qui nos âmes sont fleuries.

Marcel Proust

Leseulmoyendesedélivrerd"unetentation, c"estd"ycéderparaît-il! Alorsj"ycèdeen disant en grand Merci aux personnes qui ont cru en moi et qui m"ont permis d"arriver au bout de mes recherches. Il me sera très difficile de remercier tout le monde car c"est grâce à l"aide de nombreuses personnes que j"ai pu mener ma recherche à son terme actuel. Je voudrais tout d"abord remercier grandement les professeurs Mohamed Rachid Hi- lali de la faculté des sciences Ain Chock de Casablanca et Youssef Rami de la faculté des sciences de Meknes, pour toute leur aide et assistance inlassable depuis 2011, date où on a commencé à collaborer et coordonner avant d"arriver à structurer ensemble un groupe de recherche réputé. Je suis ravi d"avoir travaillé leur compagnie pendant ces 4 ans, car outre leur appui scientifique, il ont toujours été là pour me soutenir et me conseiller au cours de l"élaboration de mes travaux de recherche. Leurs compétence, rigueur et clair- voyance scientifique m"ont beaucoup appris. Ils ont été et resteront des moteurs de mon travail de chercheur. Je tiens à remercier le Professeur Youssef Rami pour avoir accepté de présider mon jury de soutenance. Je remercie également les Professeurs Hamid Abchir, Jilali Assim et Mohamed Rachid Hillai pour l"honneur qu"ils m"ont fait d"en être membres. J"adresse toute ma gratitude à toutes les personnes qui m"ont aidé le long de ces an- néesàl"aboutissementdemestravaux. Lesnombreusesdiscussionsquej"aipuavoiravec chacun m"ont beaucoup apporté. Merci donc à Fred Cohen (Rocherster, USA), à Mark v vi Grant (Aberedeen, Scotland), à John McCleary (Vassar College, USA), à Aniceto Murillo (Malaga, Espagne), à Samuel Bruce Smith (Saint Joseph Univ., Philadelphie, USA), à Jim Stasheff (North Carolina, USA), à Jean Claude Thomas (Angers, France) et à tous ceux qui peuvent se reconnaître. Je remercie toutes les membres de mon groupe de recherche avec qui j"ai partagé ces dernières années, notamment les professeurs qui m"ont entouré et m"ont conseillé, ainsi que tous les doctorants et étudiants de Master pour m"avoir toujours supporté, même si ce n"est pas encore fini. Ils m"ont beaucoup aidé et sont devenus des amis à qui je souhaite tout le courage qu"ils m"ont apporté. Durant ces années j"ai participé et organisé de nombreuses activités et je remercie par l"occasion toutes les personnes physiques ou morales pour leur aide et soutien et pour avoir fait en sorte que mon potentiel de chercheur en profite pour se développer de plus en plus. Mes remerciements vont aussi à ma famille (mes parents, mes soeurs et leurs petites familles), à mes amis pour tous leurs encouragements. Enfin, je remercie mes premiers fans et supporters : mes enfants Wassim (2004) et Naim (2008). Leur présence, leurs éclats de joie et les beaux moments de folie qu"on passe ensemble sont pour moi les piliers fondateurs de ce que je suis et de ce que je fais. Ces remerciements ne peuvent s"achever, sans une pensée pour ma chère épouse Lamya pour son soutien quotidien indéfectible et son enthousiasme contagieux à l"égard de mes travaux comme de la vie en général. Notre couple a grandi en même temps que mon projet scientifique, le premier servant de socle solide à l"épanouissement du second. J"en oublie certainement encore et je m"en excuse. Encore un grand merci à tous pour m"avoir conduit à ce jour mémorable.

