Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices PDF

Exercices avec Solutions

65. Page 5. Les Structures de Contrôle (Conditionnelles – Itératives). Exercices Corrigés d'Algorithmique – 1ére Année MI 5. EXERCICE 1. Ecrire un algorithme

[PDF] Algorithmes - Exo7 - Cours de mathématiques

exercice de le prouver). • Dans la pratique on calcule la somme à un certain ... Mini-exercices. 1. Écrire une version itérative et une version récursive ...

Langage C : énoncé et corrigé des exercices IUP GéniE

l'erreur ) . Exercice 27 Ecrire une f onction int coder ( int iD ep la ce m ent c ha r * sN o mF ic h ier 1

EXERCICES – ALGORITHME SECONDE Exercice 5.1 Ecrire un

Exercice 5.1. Ecrire un algorithme qui demande à l'utilisateur un nombre compris entre 1 et 3 jusqu'à ce que la réponse convienne. corrigé - retour au cours.

SCIENCES DE LINGENIEUR

Exercices résolus exercices non résolus. (1 ou 2 pages). Page 5. 5. SOMMAIRE. U N I T E A D C. FONCTION ALIMENTER. CHAPITRE 1 : L'ENERGIE ELECTRIQUE

exo-logique-niv3-correction.pdf

2017 - Correction exercices de logique Niv. 4 - Page /1 6. Option. Exo 1 Propose une description du fonctionnement. (organigramme ou algorithme). Exo ...

Algorithmique et programmation

On trouvera l'ensemble des questions posées aux différents examens écrits depuis que le cours d'Informatique est devenu obligatoire pour la majorité des

COURS ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION INFORMATIQUE

12 mars 2013 • Cours et exercices corrigés d'algorithmique- J. Julliand Ed ... • Cours algorithme Cécile Balkanski Nelly Bensimon

MANAGEMENT BTS 1re ANNEE CORRIGES DES EXERCICES

L'entreprise pour atteindre ses objectifs doit être ouverte sur son environnement afin de capter les attentes et les tendances du marché. EXERCICE 2 : De la

BASES DE DONNÉES ET MODÈLES DE CALCUL

Cours et exercices corrigés. Jean-Luc Hainaut. Professeur à l'Institut d'Informatique des Facultés Universitaires Notre-Dame de la Paix Namur. 4e édition. Page ...

Exercices avec Solutions

Exercices Corrigés d'Algorithmique – 1ére Année MI 5. EXERCICE 1. Ecrire un algorithme qui demande un nombre à l'utilisateur puis calcule et affiche le

EXERCICES – ALGORITHME SECONDE Exercice 5.1 Ecrire un

Exercice 5.1. Ecrire un algorithme qui demande à l'utilisateur un nombre compris entre 1 et 3 jusqu'à ce que la réponse convienne. corrigé - retour au cours.

livre-algorithmes EXo7.pdf

Voici ce que l'on fait pour calculer Sn avec n = 10. • On affecte d'abord la valeur 0 à la variable somme cela correspond à l'initialisation S0 = 0.

Exercices corrigés

Enfin utilisez la « bonne pratique » : recommencez l'exercice en transtypant les saisies effectuées avec l'instruction raw_input(). Cours no 2 : « Contrôle

Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices

Puis calculer A-1. Exercice 8 – Appliquer avec précision aux matrices M et N suivantes l'algorithme du cours qui détermine si une matrice est inversible et

SCIENCES DE LINGENIEUR

pas à le faire car elle contribuera à corriger une éventuelle erreur

PLANIFICATION et Ordonnancement

Chercher un ordonnancement minimisant la durée totale du projet. « Algorithmes » annexes : . Accélération du programme à moindre coût . Lissage des charges

Corrigés de travaux pratiques

24 juil. 2014 Algorithmique & programmation en langage C. Damien Berthet & Vincent Labatut. Corrigés de travaux pratiques. Supports de cours – Volume 3.

LATEX pour le prof de maths !

11 janv. 2021 Exercice no . ... 18 Des feuilles d'exercices corrigés avec barème ! ... tions dynamiques en cours à l'aide de la classe Beamer.

Premier examen – Corrigé

Tout plagiat sera rapporté à la direction du département et sévèrement puni. • Vous avez droit aux manuels et aux notes de cours ainsi qu'à vos notes.

