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SOLUTIONS EXERCICES 7 - Équations différentielles linéaires d"ordre 1 Exercice 1.Déterminer les solutions aux problèmes homogènes suivants : (a)y0(x) =xy(x) (b)y0(x) =1x y(x) (c)y0(x) =x2y(x) (d)y0(x) =1x

2y(x) (e)y0(x) =exy(x) (f)y0(x) =xy(x)p4x2

(g)y0(x) = ln(x)y(x) (h)y0(x) = sin(x)cos(x)y(x) Sol.Nous avons appris que toutes les solutions d"un problème homogèney0(x) =a(x)y(x)sont : y h(x) =CeA(x); avecCune constante etA(x)une fonction enxtelle queA0(x) =a(x). Donc la seule difficulté dans

l"exercice est de trouverA(x), avec la propriété énoncée, pour chaque équation (en faisant toujours

attention à l"ensemble de définition) : (a)A(x) =x22 =)yh(x) =Cex22

(b)Il faut faire attention à l"ensemble de définition, qui estx6= 0(c.-à-d.Rnf0g), donc dans notre

recherche des solutions il faut distinguer le casx >0et le casx <0.

Pourx >0on aA(x) = ln(x) =)yh(x) =C1x.

Pourx <0, on peut écrire l"équation commey0(x) =1xy(x); doncA(x) = ln(x) =)yh(x) = C

2eln(x)=C2x=C3x. (On a fait cela sinonln(x)n"est pas défini pourx <0).

(c)A(x) =x33 =)yh(x) =Cex33

(d)Comme en (b), l"ensemble de définition estx6= 0. Donc comme on a déjà fait, il faut distinguer le

casx >0etx <0.

Pourx >0on aA(x) =1x

et doncyh(x) =C1e1x

Pourx <0, également on aA(x) =1x

et doncyh(x) =C2e1x Faites attention : on ne peut dire que donc on a une solution globale surR, car pourx= 0il y a un problème de définition. (e)A(x) =ex=)yh(x) =Ceex,

(f)Comme en (b) et (d) il faut faire attention à l"ensemble de définition, qui dans ce cas est donné

par2x2. Avec cette conditionA(x) =p4x2et doncyh(x) =Cep4x2pour2x2. (g)Dans ce cas l"ensemble de définition estx >0. Avec cette conditionA(x) =xln(x)xet donc y h(x) =Cxxexpour toutex >0. (h)A(x) =sin2(x)2 =)yh(x) =Cesin2(x)2

Exercice 2.Déterminer les (uniques) solutions des équations de l"exercice précédent vérifiant respecti-

vement (a)y(0) = 1 (b)y(1) =(c)y(1) =e (d)y(2) = 1 (e)y(0) =e(f)y(2) = 0 (g)y(1) = 1 (h)y(2 ) = 1

Sol.Il faut trouver la constanteCtelle queyh(x), trouvée dans l"exercice précedent, satisfasse la

condition requise dans chaque point. Il faut faire toujours attention que le point où la condition est

requise soit dans l"ensemble de définition de notre équation. On dénote l"unique solutiony0(x). Donc

en utilisant l"exercice1on a : (a)yh(0) =Ce0=Cet on veut avoiryh(0) = 1 =)C= 1 =)y0(x) =ex22 (b)yh(1) =Cet on veut avoiryh(1) ==)C==)y0(x) =x(definie pourx >0), (c)yh(1) =Ce1=3et on veut avoiryh(1) =e=)C=e2=3=)y0(x) =e2+x33 (d)yh(2) =Ce1=2et on veut avoiryh(2) = 1 =)C=e1=2=)y0(x) =e12 1x (definie pourx >0), (e)yh(0) =Ce1=Ceet on veut avoiryh(0) =e=)C= 1 =)y0(x) =eex, (f)yh(2) =Ce0=Cet on veut avoiryh(2) = 0 =)C= 0 =)y0(x) = 0(definie pour2x2), (g)yh(1) =Ce1et on veut avoiryh(1) = 1 =)C=e=)y0(x) =e1xxx(definie pourx >0), (h)yh(=2) =Ce1=2et on veut avoiryh(=2) = 1 =)C=e1=2=)y0(x) =esin2(x)12

Exercice 3.Donner toutes les solutions des équations différentielles suivantes (pour simplifier la nota-

tion on a écrityà la place dey(x)) : (a)y0=y+xex+ 1 (b)y0= 3y+ sin(3x) (c)y0=y+ sin(x) + 2cos(x) (d)3y0=2y+x3+ 6x+ 1

