Cours 1ère S PDF Le radian noté rad

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Une fonction en informatique est similaire à une fonction mathématique c'est un objet qui module m—th contient les fonctions mathématiques principales.

TRIGONOMETRIE Algorithme : mesure principale

Une mesure (en radians) M étant donnée on voudrait mettre au point un algorithme pour qu'une calculatrice ou un ordinateur puisse déterminer la valeur de

Maths Première Python

de l'objet math en poss`ede une qui se note sqrt : §. ¤ from math import * On peut calculer la mesure principale de x avec l'algorithme suivant :.

Algorithmique : mesure principale dun angle orienté

1. Que fait cet algorithme ? 2. Modifier l'algorithme de sorte que l'entrée a (et la sortie) soit une mesure en radians

ESD 2013 – 13 : Algorithmique

2. Proposer un algorithme en langage naturel permettant de déterminer la mesure principale d'un angle orienté dont une mesure en radian est.

Outils Mathématiques et utilisation de Matlab

figure(1); h = plot(xsin(x)

Cours de mathématiques - Exo7

ALGORITHMES ET MATHÉMATIQUES. 1. PREMIERS PAS AVEC Python 2. 1.2. Somme des cubes. Travaux pratiques 2. 1. Pour un entier n fixé programmer le calcul de la

Algorithmique en classe de première avec AlgoBox

Des algorithmes supplémentaires en rapport avec le contenu mathématique des pro- Contexte (1S/1STL) : Détermination de la mesure principale d'une mesure ...

Chapitre7

Trigonométrieetanglesorientés

7.1Cerc letrigonométriqueetmesu red'angle

Définition7.1.1.Unce rcletrigonométrique Cestuncer clederay on1surleq uelnousdistingueron s deuxsensdep arcours: •les ensdirectlor squelecercleestparcou rudanslesensinversedesaigui llesd'un emontre; •les ensindirect lorsquelecercleestparcouruda nslesensdesai guillesd'unemontre. Remarque.Lesmes uressuivantesseron tutilesparlasuite:lalong ueurd'uncerclevaut2π,celle dude mi-cerclevautdoncπetcel led'unqua rtdecerclevaut 2 Lecer cletrigono métriquepermetd'introduireunenouvelleunitédemesured'angles:leradian. Définition7.1.2.Lera dian,notérad,estlamesured'unangleaucentrequiinterceptesurle cercleCuna rcdelongue ur1. Remarque.Ilya une rel ationdepr oportionnalitéentrelesd egrése tlesradians.Eneffet,nous savonsquelarela tionsuivan teestvé rifiée

360de gréséquivautà2πrad( lalongueurd ucercletrigonométrique)

C'estpourquo inousavonsletableausuiv ant:

Degrés360d

Radian2πr

Ceta bleaudeproportionnal iténou sfournitlarelationsuivante180×r=d×2πquiper metde convertirdesdegrésenradian etvice-ver sa. Lesv aleursremarquablessui vantessontàconnaitre

Degrés030456090120135150180

Radian0

6 4 3 2 2π 3 3π 4 5π 6 57

58CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS

7.2Anglé orientéd'uncoup ledevecteurs

Nousallons voirqu'ilestpossi bled'orienter leplanetd'utiliserlecercletrigo nométri quepour associerlamesured'unangle entrede uxvecteursnonnul s.Aceteffet,soi ent uet vdeuxvect eurs nonnuls. Apartirducentr eOduce rcletrigonométriqueC,ilexistedeuxpointsduplanMetN telsque OM= uet ON= v Depl us,observonsque lesdemi-droites[OM)et[ON)coupentlecercleendespointsAetB.La longueurl,surlecercleC,entrelespointsAetBvape rmettrededéfinirlamesuredel 'angle associéauxvecteurs uet v.

Définition7.2.1.Danslec ontexte précédent,lafamilledes nombresréelsl+2kπ,aveck∈Z,est

unemesur edel'angleorien té( u, v). Remarque.Dema nièreinformelle,lenom brekindiquelenombredet our (ducercletrigonomét rique) quiaété fai t.Enprati que,nousallonss ouvent confondreunangleavecl 'unedesesmes ures.Notons aussiquel'ordre desvecteu rs uet vestimpo rtant.Eneffet,si( u, v)=lalors( v, u)=2π-l.

7.2.1Mesure principaled'unangl eorientédevecteurs

Certainsmesuressontplu ssimplesàutiliserque d'autres. Définition7.2.2.Parmilesmesur esl+2kπ,aveck∈Z,d'unangleorienté( u, v),ilenexiste uneetune seuleap partena ntàl'interva lleI=]-π;π].Cettemesures'appellelamesureprincipale de( u, v). Remarque.Lava leurabsoluedelam esureprincipaled'unang lecoïnci deavecl'anglegéométrique définiparle sdeuxvec teurs uet "toursdecercle»:si( u, v)=lalorstoute slesautresmesuresd ecetangles ontdelaforme l+2kπaveck∈Z

Voyonscequenous obteno nssurdeux exemples.