Exercices Corriges

Matrices

Exercice 1{Considerons les matrices a coecients reels :

A= 2 1

2 1! ; B= 1 2 24!
C=0 B @1 1 2 1 0 1 11 01 C

A; D=0

B @11 1 1 0 1

0 1 01

A; E= 11 1

1 0 1!

Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,CD,DC,AE,CE.

Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)

On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 1

1 1!

B= 431

2 1 1!

C= 1 2

12! Calculer, s'ils ont un sens, les produitsAB;BA;AC;CA;B2. Exercice 3{On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 3

2 4!

B= 431

2 1 1!

C= 43 2 1!

1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.

2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.

Exercice 4{SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2;3(R) denies par :

A= 4 3

1 1! ; B= 1 0 2 1 11! Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A2,B2etA+ 2Id2.

Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :

A= 22 0

4 22!

2M2;3(R); B=0

B @1 1 1 2 131
C

A2M3;2(R); C= 11

1 2!

2M2;2(R)

Determiner les produits denis 2 a 2 de ces trois matrices. Exercice 6{Ti;j() etant la matrice elementaire qui correspond a ajouter a la ligneile produit parde la ligne j, preciser la matriceT2;1(12 ) deM2;2(R), puis la matriceT1;2(2)T2;1(12 1 Exercice 7{1) Preciser les matrices elementaires deM3;3(R) : D

2(2); T3;2(3); T2;1(2):

2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).

3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.

Exercice 8{Appliquer avec precision aux matricesMetNsuivantes l'algorithme du cours qui determine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 23 11!

2M2;2(R)et N= 23

46!

2M2;2(R):

Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)

1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser

son inverse :

A= 1 2

3 4!

2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.

Exercice 10{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 11 23!

2M2;2(R):

2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

Exercice 11{) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice :

M= 2 1

3 2!

2M2;2(R):

Preciser une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires. Exercice 12{SoitAetBdeux matrices carrees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d'inverse la matriceC. Montrer alors queBest inversible et preciserA1.

Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)

SoitXetYdeux matrices carrees non nulles de m^eme taille a coecients reels, montrer que siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles.

Exercice 14{SoitM=0

B @2 4 1 2 5 1

1 2 11

C A.

1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice

1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.

2) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).

4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.

5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee

dans le cours.

Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)

1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :

M=0 B @1 2 3 0 1 2

0 4 61

A2M3;3(R):

Quelle est la valeur deM1?

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :

2XM=0 B @1 0 0 0 1 0 02 11 C A: Exercice 16{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverse M

1de la matrice :

M=0 B @1 2 3 0 1 1

0 2 31

A2M3;3(R):

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.

Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :

M=0 B @1 01 2 3 4

0 1 11

C A:

1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.

2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme

produit de matrices elementaires.

3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :

(m)2 6 4x 1x3=m

2x1+ 3x2+ 4x3= 1

+x2+x3= 2m: 3

Correction de l'exercice ?? :

Le lecteur veriera que :

AB= 0 0

0 0! ; BA= 6 3 126!
CD=0 B @0 1 2 1 0 1 21 01
C

A; DC=0

B @123 2 0 2

1 0 11

A; AE= 12 3

12 3! Le produitCEn'a pas de sens car la taille des colonnes (a savoir 2) deEest dierent de la taille des lignes (a savoir 3) deC.

Correction de l'exercice ?? :

On trouve :

AB= 22 0

22 0!

AC= 0 0

2 0!

CA= 3 3

33!

Les deux autres produitsB2etBAn'ont pas de sens.

Correction de l'exercice ?? :

AB= 2 0 2

02 2! BAn'a pas de sens car la taille des lignes deBn'est pas egale a celle des colonnes deA.

AC= 2 0

02! =2Id2:

CA= 2 0

02! =2Id2:

CB= 22157

10 7 3!

BCn'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deC. B

2n'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deB.

2) Nous avons :AC=CA=2Id2, nous en deduisons :

A(12

C) = (12

C)A= Id2:

Il en resulte que la matriceAest inversible, d'inverse : A 1=12

C= 232

112
4

De m^eme :

(12

A)C=C(12

A) = Id2:

Il en resulte que la matriceCest inversible, d'inverse : C 1=12 A= 12 32
12!

Correction de l'exercice ?? :

AB= 7 311

2 13!

La matriceBAn'a pas de sens.

2=AA= 139

32!

La matriceB2n'a pas de sens.