Sommaire

1 Présentation Générale

1

1.1 Activités de recherche

1

1.2 Activités d"enseignement

2

1.3 Activités collectives

2

1.4 Références

4

2 Volet Scientifique

7

2.1 Axes de recherche

7

2.1.1 Topologie algébrique

7

2.1.2 Homotopie rationnelle

8

2.1.3 Topologie robotique

10

2.2 Articles

11

2.2.1 Conjecture de Hilali

11

2.2.2 Classification du type d"homotopie rationnelle

12

2.2.3 Conjecture de Theriault

14

2.2.4 Topologie robotique

17

2.3 Exposés

23

2.3.1 Février 2012: Beyrouth, Liban

23

2.3.2 Juin 2013: Luxembourg

23

2.3.3 Février 2015: Lisbonne, Portugal

23

2.3.4 Mai 2015: Pennsylvanie, USA

24

2.4 Événements scientifiques: Participation

25

2.4.1 Août 2011: Regensburg, Allemange

25

2.4.2 Octobre 2011: Casablanca, Maroc

25

2.4.3 Juin 2012: Meknès, Maroc

25

2.4.4 Juillet 2012: Utrecht, Pays Bas

25

2.4.5 Mai 2013: Nantes, France

26

2.4.6 Octobre 2013: Angers, France

26
vii viiiSOMMAIRE

2.4.7 Juin 2013: Dubrovnik, Croatie

26

2.4.8 Août 2014: Fribourg, Allemagne

27

2.4.9 Septembre 2014: Regensburg, Allemagne

27

2.5 Événements scientifiques: Organisation

28

2.5.1 Séminaires

28

2.5.2 Écoles

28

3 Volet Pédagogique

31

3.1 Enseignement

31

3.1.1 1995-2013: Mathématiques générales en Classes Prépas

31

3.1.2 2011-Présent: Didactique des Mathématiques au CRMEF

31

3.1.3 2013-Présent: Géométrie en Agrégation

32

3.1.4 2014-Présent: Topologie algébrique et robotique en Master

32

3.2 Communications pédagogiques

33

3.3 Organisation de journées pédagogiques

33

4 Encadrement

35

4.1 Doctorants

35

4.2 Étudiants en Master

36

4.3 Mémoires pédagogiques au CRMEF

36

4.4 Projets de TIPE en Classes Prépas

37

5 Activités parallèles

39

5.1 Responsabilités collectives

39

5.1.1 Groupe de recherche

39

5.1.2 Associations

40

5.2 Commissions spéciales

41

5.3 Activité éditoriale

42

6 Financement

43

6.1 Usage personnel

43

6.2 Usage collectif

44

7 Horizons et Perspectives

45

7.1 Recherche en topologie algébrique pure

45

7.2 Recherche en topologie algébrique appliquée

46

7.3 Recherche en didactique des mathématiques

47

A Annexes

49
1

Présentation Générale

Ce rapport décrit mes travaux de recherche, mon expérience professionnelle ainsi que mes activités collectives depuis 2011; date de mon recrutement au CRMEF

1de Rabat en

tant que PESA 2. 1.1

Activités de recherche

Mon activité en tant que chercheur s"articule autour de deux thèmes: la topologie al- gébrique pure (l"homotopie rationnelle) et la topologie algébrique appliquée (topologie robotique). Le premier m"ayant été proposé en 2005 par le professeur Mohamed Rachid Hilali de la faculté des sciences Ain Chock de Casablanca comme sujet pour mon doctorat de mathématiques soutenue en octobre 2009. Il se poursuit jusqu"à aujourd"hui et j"en veux pour preuve mes 2 publications récentes ([BHM] et [HMY1] et mes 3 articles soumis ([BM], [HMT] et [HMY2]). Ces travaux sont le fruit d"un co-encadrement scientifique avec le Pr. M.R. Hilali de ses étudiants doctorants Badr Ben El Krafi, Jawad Tarik et

Hicham Yamoul.

L"organisation de GeToPhyMa-2013

3fût pour moi l"opportunité d"effectuer une re-

conversionthématiqueentopologierobotique. Moninitiativeétaitlargementencouragée et scientifiquement encadrée par le professeur Mark Grant de l"université de Aberdeen en Écosse. Deux articles sont maintenant soumis ([DM2], [DM3]) et un autre ([DM1 ]) publié. Ces travaux sont le fruit d"un co-encadrement scientifique avec le professeur1 CRMEF: Centre de Régional des Métiers de l"Enseignement et de la Formation

2PESA: Professeur de l"Enseignement Supérieur Assistant

3École de Géométrie et Topologie en Physique Mathématiques:http://algtop.net .

1

1. PRÉSENTATIONGÉNÉRALE1.2. Activités d"enseignementYoussef Rami de la faculté des sciences de Meknès de son étudiant doctorant Younes

Derfoufi.

