[PDF] BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2016

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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

FILIÈRE MP

BANQUE

ÉPREUVE ORALE

DE MATHÉMATIQUES

SESSION 2016

avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, M. Boukhobza, F. Bernard, J.-P. Bourgade, J.Y. Boyer, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, B. Harington, J.-P. Keller, M.-F. Lallemand, A. Lluel, O. Lopez, J.-P. Logé, S. Moinier, P.-L. Morien, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Walbron et A. Warin

2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR

Dernière mise à jour : le 06/10/15

Banque épreuve orale de mathématiques session 2016, CCP-MP Mise à jour : 06/10/15

Introduction

L"épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la manière suivante :

25mn de préparation sur table.

25mn de passage à l"oral.

Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices :

un exercice sur 8 p ointsi ssude la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr

un exercice sur 12 p oints. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les112 exercices de la banque pour la session 2016:

58 exercices d"analyse ( exercice 1 à exercice 58).

36 exercices d"algèbre (exercice 59 à exercice 94).

18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112).

Dans l"optique d"aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux des CCP, chaque exercice de la

banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé. Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d"année scolaire.

Cela dit, il ne s"agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour

plus de clarté, relevé d"éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d"exercices.

Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d"année, en vous connectant sur le site : http://ccp.scei-concours.fr

si une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page.

Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document, page 3.

Remerciements à David DELAUNAY pour l"autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des

exercices de l"ancienne banque, diffusés sur son sitehttp://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : A. Antibi, L. d"Estampes et interrogateurs, Banque d"exercices de mathématiques pour le programme

2003-2014 des oraux CCP-MP,Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT,0701(2013) 120 exercices.

http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701 D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. http://mp.cpgedupuydelome.fr L"équipe des examinateurs de l"oral de mathématiques des CCP, filière MP.

Contact: Valérie BELLECAVE, coordonnatrice

des oraux de mathématiques des CCP, filière MP. vbellecave@gmail.com

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MISES À JOUR :

Les mises à jour signalées sont des mises à jour par rapport à la dernière version publiée sur le site des concours,

en date du 10/06/15. mise à jour du 06/10/15: exercice 2 : énoncé et corrigé modifié largement. exercice 5 : corrigé complété. exercice 7 : énoncé et corrigé de la question 2. changés. exercice 8 corrigé 2.(a) complété par une remarque et notations modifiées. exercice 9 : fonctionfnmodifiée , corrigé 2.(a) modifié avecfn(x)changé enfn(0). exercice 13 : fonctionfnde la question 2. modifiée. exercice 19 : supprimé et remplacé. exercice 20 : une question rajoutée (2.(c)). exercice 21 : corrigé 2. modifié. exercice 23 corrigé 2.,zchangé enx. exercice 24 : énoncé question 2. modifié. exercice 26 : énoncé et corrigé, questions renumérotées. exercice 29 : énoncé question 2. modifiéet corrigé 2. complété. exercice 34 : énoncé 2. virgules rajoutées. exercice 39 : énoncé modifié et écourté. exercice 40 : corrigé de la question 1.(b) complété. exercice 42 : énoncé modifié. exercice 47 : supprimé et remplacé. exercice 49 : énoncé modifié (la continuité de la somme de la série est admise). exercice 52 : corrigé 3.(c) modifié. exercice 55 : changement de la numérotation des questions et corrigé 1. modifié.

exercice 59 : énoncé et corrigés modifiés : on ne précise pas queff endomorphisme et une question rajoutée (3.).

exercice 60 : énoncé modifié et une question rajoutée. exercice 62 : supprimé et remplacé. exercice 83 :indication énoncé 3. modifiée. exercice 86 : hypothèsepnombre premier déplacée et questions renumérotées. exercice 88 : supprimé et remplacé. exercice 92 : énoncé 2. modifié et corrigé 2.(b) modifié. exercice 93 : corrigé 1. complété. exercice 97 : énoncé et corrigé, notation de la loi du couple modifiée. exercice 98 : énoncé modifié : dans la question 2.(b), l"égaliténi ki n i =k i n k est donnée et admise. exercice 102 : énoncé question 2.(b) modifié. exercice 104 : corrigé 2.(b) autre méthode complété et modifié.

exercice 106 : énoncé modifié (une seule des deux lois marginales est demandée et l"autre est donnée mais calcul de

l"espérance deVest rajouté). exercice 108 : corrigé 2.(b) modifié.