A+ 2Id2= 4 3

1 1! + 2 1 0 0 1! = 2 3 1 3!

Correction de l'exercice ?? :

AB= 02

4 14! ; BA=0 B @6 02 10 24

108 61

A; CA= 24 2

10 24!

BC=0 B @2 1 3 3 271
C

A; C2= 03

3 3!

Les matricesAC,CB,A2etB2ne sont pas denis.

Correction de l'exercice ?? :

2;1(12

) =T2;1(12 )I2=T2;1(12 ) 1 0 0 1! = 1 0 12 1! De m^eme, en utilisant les proprietes des actions a gauche par les matrices elementaires, on obtient : T

1;2(2)T2;1(12

) =T1;2(2) 1 0 12 1! = 02 12 1!

Correction de l'exercice ?? :

1.1) 5 D

2(2) =D2(2)I3=D2(2)0

B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A=0 B @1 0 0 02 0

0 0 11

C A: T

3;2(3) =T3;2(3)I3=T3;2(3)0

B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A=0 B @1 0 0 0 1 0

0 3 11

C A: T

2;1(2) =T2;1(2)I3=T2;1(2)0

B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A=0 B @1 0 0 2 1 0

0 0 11

C A: 1.2)

A=T3;2(3)D2(2)T2;1(2) =T3;2(3)D2(2)0

B @1 0 0 2 1 0

0 0 11

C A:

A=T3;2(3)0

B @1 0 0 42 0

0 0 11

C A: A=0 B @1 0 0 42 0

126 11

C A: 1.3) 6 A

1= (T3;2(3)D2(2)T2;1(2))1

=T2;1(2)1D2(2)1T3;2(3)1 =T2;1(2)D2((1=2))T3;2(3) =T2;1(2)D2((1=2))T3;2(3)0 B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A =T2;1(2)D2((1=2))0 B @1 0 0 0 1 0 03 11 C A =T2;1(2)0 B @1 0 0

0(1=2) 0

03 11 C A 0 B @1 0 0

2(1=2) 0

03 11 C A:

Correction de l'exercice ?? :

a) Les deux lignes deMsont d'ordre 1. Donc,Mest ordonnee. M

1=T2;1(12

)M= 23 0 12 B

1=T2;1(12

)I2= 1 0 12 1! B 1M=M1 La matriceM1est triangulaire (on dit aussi echelonnee). La premiere phase de l'algorithme est terminee. Les elements de la diagonale deMetant non nuls, on peut conclure queMest inversible. M

2=D2(2)M1= 23

0 1! B

2=D2(2)B1= 1 0

1 2! B 2M=M2 M

3=D1(12

)M2= 132 0 1! B

3=D1(12

)B2= 12 0 1 2! B 3M=M3 M

4=T1;2(32

)M3= 1 0 0 1! =I2B4=T1;2(32 )B3= 1 3 1 2! B

4M=M4=I2

On obtient donc :

1=B4= 1 3

quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices

Exercices Corriges

Matrices

A= 2 1

A; D=0

0 1 01

A; E= 11 1

1 0 1!

Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)

On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 1

B= 431

2 1 1!

C= 1 2

A= 1 3

B= 431

2 1 1!

1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.

2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.

A= 4 3

Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :

A= 22 0

2M2;3(R); B=0

A2M3;2(R); C= 11

2M2;2(R)

2(2); T3;2(3); T2;1(2):

2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).

3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.

2M2;2(R)et N= 23

2M2;2(R):

Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)

1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser

A= 1 2

2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.

2M2;2(R):

2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

M= 2 1

2M2;2(R):

Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)

Exercice 14{SoitM=0

1 2 11

1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice

1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.

2) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).

4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.

5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee

Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)

1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :

0 4 61

A2M3;3(R):

Quelle est la valeur deM1?

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :

1de la matrice :

0 2 31

A2M3;3(R):

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.

Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :

0 1 11

1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.

2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme

3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :

2x1+ 3x2+ 4x3= 1

Correction de l'exercice ?? :

Le lecteur veriera que :

AB= 0 0

A; DC=0

1 0 11

A; AE= 12 3

Correction de l'exercice ?? :

On trouve :

AB= 22 0

AC= 0 0

CA= 3 3

Les deux autres produitsB2etBAn'ont pas de sens.

Correction de l'exercice ?? :

AB= 2 0 2

AC= 2 0