1.2

Activités d"enseignement

Mon activité en tant qu"enseignant a commencé en 1995 en Classes Prépas. Elle est aussi variée que mon domaine de recherche. Affecté en 2011 au CRMEF de Rabat, je

fût chargé de continuer à enseigner en parallèle en Classes Prépas pour 2 années. Ainsi

j"enseignais les mathématiques fondamentales (analyse, algèbre et géométrie) pour les élèves des Classes Prépas mais aussi leur didactique au CRMEF de Rabat pour les fu- turs enseignants de mathématiques aux lycées. J"encadrai par l"occasion les élèves des

Classes Prépas pour leur projets de TIPE

4et les enseignants-stagiaires du CRMEF dans

leur projets de mémoires de recherche pédagogique. En 2013, le CRMEF de Rabat ouvre un cycle de préparation au concours d"Agrégation de mathématiques. Le cycle étalé sur 2 ans est ouvert aux titulaires de Master en math- ématiques ou équivalent. Je me portai volontaire pour assurer le module de géométrie affine et projective. En 2014, la faculté des sciences Ain Chock de Casablanca, ouvre un Master en topolo- gie algébrique et robotique dans lequel je m"engageai à assurer 3 modules: Topologie Algébrique 3, Homotopie Rationnelle 2 et Topologie Robotique. 1.3

Activités collectives

Mes activités collectives sont aussi diversifiées. Ainsi depuis 2011, j"organise périodique-

ment l"école de recherche GeToPhyMa. En 2012, avec les professeurs M.R. Hilali et Y. Rami, on fonde un groupe de recherche en topologie algébrique; le MAAT

5. Le groupe

compte maintenant 3 professeurs et 7 doctorants, il organise mensuellement son sémi- naire dans les villes de Casablanca, Rabat et Meknès. En didactique des mathématiques et en étroite collaboration avec le professeur Has- san Squalli de l"université de Sherbrooke du Canada, j"ai organisé en 2013 des journées de réflexion sur la didactique des mathématiques et en 2014 une école de recherche. Le fruit fût la création d"une association OMSEFEM

6et l"édition d"un proceeding dont la

diffusion est envisagée en Octobre 2015. Pour accompagner en 2013 l"ouverture du cycle de préparation à l"agrégation, j"ai été membre de la commission nationale chargée de rédiger le programme officiel. J"ai aussi participé au jury du concours d"entrée, session 2013.4

TIPE: Travail d"Initiation Personnel Encadré. Mini-projet de recherche sur un thème précis, que les

élèves sont censé présenter lors des oraux des concours d"accés aux Grandes Écoles d"Ingénieurs

5MAAT: Moroccan Area of Algebraic Topology:http://algtop.net .

6OMSEFEM: Observatoire Marocain des Systèmes d"Enseignement et de Formation à l"Enseignement des

Mathématiques.

https://sites.google.com/site/edm062014/ 2

1. PRÉSENTATIONGÉNÉRALE1.3. Activités collectivesEnfin, depuislarentrée2014, jesuismembreduconseild"établissementduCRMEFde

Rabat, membre de sa commission pédagogique ainsi que de la commission de recherche scientifique et pédagogique. 3

1. PRÉSENTATIONGÉNÉRALE1.4. Références1.4Références

4

Bibliography

[BHM] B. Ben El Krafi, M. R. Hilali, M . I. Mamouni, On Hilali"s conjecture related to Halperin"s, à paraître dans J. Homotopy and Related Structures, DOI: 10.1007/s40062-

015-0114-y.

[BM] B. Ben El Kr afi,M. I. Mamouni, On the Theriault"s conjecture for self homotopy equiva- lences, soumis depuis Septembre 2015 au Belgian Mathematical Society. [DM1] Y .Derfoufi, M.I. Mamo uni,Motion planning algorithms, topological proprieties and affine approximation, Bulletin to Computational Applied Mathematics, Vol.3, No. 1 (2015), 7-12. [DM2] Y .Derfoufi, M.I. Mamouni, On the topology of motion planning algorithms, soumis depuis Septembre 2015 à Mathematical Reports. [DM3] Y .Derfoufi, M.I. Mamouni, String topological robotics, soumis depuis Août 2015 à

Algebraic and Geometric Topology.

