[PDF] Étude des fonctions B-splines pour la fusion dimages segmentées

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MÉMOIRE

pour l'obtention de l'

HABILITATIONÀ DIRIGERDESRECHERCHES

Université de Poitiers

(Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées)

École Doctorale:Sciences Pour l'Ingénieur

Secteur de Recherche:Traitement du signal et des images par

PHILIPPECARRÉ

Construction et analyse de transformées discrètes en ondelettes : spécificité de l'image et de la couleur Soutenue 17 Novembre 2011 devant la Commision d'Examen composée de :

Ludovic MACAIRE, Professeur, Université de Lille, LAGIS ...............................................Président du Jury

Jean-Marc CHASSERY, Directeur de Recherche CNRS, GIPSALAB............................................ Rapporteur

William PUECH, Professeur, Université Montpellier, LIRMM...................................................Rapporteur

Frédéric TRUCHETET, Professeur, Université de Bourgogne,LE2I ..............................................Rapporteur

Yannick BERTHOUMIEU, Professeur ENSEIRB-MATMECA, IMS ........................................... Examinateur

Christine FERNANDEZ-MALOIGNE, Professeur, Université dePoitiers, XLIM-SIC ................................. Garant

Préambule

Je remercie vivement Monsieur Jean-Marc CHASSERY, Directeur de Recherche CNRS au GIPSALAB

de Grenoble, Monsieur William PUECH, Professeur au LIRMM deMontpellier et Monsieur Frédéric TRU-

CHETET, Professeur au LE2I du Creusot, de m'avoir fait l'honneur d'accepter d'être rapporteurs de ce

mémoire. J'ai eu l'immense plaisir durant ces dix années de pouvoir échanger avec eux au cours de jurys de

thèses, de discussions informelles dans le cadre d'écoles thématiques ou de congrès, sur des sujets concer-

nant la sécurité des données multimédia, l'intégration de concepts géométriques dans les ondelettes, le lien

avec la dimension physique, ou tout simplement sur le métierde chercheur.

Je témoigne toute ma gratitude à Monsieur Yannick BERTHOUMIEU,Professeur à l' IMS de Bordeaux

et à Monsieur Ludovic MACAIRE, Professeur au LAGIS de Lille,de m'avoir fait l'honneur de siéger à la

commision d'examen de mon HDR. J'ai eu l'opportunité et le plaisir de pouvoir échanger avec eux dans

différents projets scientifiques concernant la dimension couleur, son intégration dans les outils du signal et

la compréhension de la représentation suivant un angle probabiliste.

Je remercie tout particulièrement Christine Fernandez-Maloigne qui me guide et m'accompagne depuis

de nombreuses années dans ce métier, tout d'abord en tant quedirectrice de thèse, puis en tant que directrice

du laboratoire et collègue dans l'équipe. Son aide, ses conseils, sa confiance et son soutien ont été sources

de grandes satisfactions, tant professionnelles que personnelles. Pour tout cela je lui dois un immense merci.

Les travaux présentés dans ce document sont, pour un grand nombre d'entre-eux, le fruit d'encadre-

ment de thèses ou de séjours post-doctoraux. Je tiens donc à remercier et à associer à ce travail tous les

jeunes collègues que j'ai eu le plaisir d'encadrer : PatriceDenis, Philippe Gosselin, François Largeteau,

Guillaume Lebrun, Aldo Maalouf, François Mourougaya, Alice Parisis, Frédéric Petit, Sylvain Rousseau,

Raphaël Soulard et Abdul Wadood.

J'ai eu la chance de construire et d'échanger sur différentsprojets à la fois scientifiques et pédago-

giques avec de nombreux collègues : Eric Andrès, Bertrand Augereau, Michel Berthier, Anne-sophie Ca-

pelle, Christian Chatellier, Philippe Gaborit, David Helbert, Philippe Meseure, Christian Olivier, Yannis

Pousset, Clency Perrine, Noel Richard, Rodolphe Vauzelle et d'autres encore. Ils ont tous été moteurs dans

la construction commune d'une maquette d'enseignement ou d'un article.

Je remercie tous les membres du laboratoire XLIM-SIC qui sont mes collègues de travail depuis 11 ans,

et particulièrement mes collègues de l'équipe Icones qui ont accepté de m'accompagner et de me supporter

comme animateur de l'équipe depuis maintenant 4 ans. Je formule des remerciements spéciaux à Françoise

Perrain et Virginie Caillet-Bichet qui m'aident sur de nombreux aspects administratifs, et à Sylvie Duclaud

pour tout le travail qu'elle fournit pour faire "tourner" leMaster.

Je remercie également mes amis, avec qui j'ai partagé de nombreux moments conviviaux et précieux,

1

sportifs ou culinaires : Jean et Hélène, Michel, Jean-Louis, Aline et Benoît, Anne-Sophie et Manu, Isabelle

et Laurent, Céline et Julien.