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BANQUE ANALYSE

EXERCICE 1 analyse

Énoncé exercice 1

1.

On considère deux suites n umériques(un)n2Net(vn)n2Ntelles que(vn)n2Nest non nulle à partir d"un

certain rang etuns+1vn. Démontrer queunetvnsont de même signe à partir d"un certain rang. 2. Déterminer le signe, au v oisinagede l"infini, de : un=sh1n tan1n

Corrigé exercice 1

1.

P arh ypothèse,9N02N=8n2N;n>N0=)vn6= 0.

Ainsi la suiteunv

n est définie à partir du rangN0.

De plus, commeuns+1vn, on alimn!+1u

nv n= 1.

Alors,8" >0,9N2N=N>N0et8n2N;n>N=)u

nv n16". (1)

Prenons"=12

. Fixons un entierNvérifiant(1).

Ainsi,8n2N;n>N=)u

nv n1612

C"est-à-dire,8n2N;n>N=) 12

6unv n1612

On en déduit que8n2N;n>N=)unv

n>12

Et donc,8n2N;n>N=)unv

n>0. Ce qui implique queunetvnsont de même signe à partir du rangN. 2.

Au v oisinagede +1, sh(1n

) =1n +16n3+o1n 3 ettan1n =1n +13n3+o1n 3 . Doncuns+116n3. On en déduit, d"après 1., qu"à partir d"un certain rang,unest négatif.

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EXERCICE 2 analyse

Énoncé exercice 2

On posef(x) =3x+ 7(x+ 1)2.

1.

Décomp oserf(x)en éléments simples.

2.

En déduire que fest développable en série entière sur un intervalle du type]r;r[(oùr >0).

Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validitéDde ce

développement en série entière. 3. (a)

Soit Panxnune série entière de rayonR >0.

On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X

n=0a nxn. Exprimer, pour tout entierp, en le prouvant,apen fonction deg(p)(0). (b) En déduire le dév eloppementlimité de fà l"ordre 3 au vosinage de 0.

Corrigé exercice 2

1. En utilisan tles métho deshabituel lesde décomp ositionen élémen tssimple s,on trouv e: f(x) =3x+ 1+4(x+ 1)2. 2.

D"après le cours, x7!1x+ 1etx7!1(x+ 1)2sont développables en série entière à l"origine.

De plus, on a8x2]1;1[,11 +x=+1P

n=0(1)nxn.

Et,8x2]1;1[,1(1 +x)2=+1P

n=1(1)n+1nxn1( obtenu par dérivation du développement précédent).

On en déduit quefest développable en série entière en tant que somme de deux fonctions développables en

série entière.

Et8x2]1;1[,f(x) = 3+1P

n=0(1)nxn+ 4+1P n=0(1)n(n+ 1)xn.

C"est-à-dire :8x2]1;1[,f(x) =+1X

n=0(4n+ 7)(1)nxn. NotonsDle domaine de validité du développement en série entière def.

D"après ce qui précéde,]1;1[D.

NotonsRle rayon de convergence de la série entièreX(4n+ 7)(1)nxn. Posons, pour tout entier natureln,an= (4n+ 7)(1)n.

On a :8n2N,a

n+1a n =4n+ 114n+ 7. Donclimn!+1 a n+1a n = 1. Donc, d"après la règle de d"Alembert pour les séries entières,R= 1.