[HLM] M.R. Hilali, H. Lamane, and M. I. M amouni,Classification of rational homotopy type for 8-cohomological dimension elliptic spaces, Advances in Pure Mathematics, Vol. (2) (2012), 15-21. [HM1] M. R. Hilali, M. I. Mamouni, A lower bound of cohomologic dimension for an elliptic space, Topology and its Applications, Vol. 156, Issue 2 (2008), 274-283. [HM2] M. R. Hilali, M.I Mamouni, A conjectured lower bound for the cohomological dimen- sion of elliptic spaces, Journal of Homotopy and Related Structures, Vol. 3, No. 1 (2008),

379-384.

[HMT] M.R. Hilali, M.I Mamouni, J. T arik,On the rational homotopy type when the coho- mological dimension is 9, JP Journal of Geometry and Topology, Vol.17, num 2 (2015),

157-172.

5

BIBLIOGRAPHY BIBLIOGRAPHY

[HMY1] M. R. Hilali, M.I. Mamouni, H. Y amoul,On the Hilali conjecture for configuration spaces of closed manifolds, Africain Diaspora Journal of Mathematics. Vol. 18 (2015), no.

1, 1 - 11.

[HMY2] M.R. Hilali, M.I Mamouni, H. Y amoul,The rational homotopy type of elliptic spaces up to cohomological dimension 8, à apparaître dans Afrika Matematika. 6 2

Volet Scientifique

2.1

Axes de recherche

2.1.1

T opologiealgébrique

Un topologue s"intéresse entre autres, à classer les figures géométriques à homéomor-

phisme près. Intuitivement, un homéomorphisme transforme une figure sans la déchirer, nil"écraser. Parexemple, undisqueesthoméomorpheàuncarréplein, maisn"esthoméo- morphe ni à un cube plein, ni à sa surface. Á la fin du XIXème siècle, on se posait la question si deux figures géométriques don- nées sont homéomorphes ou non. Cette question, parmi d"autres, a donné naissance à la topologie algébrique. L"idée fondamentale de son incontestable fondateur, Henri

Poincaré

1était d"associer à tout espace topologique des invariants algébriques: nombres,

groupes, espaces vectoriels, .... Deux espaces homéomorphes possèdent les mêmes in- variants algébriques, comme leurs groupes d"homologie, leurs nombres de Betti, leur groupe fondamental, ... L"un des invariants algébriques les plus populaires en topologie algébrique est la notion d"homologie singulière, dont on résumera ci dessous le principe. Soitn2NetXest un espace topologique, on appellen-simplexe singulier deX, toute application continue: n!X, oùn:=fnX i=0t iei; ti0g. Icie0= 0et(ei:= (0;:::;0;1;0:::;0))1indésigne la base canonique deRn. On note ensuite parCn(X) le groupe abélien libre formé par lesn-chaînes, ce sont les sommes formellesX kn kkà coefficients dansZden-simplexes. lak-ème faceFkd"unn-simplexe singulier, est la1 H. Poincaré. Analysis situs. Journal de l"École Polytechnique. Vol 2 (1895), issue 1, 1-123. 7

2. VOLETSCIENTIFIQUE2.1. Axes de rechercherestriction deau(n1)-simplexe standardnk:=fnX

i=1t iei; ti0;i6=kg= n1. On définit l"application bord: @:Cn(X)!Cn1(X)

7!@:=nX

k=0(1)kFk; et on vérifie en particulier que@n@n+1= 0. On obtient alors le complexe de chaînes: n+1//C n(X)@n//C n1(X)@ n1//::: @1//C

