[PDF] SUITES 1ère SPÉCIALITÉ MATHÉ

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES07-SUITESSUITES lim n→+∞?1+13 +13 2+13

3+:::+13

n?=?Première-Chapitre 07Table des matières

IGénéralités sur les suites2

1)Notion de suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2)Modes de génération d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3)Suite, tableur et algorithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4)Algorithme de seuil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IISens de variations d"une suite4

1)Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2)Comment étudier le sens de variation d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IIISuites arithmétiques5

1)Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2)Formule explicite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3)Méthode pour montrer qu"une suite est arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4)Méthode pour montrer qu"une suite n"est pas arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5)Sens de variation d"une suite arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

6)Somme des entiers de 1 àn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IVSuites géométriques8

1)Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2)Formule explicite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3)Méthode pour montrer qu"une suite est géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4)Méthode pour montrer qu"une suite n"est pas géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5)Sens de variation d"une suite géométrique de raison strictement positive. . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6)Somme des puissances successives d"un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

VVariations et représentations graphiques10

1)Suite arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2)Suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Polycopié de cours de N. PEYRATP age1 sur10 Lycée Sain t-Charles

1

èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES07-SUITESDans tout le chapitre, on définira les suites par défaut sur l"ensembleN. Tous les résultats (sauf précision contraire)

restent valables si la suite n"est définie qu"à partir d"un certain rang. I

Généralités sur les suites

1)

Notion de suite On appellesuiteude nombre réels toute fonction définie sur l"ensembleNdes entiers naturels.

L"image parud"un entier naturelnest un réel notéun, et se lit "uindicen». On dit queunest letermegénéral de la suiteu,nest unindiceou unrang.DÉFINITION

- La suiteuest aussi notée(un)n?Nou plus simplement(un), à ne pas confondre avec le terme général

u n:unest un réel,(un)est une suite. (Faire l"analogie avecfetf(x).)

- Dans un repère, la représentation graphique de la suiteuest l"ensemble des pointsMnde coordonnées

(n;un)avecn?N. On verra plus tard une autre représentation graphique possible d"une suite.REMARQUES

2)

Mo desde génération d"une suite

Une suite peut être définie de plusieurs façons différentes : a) au mo yend"une f ormuleexplicite

On définit le terme généralunen fonction den.Soitula suite définie, pour tout entier natureln, parun=n2+2n+3.

Alors pour tout entier natureln,un=f(n)avecf?x↦x2+2x+3. On a ainsiu0=f(0)=3etc...EXEMPLE

Avantages :

- Lorsqu"une suite est définie demanière explicite, on peut calculer directement n"importe quel terme de la

suite, sans avoir à connaître les termes précédents.

- Son étude est proche de celle d"une fonction. En effet, il suffit, dans l"exemple ci-dessus, d"étudier la fonctionf

définie sur[0;+∞[parf(x)=x2+2x+3.

Problème :

Dans la plupart des modélisations à l"aide de suites (évolution d"une population par exemple), les suites ne sont

pas définies de façon explicite mais... b) au mo yend"une rela tionde récurrence

On définit la suite(un)par son premier terme et une relation permettant de calculer un terme à partir du terme

précédent (généralementun+1en fonction deun).Soitula suite définie paru0=1et pour tout entier naturelnpar la relationun+1=3un+1.

On obtient alorsu1=3u0+1=3×1+1=4,u2=:::etc.EXEMPLE

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES07-SUITESProblème de ce mode de génération :

Pour calculer un terme, il faut connaître le précédent, et par suite (ahah), il faut donc connaître tous les termes

précédents. Par exemple dans l"exemple précédent, pour calculeru17, il faut effectuer le calcul :u17=3u16+1, et

il faut donc calculeru16=3u15+1, etc etc...

L"un des buts principaux de ce chapitre va être de concevoir des méthodes permettant de passer d"une forme

récurrente (peu pratique dans les calculs mais très répandue) à sa forme explicite (pratique pour les calculs et

l"étude de la suite).Il est aussi possible de définir une suite à partir de plusieurs premiers termes et d"une relation de

récurrence exprimant un terme en fonction deplusieurstermes précédents. Par exemple, la suite de Fibonnaci, définie surNparu0=1,u1=1et pour tout entier natureln, u n+2=un+1+un.REMARQUE c) pa run autre mo yen...