On en déduit queD[1;1].

De plus, pourx= 1etx=1,limn!+1janxnj= +1doncX(4n+ 7)(1)nxndiverge grossièrement.

Donc162Det162D.

On en déduit queD= ]1;1[.

3. (a)

Soit Panxnune série entière de rayonR >0.

On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X

n=0a nxn.

D"après le cours,gest de classeC1sur]R;R[.

De plus,8x2]R;R[,

g

0(x) =+1X

n=1na nxn1=+1X n=0(n+ 1)an+1xn

CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 5

Banque épreuve orale de mathématiques session 2016, CCP-MP Mise à jour : 06/10/15 g

00(x) =+1X

n=1n(n+ 1)an+1xn1=+1X n=0(n+ 1)(n+ 2)an+2xn. et, par récurrence, on a :

8p2N,8x2]R;R[,g(p)(x) =+1X

n=0(n+ 1)(n+ 2):::(n+p)an+pxn=+1X n=0(n+p)!n!an+pxn.

Ainsi, pour toutp2N,g(p)(0) =p!ap.

C"est-à-dire, pour toutp2N,ap=g(p)(0)p!.

(b)fest de classeC1sur]1;1[. Donc d"après la formule de Taylor-Young, au voisinage de0,f(x) =3X p=0f p(0)p!xp+o(x3). (*)

Or, d"après 3.(a), pour tout entierp,fp(0)p!est aussi la valeur dupièmecoefficient du développement en

série entière def. Donc, d"après 2., pour tout entierp,fp(0)p!= (4p+ 7)(1)p. (**) Ainsi, d"après (*) et (**), au voisinage de0,f(x) =3X p=0(4p+ 7)(1)pxp+o(x3). C"est-à-dire, au voisinage de0,f(x) = 711x+ 15x219x3+o(x3).

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EXERCICE 3 analyse

Énoncé exercice 3

1.

On p oseg(x) = e2xeth(x) =11 +x.

Calculer, pour tout entier naturelk, la dérivée d"ordrekdes fonctionsgethsur leurs ensembles de

définitions respectifs. 2.

On p osef(x) =e2x1 +x.

En utilisant la formule de Leibniz, concernant la dérivéenièmed"un produit de fonctions, déterminer, pour

tout entier naturelnet pour toutx2Rnf1g, la valeur def(n)(x). 3.

Démon trer,dans le cas g énéral,la form ulede Leibniz, utilisée dans la question précéden te.

Corrigé exercice 3

1.gest de classeC1surRethest de classeC1surRnf1g.

On prouve, par récurrence, que :

8x2R,g(k)(x) = 2ke2xet8x2Rnf1g,h(k)(x) =(1)kk!(1 +x)k+1.

2.gethsont de classeC1surRnf1gdonc, d"après la formule de Leibniz,fest de classeC1surRnf1g

et8x2Rnf1g: f (n)(x) =nX k=0 n k g (nk)(x)h(k)(x) =nX k=0 n k 2 nke2x(1)kk!(1 +x)k+1=n!e2xnX k=0(1)k2nk(nk)!(1 +x)k+1. 3.

Notons (Pn)la propriété :

Sif:I!Retg:I!Rsontnfois dérivables surIalors,fgestnfois dérivable surIet :

8x2I,(fg)(n)(x) =nX

k=0 n k f (nk)(x)g(k)(x).

Prouvons que(Pn)est vraie par récurrence surn.

La propriété est vraie pourn= 0et pourn= 1(dérivée d"un produit).

Supposons la propriété vraie au rangn>0.

Soitf:I!Retg:I!Rdeux fonctionsn+ 1fois dérivables surI.