Exemple7.2.1.1.Su pposonsque(

u, v)= 37
6

πetdét erminonslamesureprincipaledecet

angleorienté. Pourcela,ilsuffitd'observerque

37π

6×6+1

π=(6+

1 6 6 +3×2π; lame sureprincipaleestdonc 6

2.De manières imilaire,si(

u, v)=

202π

3 nousavons

202π

67×3+1

3 3 +67π;
ici,ilfau tpo ursuivreunpeu noscalculsafindefaireapparaitreunmult iplede2πàlaplace de6 7π.Celas'effectuedelama nièresu ivante

67π=68π-π,

7.3.FON CTIONCOSINUSETSINUSD'UNAN GLEORIENTÉ59

ainsi 3 +67π=
3 +68π-π=-
2π 3 +34×2π.Lamesureprincipalevautdonc-
2π 3 etl 'angle géométriqueassociéapourmesure 2π 3 2π 3

7.2.2Proprié tésdesanglesorientés

Voiciquelque spropriétésdesanglesori entés,celles-cis'obtiennentgrâceàducalculvecto riel.

uet vdeuxvecteu rsnonnuls.Alors •direque uet vsontcoliné airesetdemêmesensestéquivalentà( u, v)=0; •direque uet vsontcoliné airesetdesensopposéestéquivalentà( u, v)=π Remarque.Ceré sultatdonneuneautrefaço ndeprouverquetr oispoints sontaligné soudemontrer quedesd roitesson tparallèles. Unerel ationdeChaslesexisteéga lemen tpourlesanglesorientés.

Proposition24(RelationdeChasles).Soient

u, vet wdesvect eursnonnuls,alors u, v)+( v, w)=( u, w) Remarque.Encons équencedecetterelationdeChasles,n ousavo nslesrelationssuivantes: v, u)=-( u, v);( u,- v)=( u, v)+π;(- u, v)=( u, v)+π;(- u,- v)=( u, v) Iles tégalemen timportantd'observerquelas ubstitutiond'unvect eurparunautrevecteur coli- néaire,demêmesens,n'affectepasl emesuredel 'angle orienté.Par exemple (2 u, v)=( u, v);( u,3 v)=( u, v);(2 u,3 v)=( u, v)

7.3Foncti oncosinusetsinusd 'unangleorienté

Pourintro duirecesnouvellesfonctions,il estimport antdeseplacerdansunrepèreorthonormé (O;I;J)direct;si i= OIet j=

OJcecisi gnifieque

i∥=∥ j∥=1et ( i, j)= 2 Définition7.3.1.Dansunt elcadr e,àtoutpo intsMappartenantaucercletrigonomét riq ueCde •nousnotero nsθunemes uredel'angleorie nté( OI, OM); •leco sinusdeθ,notécos(θ),correspondraàl'abscissedupointM; •lesi nusdeθ,notésin(θ),correspondraàl'ordonnéedupointM.

60CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS

OO II JJ MM cos(θ) sin(θ) Voyonsquelquesp ropriétésdecesnouvelles fonctions.Toutd'abord,ilestimportantdecalculer quelquesvaleursrema rquablesdecesfonctions .

7.3.FON CTIONCOSINUSETSINUSD'UNAN GLEORIENTÉ61

x y 0 30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
6 4 3 2 2π 3 3π 4 5π 6 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4

11π

6 2π 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 (-1,0)(1,0) (0,-1) (0,1) Surla figurepréc édente,l'a bscissedechaquepointfournilavaleurducosinusdel'anglecor- respondantetl'ordonnéelavale urdus inus.Parexemple,lepointM( 1 2 3 2 )permetdesavoir que cos 3 1 2 etsi n 3 3 2

62CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS

Iles tessentie lderetenirlesvaleurssuivan tes.

θ(enradi ans)0

6 4 3 2 cos(θ)1 3 2 2 2 1 2 0 sin(θ)0 1 2 2 2 3 2 1

Lesau tresvaleurspeuventêt reretrouvéesdemanière élémentaireàl'aided'a rgu mentsgéomé-

triquesquenousallon sdécrire ci-dessous.

7.3.1Propri étésdesfonctionstrigonométriques

Proposition25.Pourtoutx∈Retto utk∈Zlesid entitéssuivantessontsatis faites •cos 2 (x)+sin 2 (x)=1.

Voicilespropr iétésgéom étriquesdontnousparlionsplus tôt.Ile nexist eencored 'autresmais

nousneles abo rderonspasdans cecours.

Proposition26.Pourtoutré elx,nousavons

•(Relationentrelesdeux)sin 2 -x =cos(x)etcos 2 -x =sin(x). Atoutefinutilementionnonségalementlesformulesd'additionssuivant es:

Proposition27.Soienta,bdeuxréelsal ors

7.4Equati onstrigonométriques

Enfin,pourconclu recechapitre ,ilfaudrarésoudredeséq uationsdelaform e cos(x)=uousi n(x)=uavecu∈[-1;1]quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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Chapitre7

Trigonométrieetanglesorientés

7.1Cerc letrigonométriqueetmesu red'angle

360de gréséquivautà2πrad( lalongueurd ucercletrigonométrique)

C'estpourquo inousavonsletableausuiv ant:

Degrés360d

Radian2πr

Degrés030456090120135150180

Radian0

58CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS

7.2Anglé orientéd'uncoup ledevecteurs

7.2.1Mesure principaled'unangl eorientédevecteurs

Voyonscequenous obteno nssurdeux exemples.

Exemple7.2.1.1.Su pposonsque(

πetdét erminonslamesureprincipaledecet

37π

6×6+1

π=(6+

2.De manières imilaire,si(

202π

202π

67×3+1

67π=68π-π,

7.3.FON CTIONCOSINUSETSINUSD'UNAN GLEORIENTÉ59

7.2.2Proprié tésdesanglesorientés

Proposition24(RelationdeChasles).Soient

7.3Foncti oncosinusetsinusd 'unangleorienté

OJcecisi gnifieque

60CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS

7.3.FON CTIONCOSINUSETSINUSD'UNAN GLEORIENTÉ61

11π

62CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS

Iles tessentie lderetenirlesvaleurssuivan tes.

θ(enradi ans)0

7.3.1Propri étésdesfonctionstrigonométriques

Proposition26.Pourtoutré elx,nousavons

Proposition27.Soienta,bdeuxréelsal ors

7.4Equati onstrigonométriques