Il peut exister des suites dont les termes ne suivent pas une logique particulière : par exemple la suite des décimales

de, ou une suite de nombres générés aléatoirement etc. 3)

Suite, tableur et algo rithme

On peut calculer les premiers termes d"une suite à l"aide d"un tableur, ou d"un algorithme. Par exemple, en

reprenant la suite(un)définie surNparu0=1et pour tout entier naturelnparun=3un+1, on peut procéder

ainsi :

Tableur :AB

101

2=A1+1=3*B1+1

3=A2+1=3*B2+1

4...recopier vers le bas......recopier vers le bas...Programme en Python (qui renvoie les termes de la suite deu0àun, soit lesn+1premiers termes)

1defs uite01(n):

2u=1

3l=[u]

4fori i nr ange(1,n+1):

5u=3*u+1

6l.append(u)

7returnl On peut aussi utiliserfori in range (n)à la place defori in range (1,n+1). Dans les deux cas,

la bouclefors"exécute biennfois, mais il faut bien contrôler la valeur prise pari, notamment si la

variablenapparait dans la relation de récurrence. Pour rappel :fori in r ange(1,n+1)=" pour i allant de1àn» for i in range (n)=" pour i allant de0àn-1»REMARQUE

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES07-SUITES4)Algo rithmede seuil Unalgorithme de seuil, pour une suite, est un algorithme qui renvoie le plus petit rang de la suite pour lequel une condition définie est réalisée.DÉFINITION Soit(un)la suite définie surNparu0=2et, pour tout entier natureln,un+1=1;05un+1. 1.

Écrire, en langage n aturel,un algorithme qui ren voiele plus p etiten tiernatu relntel queun>103.

2. Programmer, en langa gePython, cet algorit hme.Quelle est la v aleurde nretournée?EXEMPLE II

Sens de va riationsd"une suite

1)

Définition Soituune suite définie surN.

On dit que la suiteuest croissante lorsque pour tout entier natureln,un⩽un+1. On dit que la suiteuest décroissante lorsque pour tout entier natureln,un⩾un+1.DÉFINITION

On définit de même une suite strictement croissante ou strictement décroissante en utilisant une in-

égalité stricte ().REMARQUE

2) Comment étudier le sens de va riationd"une suite

Soituune suite définie surN. Pour étudier le sens de variation de la suiteu, on peut procéder à plusieurs méthodes :

a) 1 èreméthode : étude du signe de la différenceun+1-unSoituune suite définie surN. Si pour tout entier natureln,un+1-un⩾0, alors la suiteuest croissante. Si pour tout entier natureln,un+1-un⩽0, alors la suiteuest décroissante.PROPRIÉTÉ

Il faut étudier le signe deun+1-unpour tout entier natureln(c"est-à-dire sans chercher à remplacer

npar un entier au choix !!). Ce n"est pas parce queu1-u0>0et queu2-u1>0(etc) que l"on peut conclure que cela va rester vrai pour tous les entiers naturelsnet queuest croissante !REMARQUE

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES07-SUITESb)2

eméthode : étude du sens de variation d"une fonctionSoituune suite définie surNdéfinie de manière explicite sous la formeun=f(n), avecfune fonction

définie sur[0;+∞[. Si la fonctionfest croissante sur[0;+∞[, alors la suiteuest croissante.

Si la fonctionfest décroissante sur[0;+∞[, alors la suiteuest décroissante.PROPRIÉTÉ

Pour tout entier natureln,nSi pour tout entier natureln,un+1u n>1, alors la suiteuest strictement croissante.

Si pour tout entier natureln,un+1u

n<1, alors la suiteuest strictement décroissante.

Si pour tout entier natureln,un+1u

n=1, alors la suiteuest constante.PROPRIÉTÉ u n+1u Déterminer le sens de variations de la suiteudéfinie surNparun=52 n.EXEMPLE III

Suites a rithmétiques

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES07-SUITES1)Définition

Soituune suite définie surN.

On dit queuest une suite arithmétique de raisonrsi et seulement si il existe un réelrtel que pour

tout entier natureln: u n+1=un+rDÉFINITION Soitula suite arithmétique de raison2et de premier termeu0=0. Ainsi, pour tout entier natureln,un+1=un+2. Calculer les premiers termes.EXEMPLE 2)

F ormuleexplicite

Soituune suite arithmétique de raisonr?R, définie surN.

Alors pour tous entiers naturelsnetp, on a :

u n=up+(n-p)r En particulier, siuest définie à partir du rang 0, on a : u n=u0+nrPROPRIÉTÉ

Démonstration dans le cas oùn>p:

Faire un schéma...DÉMONSTRATION

Soitula suite arithmétique de raisonr=3définie surNet telle queu10=2. Calculeru17.EXEMPLE 3) Métho dep ourmontrer qu"une suite est a rithmétique

Pour montrer qu"une suiteuest arithmétique, on calcule,pour tout entier natureln, la différence

u n+1-unet on montre que cette différence est égal à un réel constant. La suiteuest alors arithmétique de raison ce réel.PROPRIÉTÉ Ce n"est pas parce que l"on montre queu1-u0=u2-u1que l"on peut conclure que cela marche pour

tout entier naturelnet que la suite est arithmétique ! Il faut effectuer le calcul pour toutn, donc

avec la variablen.REMARQUE

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES07-SUITESMontrer que la suiteudéfinie surNparun=3-5nest arithmétique et préciser sa raison et son premier

terme.EXEMPLE 4) Métho dep ourmontrer qu"une suite n"est pas a rithmétique Pour montrer qu"une suiteun"est pas arithmétique, on utilise uncontre-exemple:

Par exemple, on calcule les trois premiers termes de la suite (ou trois termes consécutifs quelconques),

et on montre que leur différence n"est pas constante.PROPRIÉTÉ Montrer que la suiteudéfinie surNparun=n2n"est pas arithmétique.EXEMPLE 5)

Sens de va riationd"une suite a rithmétique

Soituune suite arithmétique de raisonr?R, définie surN.

Sir>0, alors la suiteuest strictement croissante.

Sir<0, alors la suiteuest strictement décroissante. Sir=0, alors la suiteuest constante.PROPRIÉTÉ Siuest arithmétique de raisonr, alorsun+1=un+r, d"oùr=un+1-un. Or on a vu que le signe deun+1-undonnait les variations deu, d"où le résultat.DÉMONSTRATION 6) Somme des entiers de 1 à nPour tout entier naturelnnon nul, on a :

1+2+:::+n=n(n+1)2PROPRIÉTÉ

SoitS=1+2+:::+n. On a :

S=1+2+:::+(n-1)+nque l"on peut écrire en inversant l"ordre des termes :

S=n+(n-1)+:::+2+1.

Par somme de ces deux égalités terme à terme, on obtient :

2S=(1+n)+(2+n-1)+:::+(n-1+2)+(n+1)

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES07-SUITESCalculer les sommes suivantes :?S1=1+2+3+:::+100(=5050)?S2=13+14+:::+25(=247)

IV

Suites géométriques

1)

Définition Soituune suite définie surN. On dit queuest une suite géométrique de raisonqsi et seulement si il

existe un réelqnon nul tel que pour tout entier natureln: u n+1=q×unDÉFINITION Soitula suite géométrique de raison 5 définie surNet telle queu0=2. Alors pour tout entier natureln,un+1=5un. Calculer les premiers termes.EXEMPLE 2)

F ormuleexplicite

Soituune suite géométrique de raisonq?R, définie surN.

Alors pour tous entiers naturelsnetp, on a :

u n=up×qn-p En particulier, siuest définie à partir du rang 0, on a : u n=u0×qnPROPRIÉTÉ

Démonstration dans le cas oùn>p:

Faire un schéma...DÉMONSTRATION

Soitula suite géométrique de raisonr=12

définie surNet telle queu6=5. Calculeru11.EXEMPLE

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES07-SUITES3)Métho dep ourmontrer qu"une suite est géométrique

Pour montrer qu"une suiteuest géométrique, on exprime,pour tout entier natureln,un+1en fonction deunen montrant qu"il existe un réelqtel queun+1=q×un. La suiteuest alors géométrique de raison ce réel.PROPRIÉTÉ - C"est laseuleetuniqueméthode valable et correcte ! On ne peut pas essayer de montrer que le rapportun+1u nest constant car son étude implique de démontrer au préalable queunne s"annule pas (long et contraignant). - Ce n"est pas parce que l"on montre queu1u 0=u2u

1que l"on peut conclure que cela marche pourtout

entier naturelnet que la suite est géométrique !REMARQUE

Montrer que la suiteudéfinie surNparun=2n3

est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.EXEMPLE 4) Métho dep ourmontrer qu"une suite n"est pas géométrique Pour montrer qu"une suiteun"est pas géométrique, on utilise uncontre-exemple:

Par exemple, on calcule les trois premiers termes de la suite (ou trois termes consécutifs quelconques),

et on montre que leur quotient n"est pas constant.PROPRIÉTÉ Montrer que la suiteudéfinie surNparun=4n2-1n"est pas géométrique.EXEMPLE 5) Sens de va riationd"une suite géométrique de raison strictement p ositive Soituune suite définie surN, géométrique de raisonq>0et de premier termeu0.

Siu0>0:

Siq>1, alorsuest strictement croissante.

Siq=1, alorsuest constante.

Si0

Siu0<0:

Siq>1, alorsuest strictement décroissante.

Siq=1, alorsuest constante.

Si0 Siu0=0, alors la suiteuest constante à zéro.THÉORÈME

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES07-SUITES6)Somme des puissances successives d"u nréel Soitqun réel différent de1. Alors pour tout entier natureln, on a : SoitS=1+q+q2+:::+qn-1+qn. AlorsqS=q+q2+q3+:::+qn+qn+1 Donc par différence de ces deux égalités, on obtient : S-Sq=1-qn+1, donc(1-q)S=1-qn+1, donc on a bienS=1-qn+11-q(carq≠1)DÉMONSTRATIONquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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