Je voulais dédier ce mémoire à mes proches disparus trop vite, ma soeur et mon père. Ce dernier m'a

donné le goût de ce métier passionnant et a été source de motivation. Je souhaite également saluer ma mère

qui a toujours été, qui est et restera présente à mes cotés. Jela remercie pour son soutien sans faille.

Enfin, pour terminer, mes pensées vont vers ma femme, Sylvie,et mes deux enfants, Lilou et Jules, pour

les joies nombreuses qu'ils m'apportent au quotidien, leurpatience face à ma soif sans fin d'altitude et

d'immensité, pour leur soutien dans les moments plus difficiles, et tout simplement pour leur amour.

2

Table des matières1 Introduction8

2 Prise en compte de la géométrie dans les transformées en ondelettes 13

2.1 Rappel : la transformée de Fourier, la transformée en ondelettes et les évolutions en "Let" . . 14

2.1.1 La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 14

2.1.2 La transformée en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 15

2.1.2.1 Analyse multirésolution 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 15

2.1.2.2 Ondelettes et bancs de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 16

2.1.2.3 Singularités et ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 18

2.1.3 X-lets et autres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 20

2.1.3.1 Transformée géométrique à fonctions d'analyses fixes . . . . . . . . . . . 20

2.1.3.2 Transformées adaptatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 22

2.2 Transformée géométrique, une illustration numérique :la transformée Ridgelet discrète . . . 30

2.2.1 Principe de la transformée Ridgelet . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 30

2.2.1.1 Définition de la transformée Ridgelet . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 30

2.2.1.2 La transformée de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 31

2.2.2 L'aspect discret de la transformée Ridgelet . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2.2 La transformée de Radon discrète . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35

2.2.2.3 Inversion de la transformée Radon discrète . . . . . . .. . . . . . . . . . 36

2.2.2.4 Transformée de Radon dans le cadre de la Fast Slant Stack . . . . . . . . 37

2.2.2.5 La reconstruction dans le cadre de la Fast Slant Stack . . . . . . . . . . . 42

2.2.3 La stratégie de Poitiers : la transformée Ridgelet analytique ou DART . . . . . . . . 43

2.2.3.1 Définitions des droites discrètes 2-D . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 43

2.2.3.2 Stratégie de calcul de la transformée de Radon discrète . . . . . . . . . . 45

2.2.3.3 Inversion de la transformée de Radon analytique discrète . . . . . . . . . 46

2.2.3.4 Illustration de la transformée de Radon analytiquediscrète . . . . . . . . 47

2.2.4 Transformée Ridgelet et applications . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 47

2.2.4.1 Calcul de la transformée DART . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47

2.2.4.2 Applications de la transformée Ridgelet 2-D dans larestauration d'images 48

2.2.5 Evolution de la DART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 53

2.2.5.1 Transformée locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 53

2.2.5.2 Vers une transformée Curvelet . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 53

3

TABLE DES MATIÈRES

2.2.5.3 DART 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 57

2.3 Une transformée en ondelettes géodésiques . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3.1 Filtrage bilatéral et extension à travers la distancegéodésique . . . . . . . . . . . . 62

2.3.1.1 Présentation du filtrage bilatéral . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 62

2.3.1.2 Introduction de la notion de variété . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 62

2.3.1.3 Généralisation du filtrage bilatéral . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 64

2.3.2 Notion de distance géodésique en traitement d'images. . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3.3 Extraction de la topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 67

2.3.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.3.3.2 Graphe deskplus proches voisins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3.3.3 Construction du graphe non orienté . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 69

2.3.3.4 Recherche du plus court chemin et extraction de la distance géodésique . . 71

2.3.4 Filtrage bilatéral géodésique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 73

2.3.5 Transformée en ondelettes 2-D géodésiques . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 75

2.3.5.1 Lifting scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75

2.3.5.2 Décimation par treillis quinconces . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 79

2.3.5.3 Introduction de la distance géodésique . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 79

2.3.6 Analyse de la transformée géodésique . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 80

2.3.7 Application à la restauration d'image . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 83

2.3.7.1 Introduction de redondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 83

2.3.7.2 Application de la transformée géodésique au débruitage . . . . . . . . . . 84

2.3.8 Intégration de la couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 86

3 Prise en compte de la couleur dans les outils issus du traitement du signal 90

3.1 Définitions, éléments de base et premières manipulations couleur. . . . . . . . . . . . . . . 91

3.1.1 L'algèbre des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 91

3.1.2 Manipuler des couleurs à l'aide des Quaternions . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 93

3.1.2.1 Transformations deR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.1.2.2 Quaternions et images couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 94

