[PDF] [PDF] Quelques rappels sur la transformée de Laplace & la décomposition

View - Download [PDF] Quelques rappels sur la transformée de Laplace & la décomposition

Previous PDF

Next PDF

H. Garnier1HuguesGARNIERhugues.garnier@univ-lorraine.frVersion du 18 septembre2020Quelques rappels sur la transformée de Laplace&la décomposition en éléments simples

H. Garnier2Pierre-Simon LAPLACE•23 mars 1749 -5 mars 1827•Grand scientifiquefrançais•A profondément influencé les mathématiques, l'astronomie, la physique et la philosophie des sciences de son siècle•La transformée qui porte son nom facilite grandement l'analyse des systèmes à temps continuVisionner la vidéo de Brian Douglas : Control SystemsLectures-The Laplace Transformand the Important RoleitPlays

H. Garnier3•Soit un signal à temps continu x(t)causal (nul pour t<0), la transformée de Laplace de x(t)est définie par :où-sest la variable de Laplace (parfois notée p)-sest complexe : s= a+jw•On dit que X(s)est la transformée de Laplace du signal x(t)•Remarque : les conditions de convergence de l'intégrale impropre ne seront pas indiquéesDéfinition

Lx(t)()=Xs()=x(t)e-stdt0+∞∫x(t)t0Signal à temps continu

H. Garnier4•Impulsion de Dirac•Echelon unité•Rampe unité•Exponentielle causal (a scalaire réel ou complexe)Transformée de Laplace de signaux usuels

LΓ(t)()=1s t01

Γ(t)Lδ(t)()= 1 Lr(t)()=1s2 t01

r(t)Le-atΓ(t)()=1s+a1t0t01

δ(t)a>0 ici

e-atΓ(t) H. Garnier5Table de transformées de Laplacex(t) X(s) H. Garnier6Table de transformées de Laplacex(t) X(s)

ωos2+ωo2 sinωot()Γ(t) cosωot()Γ(t)ss2+ωo2ωos+a()2+ωo2 e-atsinωot()Γ(t)s+as+a()2+ωo2 e-atcosωot()Γ(t)

H. Garnier7•Linéarité•Dérivation par rapport au tempsQuelques propriétés importantes de la transformée de Laplace

Lax(t)()=a X(s)Lax(t)+by(t)()=a X(s)+b Y(s)Ldx(t)dt⎛⎝⎜⎞⎠⎟=sX(s)-x(0)Ldnx(t)dtn⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟=snX(s)-sn-1x(0)-sn-2x(1)(0)-...-sx(n-2)(0)-x(n-1)(0)Ld2x(t)dt2⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟=s2X(s)-sx(0)-!x(0)

H. Garnier8•Théorème du retard-Déterminer L(rect(t-0.5))•Changement d'échelle -Déterminer L(r(2t))•Produit par le temps-Déterminer L(tcos(w0t))

Lx(t-t0)()= e-st0Xs()Lx(at)()= 1aXsa!"#$%&Ltx(t)()=-dX(s)dsQuelques propriétés importantes de la transformée de Laplace

H. Garnier9•Produit de convolution•Théorème de la valeur initiale •Théorème de la valeur finale

x(t)*y(t)=x(τ)y(t-τ)dτ0+∞∫Lx(t)*y(t)()= X(s)×Y(s)x(0+)= lims→+∞sX(s)limt→+∞x(t)()= lims→0sX(s)Si la limite existeQuelques propriétés importantes de la transformée de Laplace

Exemple: x(t)=e-2tΓ(t)X(s)=ss2+ωo2Contre-exemple: x(t)=cosωot()Γ(t)X(s)=1s+2

H. Garnier10•Le problème consiste à retrouver le signal x(t) à partir de X(s)•Utilisation de la définition à partir de l'intégraleFormule compliquée ! On évite de l'utiliser•La transformée de Laplace inverse est un opérateur linéaireOn va exploiter cette propriétéTransformée de Laplace inverse

L-1X(s)()=x(t)L-1Xs()()=x(t)=12πjX(s)estdsσ-j∞σ+j∞∫L-1a X(s)+b Y(s)()=aL-1X(s)()+bL-1Y(s)()=ax(t)+by(t)

H. Garnier11Résolution d'équations différentielles à l'aide de la transformée de Laplace (TL)•La procédure de résolution est la suivante: 1.Appliquer la TL aux 2 membres de l'équation différentielle en y(t) en tenant compte des conditions initiales des signaux2.Calculer Y(s)en utilisant les propriétés et la table de TL3.Décomposer Y(s)en éléments simples4.Utiliser la table de transformées pour obtenir y(t)par transformée inverse

H. Garnier12•Exploitation directe de la table de transformées de Laplace-On essaie de mettre la transformée de Laplace sous une forme donnée dans la table •ExemplesTransformée de Laplace inversedans le cas de formes simples

H. Garnier13•Exploitation directe de la table de transformées de Laplace-On essaie de mettre la transformée de Laplace sous une forme donnée dans la table •Exemples (suite) :Transformée de Laplace inverse dans le cas de formes simples

H. Garnier14•La méthode consiste à décomposer en éléments simples Y(s)et à exploiter ensuite la table de transformées de LaplaceTransformée de Laplace inverse par décomposition en éléments simples

H. Garnier15•Cas où les nracines du dénominateur de Y(s)sont toutes distinctesRappels : décomposition en éléments simples

H. Garnier16•Déterminer le signal y(t)ayant comme transformée de LaplaceTransformée de Laplace inverseExemple

H. Garnier17•2èmecas:Si Y(s)possède une racine multiples1de multiplicité r:-Formule compliquée ! On évite de l'utiliser-Méthode recommandée pour les cas "simples» :•On détermine Arpar la méthode des limites•On choisit des valeurs de s≠s1(par exemple s=0, s=-1etc)•on résout un système d'équations pour les coefficients A1,...,Ar-1Rappels : décomposition en éléments simples

H. Garnier18•Déterminer le signal y(t)ayant comme transformée de LaplaceTransformée de Laplace inverseExemple

H. Garnier19On calcule le discriminant D•Si D>0; les deux racines sont réelles distinctes •Si D=0; la racine est double réelle. 2 cas sont à distinguer:•Si D<0; les deux racines sont complexes conjuguées. 2 cas sont à distinguer :Cas particuliers de transformées de Laplace du 2eordre

Y(s)=N(s)as2+bs+cY(s)=Ka(s-s1)(s-s2)=A1s-s1+A2s-s2Y(s)=Ka(s-s1)2=A(s-s1)2y(t)=A1es1t+A2es2t()Γ(t)y(t)=Ates1tΓ(t)Y(s)=Kas2+bs+c=Aωos+α()2+ωo2 y(t)=Ae-αtsinωot()Γ(t)Y(s)=ds+eas2+bs+c=As+αs+α()2+ωo2 y(t)=Ae-αtcosωot()Γ(t)Y(s)=ds+ea(s-s1)2=A1s-s1+A2(s-s1)2y(t)=A1es1t+A2tes1t()Γ(t)

quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

[PDF] echelon unitaire

[PDF] z transform table

[PDF] inverse laplace transform

[PDF] laplace transform calculator

[PDF] qqs

[PDF] niveau bright

[PDF] abréviation exemple

[PDF] test bright gratuit

[PDF] formule du demi-perimetre du rectangle

[PDF] mensuration homme musculation

[PDF] mesurer tour de cuisse homme

[PDF] orientation scolaire belgique

[PDF] conseiller d'orientation bruxelles

[PDF] vocabulaire géométrie collège

[PDF] test tricam