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Exercices Corriges
Matrices
Exercice 1{Considerons les matrices a coecients reels :A= 2 1
2 1! ; B= 1 2 24!C=0 B @1 1 2 1 0 1 11 01 C
A; D=0
B @11 1 1 0 10 1 01
CA; E= 11 1
1 0 1!
Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,CD,DC,AE,CE.Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)
On considere les matrices a coecients reels :
A= 1 1
1 1!B= 431
2 1 1!
C= 1 2
12! Calculer, s'ils ont un sens, les produitsAB;BA;AC;CA;B2. Exercice 3{On considere les matrices a coecients reels :A= 1 3
2 4!B= 431
2 1 1!
C= 43 2 1!1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.
2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.
Exercice 4{SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2;3(R) denies par :A= 4 3
1 1! ; B= 1 0 2 1 11! Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A2,B2etA+ 2Id2.Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :
A= 22 0
4 22!2M2;3(R); B=0
B @1 1 1 2 131C
A2M3;2(R); C= 11
1 2!2M2;2(R)
Determiner les produits denis 2 a 2 de ces trois matrices. Exercice 6{Ti;j() etant la matrice elementaire qui correspond a ajouter a la ligneile produit parde la ligne j, preciser la matriceT2;1(12 ) deM2;2(R), puis la matriceT1;2(2)T2;1(12 1 Exercice 7{1) Preciser les matrices elementaires deM3;3(R) : D2(2); T3;2(3); T2;1(2):
2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).
3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.
Exercice 8{Appliquer avec precision aux matricesMetNsuivantes l'algorithme du cours qui determine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 23 11!2M2;2(R)et N= 23
46!2M2;2(R):
Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)
1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser
son inverse :A= 1 2
3 4!2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 10{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 11 23!2M2;2(R):
2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 11{) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice :M= 2 1
3 2!2M2;2(R):
Preciser une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires. Exercice 12{SoitAetBdeux matrices carrees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d'inverse la matriceC. Montrer alors queBest inversible et preciserA1.Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)
SoitXetYdeux matrices carrees non nulles de m^eme taille a coecients reels, montrer que siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles.Exercice 14{SoitM=0
B @2 4 1 2 5 11 2 11
C A.1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice
M1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.
22) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).
4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.
5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee
dans le cours.Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)
1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 20 4 61
CA2M3;3(R):
Quelle est la valeur deM1?
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :
2XM=0 B @1 0 0 0 1 0 02 11 C A: Exercice 16{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverse M1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 10 2 31
CA2M3;3(R):
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.
Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :
M=0 B @1 01 2 3 40 1 11
C A:1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.
2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme
produit de matrices elementaires.3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :
(m)2 6 4x 1x3=m2x1+ 3x2+ 4x3= 1
+x2+x3= 2m: 3Correction de l'exercice 1 :
Le lecteur veriera que :
AB= 0 0
0 0! ; BA= 6 3 126!CD=0 B @0 1 2 1 0 1 21 01
C
A; DC=0
B @123 2 0 21 0 11
CA; AE= 12 3
12 3! Le produitCEn'a pas de sens car la taille des colonnes (a savoir 2) deEest dierent de la taille des lignes (a savoir 3) deC.Correction de l'exercice 2 :
On trouve :
AB= 22 0
22 0!AC= 0 0
2 0!CA= 3 3
33!Les deux autres produitsB2etBAn'ont pas de sens.
Correction de l'exercice 3 :
1)AB= 2 0 2
02 2! BAn'a pas de sens car la taille des lignes deBn'est pas egale a celle des colonnes deA.AC= 2 0
02! =2Id2:CA= 2 0
02! =2Id2:CB= 22157
10 7 3!
BCn'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deC. B2n'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deB.
2) Nous avons :AC=CA=2Id2, nous en deduisons :
A(12C) = (12
C)A= Id2:
Il en resulte que la matriceAest inversible, d'inverse : A 1=12C= 232
1124
De m^eme :
(12A)C=C(12
A) = Id2:
Il en resulte que la matriceCest inversible, d'inverse : C 1=12 A= 12 3212!
Correction de l'exercice 4 :
AB= 7 311
2 13!La matriceBAn'a pas de sens.
A2=AA= 139
32!La matriceB2n'a pas de sens.
A+ 2Id2= 4 3
1 1! + 2 1 0 0 1! = 2 3 1 3!Correction de l'exercice 5 :
AB= 02
4 14! ; BA=0 B @6 02 10 24108 61
CA; CA= 24 2
10 24!
BC=0 B @2 1 3 3 271C
A; C2= 03
3 3!Les matricesAC,CB,A2etB2ne sont pas denis.
Correction de l'exercice 6 :
T2;1(12
) =T2;1(12 )I2=T2;1(12 ) 1 0 0 1! = 1 0 12 1! De m^eme, en utilisant les proprietes des actions a gauche par les matrices elementaires, on obtient : T1;2(2)T2;1(12
) =T1;2(2) 1 0 12 1! = 02 12 1!Correction de l'exercice 7 :
1.1) 5 D2(2) =D2(2)I3=D2(2)0
B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A=0 B @1 0 0 02 00 0 11
C A: T3;2(3) =T3;2(3)I3=T3;2(3)0
B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A=0 B @1 0 0 0 1 00 3 11
C A: T2;1(2) =T2;1(2)I3=T2;1(2)0
B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A=0 B @1 0 0 2 1 00 0 11
C A: 1.2)A=T3;2(3)D2(2)T2;1(2) =T3;2(3)D2(2)0
B @1 0 0 2 1 00 0 11
C A:A=T3;2(3)0
B @1 0 0 42 00 0 11
C A: A=0 B @1 0 0 42 0126 11
C A: 1.3) 6 A1= (T3;2(3)D2(2)T2;1(2))1
=T2;1(2)1D2(2)1T3;2(3)1 =T2;1(2)D2((1=2))T3;2(3) =T2;1(2)D2((1=2))T3;2(3)0 B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A =T2;1(2)D2((1=2))0 B @1 0 0 0 1 0 03 11 C A =T2;1(2)0 B @1 0 00(1=2) 0
03 11 C A 0 B @1 0 02(1=2) 0
03 11 C A:Correction de l'exercice 8 :
a) Les deux lignes deMsont d'ordre 1. Donc,Mest ordonnee. M1=T2;1(12
)M= 23 0 12 B1=T2;1(12
)I2= 1 0 12 1! B 1M=M1 La matriceM1est triangulaire (on dit aussi echelonnee). La premiere phase de l'algorithme est terminee. Les elements de la diagonale deMetant non nuls, on peut conclure queMest inversible. M2=D2(2)M1= 23
0 1! B2=D2(2)B1= 1 0
1 2! B 2M=M2 M3=D1(12
)M2= 132 0 1! B3=D1(12
)B2= 12 0 1 2! B 3M=M3 M4=T1;2(32
)M3= 1 0 0 1! =I2B4=T1;2(32 )B3= 1 3 1 2! B4M=M4=I2
On obtient donc :
M1=B4= 1 3
1 2!Soit encore en remontant les calculs :
M1=T1;2(32
)D1(12 )D2(2)T2;1(12 7 b) Les deux lignes deNsont d'ordre 1. Donc,Nest ordonnee. N1=T2;1(2)N= 23
0 0! B1=T2;1(2)I2= 1 0
2 1! B 1N=N1 La matriceN1est triangulaire (on dit aussi echelonnee). La premiere phase de l'algorithme est terminee. Une ligne deN1est constituee de 0. La matriceNn'est donc pas inversible.Correction de l'exercice 9 :
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