Sol.Soity0(x) =a(x)y(x) +b(x)une équation différentielle linéaire d"ordre1. En suivant la méthode

qu"on a appris au cours, d"abord on trouve toutes les solutions de l"équation homogène associéeyh(x)

et après on trouve une solution particulièreyp(x) =c(x)y0(x), oùy0(x)est une solution homogène

particulière (précisément celle qu"on obtient de l"expression deyh(x)avec la constanteC= 1) et

c(x) =Rb(x)y

0(x)dx. Une fois qu"on a trouvéyh(x)(infinies) etyp(x)(une seule), toutes les solutions de

l"équation initielle sont : y(x) =yh(x) +yp(x): (a)L"équation homogène associée esty0=y, donc on voit immédiatement que y h(x) =Cex:

On choisity0(x) =exet on va trouverc(x) =Rxex+1e

xdx c(x) =Zxex+ 1e xdx Z (x+ex)dx=x22 +ex: Donc y p(x) =c(x)y0(x) =x22 ex+ 1:

Ainsi toutes les solutions sont :

y(x) =Cex+x22 ex+ 1: (b)L"équation homogène associée esty0= 3y, donc on voit immédiatement que y h(x) =Ce3x: En utilisant les raccourcis (cara(x) = 3ne dépend pas dex), on ayp(x) =Asin(3x) +Bcos(3x), avecAetBà déterminer. Vu queyp(x)doit satisfaire l"équation initiale, afin de trouverAetBon calculey0p(x) = 3yp(x) + sin(3x):

3Acos(3x)3Bsin(3x) = 3Asin(3x) + 3Bcos(3x) + sin(3x);

d"où on obtient (en factorisant les coefficients decos(3x)et desin(3x))

3A3B= 0

3B3A1 = 0

qui nous donneA=B=16 Donc y p(x) =16 sin(3x)16 cos(3x):

Ainsi toutes les solutions sont :

y(x) =Ce3x16 sin(3x)16 cos(3x): (c)L"équation homogène associée esty0=y, donc on voit immédiatement que y h(x) =Cex: En utilisant les raccourcis (cara(x) = 1ne dépende pas dex), on ayp(x) =Asin(x) +Bcos(x) +

2Csin(x)+2Dcos(x) =Esin(x)+Fcos(x), avecEetFà déterminer. Commeyp(x)doit satisfaire

l"équation initiale, afin de trouverEetFon calculey0p(x) =yp(x) + sin(x) + 2cos(x): Ecos(x)Fsin(x) =Esin(x) +Fcos(x) + sin(x) + 2cos(x); d"où l"on obtient (en factorisant les coefficients decos(x)et desin(x))

EF2 = 0

FE1 = 0

qui nous donneE=12 etF=32 Donc y p(x) =12 sin(x)32 cos(x):

Ainsi toutes les solutions sont :

y(x) =Cex+12 sin(x)32 cos(x): (d)L"équation est équivalente ày0=23 y+13 x3+2x+13 . L"équation homogène associée esty0=23 y, donc on voit immédiatement que y h(x) =Ce23 x:

En utilisant les raccourcis (cara(x) =23

ne dépende pas dex), on ayp(x) =Ax3+Bx2+Dx+E,

avecA; B; DetEà déterminer. Commeyp(x)doit satisfaire l"équation initiale, afin de trouver les

coefficients on calculey0p(x) =23 yp(x) +13 x3+ 2x+13

3Ax2+ 2Bx+D=23

(Ax3+Bx2+Dx+E) +13 x3+ 2x+13 d"où l"on obtient (en factorisant les coefficients dex3; x2; xet de1)

8>>>><

>>>:23 A13 = 0 3A+23 B= 0 2B+23

D2 = 0

D+23 E13 = 0 qui nous donneA=12 ; B=94 ; D=394 etE=1138 . Donc y p(x) =12 x394 x2+394 x1138

Ainsi toutes les solutions sont :

y(x) =Ce23 x+12 x394 x2+394 x1138

Exercice 4.Résoudre les problèmes de Cauchy suivants (pour simplifier la notation on écrit ayà la

place dey(x)) : (a)( y0=5y+ 3 y(0) = 0(b)( y0=3y+ 4ex y(0) =2(c)( y0= 3y+ sin(3x) + sin(2x) y(0) = 0 Sol.Pour trouver l"UNIQUE (!) solution d"un problème de Cauchy il faut d"abord trouver toutes les

solutions de l"équation différentielle linéaire d"ordre1dans la première ligne et après trouver l"unique

