[PDF] PROPORTIONNALITÉ Proportionnalité au cycle 3 Pour

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PROPORTIONNALITÉ

Septembre 2017

Arnaud Simard

-Comté

La proportionnalité : une

modélisation du réel.

Situation réelle ou

évoquée

Situation

mathématique

Solution

mathématiqueSolution réelle mathématisation calcul interprétation vérification

LEMA PISA 2003

Exemple de cycle de modélisation

Exemple de cycle de modélisation

Contrôle pragmatique

Proportionnalité au cycle 3

Définition en termes

algébriques

Maths Monde cycle 4

Définition en termes de

grandeurs (mesurables)

Maths Monde cycle 4

Définition en cycle 3

Deux grandeurs sont dites

varient dans les mêmes proportions. exemples-exemples-exemples

Maths Monde cycle 4

Les Professeurs des écoles actuels ont ces conceptions de la proportionnalitéen tête !

Attention

Le sens de la proportionnalité (liaison multiplicative entre des grandeurs) ne "technique» (calcul sur les lignes et les colonnes).* Pour parler de proportionnalité avec des élèves (cycle 3 et 4) il est important de ne pas systématiser la représentation sous forme de tableau de nombres. Pour parler de proportionnalité avec des personnes initiées (étudiants, permettre de résumer les situations sous forme de tableau (" sens que là où il y a ambigüité»)

Nombre de bonbons1315

Prix à payer0,822,4612,30

La fonction linéaireassociée à cette situation de proportionnalité est

F(X) = 0,82×X

F(3) = 0,82×3 = 2,46 F(15) = 0,82×15 = 12,30 Le tableau de proportionnalité qui résume la situation est le tableau de valeurs de la fonction linéaire associée. Le taxi roule à vitesse constante. S'il lui faut 3 minutes pour faire 2,46 km alors il lui faudra

15 minutes pour faire 12,30 km.

Si 3 cm sur la carte représentent 2,46 km dans

la réalité alors 15 cm sur la carte représentent

12,30 km dans la réalité.

NOTION MATH SOUS-JACENTE : fonction linéaire

CONTEXTE : Situation de proportionnalité

Cadre fonctionnel et cadre graphique

Nombre de bonbons3151

Prix à payer2,4612,300,82

×0,82

Nombre de bonbons

Cadre fonctionnel et cadre graphique

Nombre de bonbons3151

Prix à payer2,4612,300,82

×0,82

Nombre de bonbons1315

0,82 2,46 12,30

Cadre fonctionnel et cadre graphique

Nombre de bonbons3151

Prix à payer2,4612,300,82

×0,82

Nombre de bonbons

Les points sont alignés

sur une droite qui 1315
0,82 2,46 12,30

Représentation graphique

Toute situation de proportionnalité est associée à une fonction linéaire.

En effet : F(X) = a×

Remarque

Si 3 bonbons valent

2,46 euros...

Si le taxi met 3 minutes

pour faire 2,46km.. Entiers...cadre discretTout nombre...cadre continu 1315
0,82 2,46 12,30

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 8 bonbons?

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 14 bonbons?

Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,

combien valent 8 bonbons?

Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,

combien valent 14 bonbons? ĺUtilisation du coefficient de proportionnalité ĺUtilisation des propriétés de linéarité

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 14 bonbons?

Au même tarif

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros et

que 6 bonbons valent 3 euros, combien valent 14 bonbons? couple de données

Repérer des régularités

Tester des hypothèses de modèle

Diversifier les procédures

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 8 bonbons?

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 14 bonbons?

Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,

combien valent 8 bonbons?

Sachant que 4 stylos valent 2,42 euros,

combien valent 14 bonbons? ĺUtilisation du coefficient de proportionnalité ĺUtilisation des propriétés de linéarité

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 8 bonbons?

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 14 bonbons?

Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,

combien valent 8 bonbons?

Sachant que 4 stylos valent 2,42 euros,

combien valent 14 bonbons? ĺUtilisation du coefficient de proportionnalité ĺUtilisation des propriétés de linéarité

Relation entre les

nombres (variable didactique fondamentale)

Pourquoi changer de

procédure ?

Savoir faire "parler les

nombres *»

Nombres entiers

Nombres rationnels

Nombres décimaux

Nombres irrationnels

II -Autour de la proportionnalité

La multiplication

Exemple 7 x 15

Nombre de parts17

valeur15? " Unpaquet contient 15 bonbons, combien de bonbons dans 7 paquets? »

1-Multiplications et divisions

Les divisions

Exemple 15 : 9

Nombre de parts19

valeur?15 " 9 tartelettes valent 15 euros, combien vaut unetartelette? » (division

1-Multiplications et divisions

Les divisions

Exemple 15 : 9

Nombre de parts?1

valeur159 " 1 kg de figues vaut 9 euros, quelle masse de figues pour 15 euros ? » (division quotition : recherche du nombre de parts)

1-Multiplications et divisions

Les divisions (partition et quotition) dépendent du Les divisions partition sont généralement mieux réussies que les divisions quotition.

Une explication :

Dans la division partition on cherche une grandeur quotient généralement identifiable (ex : on divise "» pour trouver des plus difficile à exprimer.

1-Multiplications et divisions

2- numération décimale que de la proportionnalité (le lien avec les fractions décimales

3-Taux de pourcentages

pour cent unités. Système efficace pour comparer des proportions : Dans la classe de Lisette il y a 27 élèves dont 13 filles.

Dans quelle classe y a-t-il le plus de filles?