Les fonctionsfetgsont, en particulier,nfois dérivables surIet donc par hypothèse de récurrence la

fonctionfgl"est aussi avec8x2I,(fg)(n)(x) =nX k=0 n k f (nk)(x)g(k)(x). Pour toutk2 f0;:::;ng, les fonctionsf(nk)etg(k)sont dérivables surIdonc par opération sur les fonctions dérivables, la fonction(fg)(n)est encore dérivable surI. Ainsi la fonctionfgest(n+ 1)fois dérivable et :

8x2I,(fg)(n+1)(x) =nX

k=0 n k f(n+1k)(x)g(k)(x) +f(nk)(x)g(k+1)(x)

En décomposant la somme en deux et en procédant à un décalage d"indice sur la deuxième somme, on

obtient :8x2I,(fg)(n+1)(x) =nX k=0 n k f (n+1k)(x)g(k)(x) +n+1X k=1 n k1 f (n+1k)(x)g(k)(x).

C"est-à-dire

(fg)(n+1)(x) =nX k=1 n k +n k1 f (n+1k)(x)g(k)(x) +n 0 f (n+1)(x)g(0)(x) +n n f (0)(x)f(n+1)(x).

Or, en utilisant le triangle de Pascal, on a

n k +n k1 =n+ 1 k

On remarque également que

n 0 = 1 =n+ 1 0 etn n = 1 =n+ 1 n+ 1

On en déduit que(fg)(n+1)(x) =n+1X

k=0 n+ 1 k f (n+1k)(x)g(k)(x).

Donc(Pn+1)est vraie.

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EXERCICE 4 analyse

Énoncé exercice 4

1. Énoncer le théorème des accroisse mentsfinis. 2.

Soit f: [a;b]!Ret soitx02]a;b[.

On suppose quefest continue sur[a;b]et quefest dérivable sur]a;x0[et sur]x0;b[.

Démontrer que, sif0admet une limite finie enx0, alorsfest dérivable enx0etf0(x0) = limx!x0f0(x).

3. Prouv erque l"implication : ( fest dérivable enx0)=)(f0admet une limite finie enx0) est fausse. Indication: on pourra considérer la fonctiongdéfinie par :g(x) =x2sin1x six6= 0etg(0) = 0.

Corrigé exercice 4

1.

Théorème des accroissemen tsfinis :

Soitf: [a;b]!R.

On suppose quefest continue sur[a;b]et dérivable sur]a;b[.

Alors9c2]a;b[tel quef(b)f(a) =f0(c)(ba).

2.

On p osel= limx!x0f0(x).

Soith6= 0tel quex0+h2[a;b].

En appliquant le théorème des accroissements finis, à la fonctionf, entrex0etx0+h, on peut affirmer

qu"il existechstrictement compris entrex0etx0+htel quef(x0+h)f(x0) =f0(ch)h.

Quandh!0(avech6= 0), on a, par encadrement,ch!x0.

Donclimh!01h

(f(x0+h)f(x0)) = limh!0f0(ch) = limx!x0f0(x) =l. On en déduit quefest dérivable enx0etf0(x0) =l. 3. La fonction gproposée dans l"indication est évidemment dérivable sur]1;0[et]0;+1[. gest également dérivable en 0 car1h (g(h)g(0)) =hsin1h

Orlimh!0h6=0hsin1h

= 0carjhsin1h j6jhj.

Donc,gest dérivable en0etg0(0) = 0.

Cependant,8x2Rnf0g,g0(x) = 2xsin1x

cos1x

2xsin1x

x!00(carj2xsin(1x )j62jxj), maisx7!cos1x n"admet pas de limite en 0.

Doncg0n"a pas de limite en0.

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EXERCICE 5 analyse

Énoncé exercice 5

1. On considère la série de terme général un=1n(lnn)oùn>2et2R. (a)Cas6660 En utilisant une minoration très simple deun, démontrer que la série diverge. (b)Cas >0

Étudier la nature de la série.

Indication: on pourra utiliser la fonctionfdéfinie parf(x) =1x(lnx). 2.

Déterminer la nature de la s érie

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