valeur de la constanteCtelle que la condition dans la deuxième ligne soit satisfaite. (a)L"équationy0=5y+ 3a comme solutions homogènesyh(x) =Ce5xet solution particulière y p(x) =35 . Donc toutes les solutions sonty(x) =Ce5x+35 . Maintenant il faut trouverCtel que y(0) = 0mais en posantx= 0on obtient y(0) =Ce0+35 =C+35 doncC=35 Donc l"unique solution du problème de Cauchy est : y(x) =35 (e5x+ 1): (b)L"équationy0=3y+ 4exa comme solutions homogènesyh(x) =Ce3xet solution particulière (en utilisant les raccourcis car3ne dépend pas dex)yp(x) =Aex, avecAà déterminer. Pour trouverAon va substitueryp(x)dans l"équation initiale en obtenantAex=3Aex+ 4ex, d"où on aA= 1(en factorisant les coefficients deex). Donc toutes les solutions sonty(x) =Ce3x+ex. Maintenant il faut trouverCtel quey(0) =2: en posantx= 0on obtient y(0) =Ce0+ 1 =C+ 1 doncC=3. Donc l"unique solution du problème de Cauchy est : y(x) =3e3x+ex: (c)L"équationy0= 3y+ sin(3x) + sin(2x)a comme solutions homogènesyh(x) =Ce3xet solution particulière (en utilisant les raccourcis car3ne dépend pas dex) de typeyp(x) =Asin(3x) + Bcos(3x)+Dsin(2x)+Ecos(2x), avecA; B; DetEà déterminer. Pour les trouver on va substituer y p(x)dans l"équation initiale en obtenant

3Acos(3x)3Bsin(3x)+2Dcos(2x)2Esin(2x) = 3Asin(3x)+3Bcos(3x)+3Dsin(2x)+3Ecos(2x)+sin(3x)+sin(2x)

d"où (en factorisant les coefficients desin(3x);cos(3x);sin(2x);cos(2x)) on a

8>>>><

>>>:3A3B= 0

3A3B1 = 0

2D3E= 0

2E3D1 = 0

qui nous donneA=16 ; B=16 ; D=313 etE=213 . Donc toutes les solutions sonty(x) = Ce 3x16 sin(3x)16 cos(3x)313 sin(2x)213 cos(2x). Maintenant il faut trouverCtel quey(0) = 0 mais en posantx= 0on obtient y(0) =Ce016 213
=C2578 doncC=2578 Donc l"unique solution du problème de Cauchy est : y(x) =2578 e3x16 sin(3x)16 cos(3x)313 sin(2x)213 cos(2x): Exercice 8.Déterminer les solutions aux problèmes inhomogènes suivants : (a) (1 +x2)y0(x)2xy(x) = (1 +x2)2 (b)y0(x) + 2xy(x) = 2xex2 (c)y0(x) =x2(1y(x))

Sol.Pour la notation regarder l"exercice3.

(a)On veut résoudre l"équation(1+x2)y0(x)2xy(x) = (1+x2)2, que, en divisant par(1+x2)(1+x26=

0pour toutexdonc aucun problème), on peut écrire aussi commey0(x) =2x1 +x2y(x) + 1 +x2.

Les solutions homogènes associées sont :

y h(x) =Celn(1+x2)=C(1 +x2)

et pour trouver la solution particulière on va calculer l"intégrale qui nous donnec(x)(attention,

dans ce cas on ne peut utiliser les raccourcis!) : c(x) =Z1 +x21 +x2dx=Z

1dx=x;

donc y p(x) =x(1 +x2): Ainsi toutes les solutions de l"équation(a)sont y(x) = (1 +x2)(C+x):

(b)On veut résoudre l"équationy0(x) =2xy(x) + 2xex2. Les solutions homogènes associées sont :

y h(x) =Cex2

et pour trouver la solution particulière on va calculer l"intégrale qui nous donnec(x)(attention,

dans ce cas on ne peut pas utiliser les raccourcis!) : c(x) =Z2xex2e x2dx=Z

2xdx=x2;

donc y p(x) =ex2x2: Ainsi toutes les solutions de l"équation(b)sont y(x) =ex2(C+x2): (c)On veut résoudre l"équationy0(x) =x2(1y(x)), qu"on peut écrire aussi commey0(x) =x2y(x)+ x

2. Les solutions homogènes associées sont :

y h(x) =Cex33

et pour trouver la solution particulière on va calculer l"intégrale qui nous donnec(x)(attention,

dans ce cas on ne peut pas utiliser les raccourcis!) : c(x) =Zx2e x33 dx=Z x 2ex33 dx=ex33 donc y p(x) =ex33 ex33 = 1: Ainsi toutes les solutions de l"équation(c)sont y(x) =Cex33 + 1:quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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