0(X)@0//C

1(X) = 0;

avecIm@n+1ker@n. Les éléments deIm@n+1s"appellent des(n+ 1)-bords, ceux de ker@ns"appellent desn-cycles. Tout bord est un cycle. Le groupe quotientHn(X;Z) := ker@n=Im@n+1est len-ème groupe d"homologie singulière deX. C"est un invariant topologique qui mesure l"obstruction qu"un cycle soit un bord. La cohomologie sin- gulière,H(X;Z) =M nH k(X;Z)est définie de façon similaire en inversant les flèches. SoitYun autre espace topologique. Deux applications continuesf;g:X!Ysont dites homotopes, si elle existe une application continueH:X[0;1]!Y, appelée homotopie, vérifiantH(;0) =fetH(;1) =g. On écrit alorsfg. Les espacesXetYsont dits homotopes, ou du même type d"homotopie, lorsqu"elles existent des applications continuesXf//Y g//Xtelles quefgidYetgf id X. On écrit alorsXYet on définit ainsi une relation d"équivalence sur les espaces topologiques, appelé équivalence d"homotopie. On voit bien que l"homotopie est une déformation continue d"un objet à un autre. Par exemple, un espace est dit contractile quand il est homotope à un point. SiAest une partie deX, deux applications continuesf;g:X!Ysont dites ho- motopes relativement àA, quand elle existe une homotopieH:X[0;1]!Ydef versgvérifiantH(a;t) =f(a) =g(a);8a2A;8t2[0;1]. On définit alors une relation d"équivalencefgrelA, dont l"ensemble quotient sera noté[(X;A);(Y;B)]. Si(X;x0)un espace topologique pointé, sonn-ème groupe d"homotopie est défini par la relationn(X;x0) := [(Sn;);(X;x0)], oùSndésigne la sphère unité deRn+1. On remarque que0(X;x0)est l"ensemble des composantes connexes par arcs deXet qu"on peut munir les(n(X;x0))n1d"une structure de groupe. On montre alors que siXest connexe par arc, alors les(n(X;x0))n0ne dépendent pas dex0. En particulier,1(X) s"appelle le groupe fondamental deX. 2.1.2

Homotopie rationnelle

L"homotopie rationnelle est une branche de la topologie algébrique pure, fondée vers la fin des années 70 par Dennis Sullivan et Daniel Quillen. Elle a pour objectif d"étudier le type d"homotopie rationnelle d"un espace topologique en ignorant les torsions de ses 8

2. VOLETSCIENTIFIQUE2.1. Axes de recherchegroupes d"homotopie.

Eneffet, unespacetopologiquesimplementconnexeestditrationnelquandsesgroupes d"homotopiessontdesQ-espacesvectoriels. Onmontrealorsqu"àtoutespacetopologique simplement connexeX, on peut associer un CW-complexe2rationnel, unique à homo- topie prés, notéXQ, appelé rationalisé deXet vérifiant les isomorphismes deQ-espaces vectoriels suivants (XQ)=(X) Q H (XQ;Q)=H(X;Q): Le type d"homotopie deXQs"appelle type d"homotopie rationnelle deX. Rappelons qu"un espace topologique simplement connexeXest dit de type fini, quand lesHk(X;Q)sont tous de dimensions finies. L"idée de D. Sullivan était d"encoder le type d"homotopie rationnelle de tels espaces à l"aide d"algèbres particulières: les al- gèbres différentielles graduées commutatives (ADGC). Ce sont des algèbres différen- tielles graduées(A;d), commutatives (i.e.,a:b= (1)jajjbjb:a), vérifiant la relation de

Leibnizd(a:b) =da:b+ (1)jaja:db.

Un modèle minimal de Sullivan est toute ADGC libre(V;d)engendrée par unQ- espace vectoriel graduéV, lui même engendré par une base((vk))k2Ibien ordonnée (i.e., Iensemble d"indices totalement ordonné aveck < p=) jvkjQ=hom(V;Q)en tant qu"espaces vectoriels H (X;Q)=H(V;d)en tant qu"algèbres: Une algèbre de Lie graduée est tout espace vectoriel graduéL, muni d"un crochet [;]vérifiant les deux propriétés suivantes:

Antisymétrie:[x;y] = (1)jxjjyj[y;x];

Identité de Jacobi:[x;[y;z]] = [[x;y];z] + (1)jxjjyj[y;[x;z]]. Une algèbre de Lie différentielle graduée (ALDG) est toute algèbre de Lie graduéeL munie d"une différentielled, vérifiant la relationd[x;y] = [dx;y] + (1)jxj[x;dy]. Si(V;d)est un espace vectoriel différentiel gradué, alors son algèbre tensorielleTV muni du crochet[a;b] :=abbaest une algèbre de Lie graduée. La sous algèbre engen- drée parV, notéeLV, est une ALDG appelée l"ALDG libre engendrée parV. La différen-

tielle initialement définie surVs"étend de façon linéaire et naturelle àLVen respectant

la relationd[x;y] = [dx;y] + (1)jxj[x;dy].2

CW-complexe: type d"espace topologique obtenu à partir d"un ensemble de points en recollant succes-

sivement des " cellules » fermées de dimension supérieure le long de leurs bords.