3.1.2.3 La forme de Cayley-Dickson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 97

3.1.2.4 Modification couleur à partir des quaternions . . . . .. . . . . . . . . . . 98

3.1.3 Les algèbres de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 99

3.1.3.1 Définition et construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 99

3.1.3.2 Un contexte calculatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 101

3.1.4 Algèbres géométriques pour les images couleur . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 105

3.1.4.1 Teinte, saturation et intensité à partir d'un vecteur couleur . . . . . . . . . 105

3.1.4.2 Opérations sur les caractéristiques couleur . . . . .. . . . . . . . . . . . 106

3.2 Filtrage quaternionique et cliffordien : application àla détection de contours couleur . . . . 107

3.2.1 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 108

3.2.2 Les filtres quaternioniques et leurs extensions pour la détection de contours couleur . 109

3.2.3 Extension de l'opérateur de Sangwine par des opérations géométriques . . . . . . . 110

3.3 Les transformées de Fourier couleur . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 117

4

TABLE DES MATIÈRES

3.3.1 Analyse spatio-chromatique d'images couleur . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 117

3.3.1.1 La transformée de Fourier spatio-chromatique . . . .. . . . . . . . . . . 117

3.3.1.2 Notion de chemin couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 118

3.3.2 Transformées de Fourier quaternioniques . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 122

3.3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.3.2.2 Définition numérique de l'espace de Fourier quaternionique . . . . . . . . 124

3.3.2.3 Interprétation du spectre quaternionique . . . . . . .. . . . . . . . . . . 125

3.3.2.4 Applications de Fourier quaternionique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 130

3.3.3 Approche fréquentielle par algèbres de Clifford pourles images couleur . . . . . . . 131

3.3.3.1G2et images couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.3.3.2G3et images couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.3.3.3 Une transformée de Fourier couleur utilisantG4. . . . . . . . . . . . . . 135

3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 139

4 Ondelettes analytiques141

4.1 Signal analytique et ses extensions . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 141

4.1.1 Rappel sur le signal analytique 1-D . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 142

4.1.1.1 Lien avec l'analyse de fonction. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 144

4.1.1.2 Interprétation géométrique du signal analytique .. . . . . . . . . . . . . 145

4.1.2 Extension de la notion de signal analytique aux imagesen niveaux de gris . . . . . . 145

4.1.3 Extension de la notion de signal analytique par transformée de Fourier quaternionique147

4.1.3.1 Transformée de Fourier Quaternionique pour les images niveaux de gris . 148

4.1.3.2 Le signal analytique quaternionique 2D. . . . . . . . . .. . . . . . . . . 149

4.2 ondelettes Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 151

4.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 151

4.2.2 Déploiement numérique des ondelettes complexes . . . .. . . . . . . . . . . . . . 152

4.2.3 Extension 2D : Dual-Tree 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 154

4.3 Ondelettes quaternioniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 156

4.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 157

4.3.2 Expression numérique de la QWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 159

4.3.3 Information associée à la QWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 160

4.3.4 Estimation de flot optique par QWT . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 161

4.4 L'analyse de textures par QWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 161

4.4.1 Existant sur la discrimination quaternionique . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.4.2 Utilisation des mesures de norme et de phase de la QWT . .. . . . . . . . . . . . . 163

4.4.3 Utilisation de la QWT pour la classification de textures : mesures . . . . . . . . . . 164

4.5 Codage d'image par QWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 169

4.5.1 Principe général du codeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 169

4.5.2 Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 169

4.5.3 Organisation du flux en fonction du canal . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 172

4.6 Discussion sur la transformée QWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 173

4.7 Les perspectives : Ondelettes monogéniques couleur . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.7.1 Transformée de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 173

5

TABLE DES MATIÈRES

4.7.2 Le signal monogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 175

4.7.3 Ondelettes Monogéniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 178

4.7.4 Introduction de la dimension couleur . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 181

4.7.5 Monogénique, Radon et Ridgelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 184

4.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 184

5 Sécurité186

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 186

5.2 Tatouage vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 187

5.2.1 Introduction au tatouage d'images . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 187

5.2.2 Définition générale de l'algorithme vectoriel basé ondelettes . . . . . . . . . . . . . 190

5.2.2.1 Insertion de la marque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 190

5.2.2.2 Détection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

5.2.3 Détection non-décimée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 195

5.2.4 Définition du seuil d'acceptation . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 196

5.2.4.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.2.4.2 Calcul de la probabilité de fausse alarme . . . . . . . . .. . . . . . . . . 197

5.2.4.3 Mise en place du seuil en fonction dePf. . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2.4.4 Évolution avec la détection non-décimée . . . . . . . . .. . . . . . . . . 199

5.2.5 Mesures de robustesse de l'algorithme vectoriel baséondelettes . . . . . . . . . . . 200

5.2.5.1 Mesure de fausse détection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 201

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