(additif : 13>12)

Dans quelle classe les filles sont-elles le plus

représentées ? (multiplicatif : 48% contre 52%)

Phare, cycle 3

Pour 100 licenciés, il y a "82,4 femmes».

Pour 50 licenciés, il y a "41,2 femmes».

Pour 250 licenciés, il y a 82,4 + 82,4 + 41,2 = 206 femmes.

4-Vitesse constante

distance"d»etdurée"t».

120kmenuneheuredonc60kmenunedemiheure

tvd mais tous donnent une relation de proportionnalité entre les distances réelles et les distances représentées

5-Les échelles

Distance sur le planEchelle = Distance réelle

Remarque :

un dixième» considère la fraction décimale sous son aspect opérateur (et pas division partage ou division quotient).

Les distances

sont exprimées dans la même unité!

Agrandissement réduction

6-Proportionnalité en géométrie

A B C A B C

6-Proportionnalité en géométrie

ABestàcequeACestàetBCà.

ABACBC

A B C

6-Proportionnalité en géométrie

ABACBC

THALES

-Chaque élève trace un cercle puis en mesure le -Chaque élève trace un carré puis en mesure le

III Résolution de problèmes

de proportionnalité 1- 1-

Recette pour 20 crêpes ?

Recette pour 20 crêpes ?

Proportionnalité "adaptableinterprétable

ATTENTION aux implicites des situations dites

"concrètes doit expliciter (régulièrement) ! 1-

2-Des procédures de résolution de

problème de proportionnalité

Procédure experte ou non ?

Propriété additive de la linéarité

Procédure experte ou non ?

Propriété additive de la linéarité

Procédure experte ou non ?

Procédure mixte :

Propriété additive / multiplicative de la linéarité

Procédure experte ou non ?

Propriété multiplicative de la linéarité

Procédure experte ou non ?

Procédure experte ou non ?

Utilisation du coefficient de proportionnalité ?

Produit en croix?

Procédure experte ou non ?

Attention:Ilpeutêtreimpossiblepourde

demettredesmotssurlesacteset ("laqualification»,C.Houdement).

Procédure experte ou non ?

Procédure experte ou la plus adaptée?

lesquelles il pourra choisir ()

Doc. eduscol

3-Repères de progressivité dans les

procédures attendues

Début CM1

Linéarité somme et différence

Quelle est la masse de 8 billes? de 2 billes?

On connait la masse de 3 billes (51g) et de 5 billes (85g)

Fin CM1

Linéarité somme / différence / double et mixte (facile à identifier)

Quelle est la masse de 6 billes? de 10 billes?

de 13 billes? de 7 billes? On connait la masse de 3 billes (51g) et de 5 billes (85g)

3-Repères de progressivité dans les

procédures attendues

Début CM2

linéarité somme / différence / multiple / diviseur / mixte

Quelle est la masse de 21 billes? de 28 billes?

de 500 billes? de 250 billes ? 125 billes ? On connait la masse de 3 billes (51g) et de 5 billes (85g)

3-Repères de progressivité dans les

procédures attendues

Fin CM2

Quelle est la masse de 20 billes? de 21 billes?

de 1 bille? de 87 billes? On connait la masse de 3 billes (51g) et de 5 billes (85g)

3-Repères de progressivité dans les

procédures attendues

Début 6°

proportionnalité de moins de 180 billes. On connait la masse de 3 billes (51g) et de 5 billes (85g)

3-Repères de progressivité dans les

procédures attendues

Fin 6°

proportionnalité / tableau de proportionnalité Résumer sous forme de tableau la situation de la masse des billes en sachant faire apparaitre les opérations de linéarité et le coefficient de proportionnalité. On connait la masse de 3 billes (51g) et de 5 billes (85g)

3-Repères de progressivité dans les

procédures attendues

Persistance du modèle additif

4-Erreurs classiques

Persistance du modèle additif

4-Erreurs classiques

Pour 4 baguettes de PLUS on paye 4 euros de PLUS !

4-Erreurs classiques

ĺdeux baguettes» ou "2 baguettes» ?

Choix de la procédure

4-Erreurs classiques

Attention à ne pas "formaliser» trop tôt !

Mauvaise utilisation du signe "= »

4-Erreurs classiques

ĺcalcul en ligne au cycle 3» pour

le statut du signe "= » Difficulté à travailler avec les décimaux

4-Erreurs classiques

Confusion entre "vitesse instantanée» et " vitessemoyenne»

4-Erreurs classiques

ĺconstante»

Effet de contrat : les énoncés typés "proportionnalité»

4-Erreurs classiques

proportionnalité "partielle»

Enoncé "concretconcrète»

4-Erreurs classiques

souhaité (problème de la modélisation)

4-Erreurs classiques

Un tableau ne fait pas laproportionnalité.

4-Erreurs classiques

Confusion entre "croissance» et "proportionnalité».

ĺtaille

IV-Proportionnalité et modélisation

1- proportionnalité

2-Exemples de problèmes

1-Reconnaissance de situations de

proportionnalité

Exemple

Unesituationquipasmodélisableavecla

(raisonnementpar.

Chercher

Modéliser

Représenter

Raisonner

Calculer

Communiquer

+ Manipuler (tout en sachant que faire des manipulation) 2- proportionnalité "Quelle est la masse de 80 billes identiques ?»

Nous souhaitons

savoir la masse de prixChoix (mettre une croix)

16 billes

24 billes

32 billes

33 billes

40 billes

47 billes

48 billes

79 billes

"Quelle est la masse de 80 billes identiques ?» "La botte du Géant»

Quelle est la taille du Géant ?

Un problème de modélisation

Chercher

Modéliser

Raisonner

Calculer

Communiquer

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