3D. Sullivan. Infinitesimal computations in topology. Publications Mathématiques de l"IHÉS,47(1977),

269-331.

9

2. VOLETSCIENTIFIQUE2.1. Axes de rechercheUn modèle minimal de Quillen est toute ALDG libre(LV;d), tel queVadmet une

base((vk))k2Ibien ordonnée et minimale au sens quedvk2Lp2fvp; p < kg. D. Quillen4 montre que tout espace topologique simplement connexe et de type fini, peut être ra- tionnellement modélisé par une ALDG minimale(LV;d)(unique à isomorphisme prés) dans le sens suivant: +1(X)

Q=H(LV;d)en tant qu"algèbres

H+1(X;Q)=Ven tant qu"espaces vectoriels:

2.1.3

T opologierobotique

La planification de mouvement est un thème classique de la robotique qui s"intéresse au calcul de la trajectoire sans collision d"un robot en prenant en compte la topologie et géométrie du milieu de déplacement.

Michael Farber

5perçoit un robot comme un système mécanique et noteXl"espace

topologique de tous ses états. QuandXest connexe par arc, il définit un algorithme de planification de mouvement (APM) comme étant toute section continues:X

X!PXde la projectionev:PX!XX

7!( (0); (1)), oùPXdésigne l"ensemble des chemins tracés surXmuni de la topologie ouverte-compacte. Icissuggère pour toute paire(A;B)de points deX, un chemins(A;B)du points(A;B)(0) =Aau point s(A;B)(1) =B. M. Farber montre en particulier que de telles sections existent si et seule- ment siXest contractile. M. Farber interprète la continuité des APM comme étant une condition suffisante pour garantir la stabilité du mouvement du robot dans le sens suivant: Si(A;B)et (A0;B0)sont très proches l"un de l"autre, alors l"APM va suggérer au robot des chemins s(A;B)ets(A0;B0)qui sont aussi très proches l"une de l"autre. Il définit ensuite un invariant qui mesure la complexité de cette continuité, en quelque sorte la complexité topologique pour trouver des APM. Cet invariant, notéTC(X)et appelé complexité topologique, est défini comme étant le plus petit entiern(ou l"infini) tel queXX peut être recouvert parn+ 1ouverts contractiles(Ui)0intels que sur chacun d"euxev admet une section localesi:Ui!PX(i.e.,evsi= idUi). Ainsi on aTC(X) = 0si et seulement siXest contractile. M. Farber montre par exemple queTC(S2n) = 1et que

TC(S2n+1) = 2.4

D. Quillen. Rational homotopy theory. Vol. 90 (1969), tome 2. Annals of Mathematics, 205-295.

5M. Farber. Topological complexity of motion planning. Discrete Comput. Geom. 29 (2003), 211-221.

10

2. VOLETSCIENTIFIQUE2.2. Articles2.2Articles

Ma production scientifique pour la période 2012-2015, détaillée dans l"annexe I: Articles, se compose de 9 articles, dont:

4 publiés:

1. M.R. Hilali, H. Lamane, and M. I. Mamouni, Classification of rational homotopy type for 8-cohomological dimension elliptic spaces, Advances in Pure Mathematics,

Vol. (2) (2012), 15-21.

2. M. R. Hilali, M.I. Mamouni, H. Y amoul,On the Hilali conjecture for configuration spaces of closed manifolds, Africain Diaspora Journal of Mathematics. Vol. 18 (2015), no. 1, 1 - 11. 3. Y .Derfoufi, M.I. Mamouni, Motion planning algorithms, topological proprieties and affine approximation, Bulletin to Computational Applied Mathematics, Vol.

3, No. 1 (2015), 7-12.

4. M.R. Hilali, M.I Mamouni, J. T arik,On the rational homotopy type when the coho- mological dimension is 9, JP Journal of Geometry and Topology, Vol.17, num 2 (2015), 157-172.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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