Algorithmique — M1 — 9/1/9 — corrigé - Examen du 9 janvier 2009
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ĕ n
f0;2;4;6;8;:::g f2n:n2Ng: j∅j= 0 x2Xx̸2X xX Y XY
XYX̸=Y XEɍE
X X =fe2E:e̸2Xg:X[Y=fx:x2X_x2Yg;
X\Y=fx:x2X^x2Yg;
XnY=fx:x2X^y̸2Yg;
XY=f(x;y) :x2X;y2Yg:
P(X)=fY:YXg:
P(f;g) =f∅;fg;fg;f;ggP(∅) =f∅g
N=f0;1;2;:::g;
Z=N[ fn:n2Ng;
Q=fa/b:a;b2Z;b̸= 0g;
R=Q[ f;p
2;:::g:
b2N2 b= 2 x;y2R>0 a;b2N2 b(xy) =b(x) +b(y);b(x/y) =b(x)b(y); b(xy) =yb(x);a(x) =b(x) b(a); b(1) = 0;x < y=)b(x)0ĕnd nd
nd=n(nd)d 392 = 1395 = 4 s= [;;ă;;] ŗ ĕĿ ŀ f= [1;1;2;3;5;8;:::]
s[i:j] s[i:j]= [s[i];s[i+ 1];:::;s[j]]: s[i:j]= []i > j s+t t sXY RXY
R(x;y) (x;y)2R
8y2Y9x2X R(x;y)
8x2X R(x;x)
8x;y2X R(x;y)!R(y;x)
8x;y;z2X[R(x;y)^R(y;z)]!R(x;z)
fXY XY 8x2
X9y2Y f(x;y)8x2X8y;y′2Y[f(x;y)^f(x;y′)]!(y=y′)5! = 1206! = 720 n!
Ŀknŀ
(n k) =n! k!(nk)! n;k2N nk: (n k) = 0k > nk <0 k n (4 2)= 6 g f g;f g;f g;f g;f g;f g: m;n2N mn mn m;n2N mn a;b2N r;s2 f0;1g m= 2a+rn= 2b+s (2a+r)(2b+s) = 4ac+ 2as+ 2br+rs = 2(2ac+as+br) +rs mn rs= 1 r=s= 1r;s2 f0;1g m= 2a+ 1n= 2b+ 1 mn s n R s i2[n] s[i]1 n n j=1s[j] i s[i]>1 n n j=1s[j] i2[n] n i=1s[i]>n∑ i=10 1 n n j=1s[j]1 A 1 n n i=1n j=1s[j] 1 n nn∑ j=1s[j] i n∑ j=1s[j]: sφ:N! fĂ;g
φ(n) nb
φ(b)
φ(n) =)φ(n+ 1) nb
n n21= 1 = 12;
1 + 3= 4 = 22;
1 + 3 + 5 = 9 = 3
2;1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4
2: n2N1ɍn= 4 1 + 3 + 5 + 7 = 42
9 52
1+3+5+7+9 = 52
11 62
ĕ n
2n+1 n2
(n+ 1)2 n n n+ 1 n+ 1 n= 1 n n n2 ∑n i=1(2i1) =n2 n2N1 sn=∑n i=1(2i1) n2N1 sn=n2 n n= 1 sn=s1= 211 = 1 = 12=n2 n1 sn=n2 s n+1=n+1∑ i=1(2i1) sn+1 n∑ i=1(2i1) + (2(n+ 1)1) n∑ i=1(2i1) + (2n+ 1) =sn+ (2n+ 1) sn = (n+ 1)(n+ 1) = (n+ 1)2: n2 n n2N1 n 2 c 0;m 1 i 1:::n c c+m;m m+ 2 cĕ N
3 22n
n2N i;j2[2n] n n= 0 (i;j) n0 2n+12n+1 (i;j) n= 06464 (i;j) = (2;2)
22n3 = 1
n2N n n2N1φ(b)
(8m2[b;n]φ(m)) =)φ(n+ 1) nbφ(n+ 1)
n= 1 n1 m=n+1k m2[1;n]X=f1;5;6;;9;23;gY=f23;3;5;9;g
X[YX\YXnYYnX
P(f;;g)
⋆ p2̸2Q
jP(X)j= 2jXj X n!>2n n2N4 (n+1 k+1)=(n k)+(n k+1) k;n2N nk (n k)2N k;n2N (n 0)+(n1)+:::+(n
n)= 2n n2N n n n ∑n i=1i=n(n+1) 2 n2N>022n3 = 1 n2N
X t:N!N t (n)=ff(x) :x ng: n t (n)=ff(x) :x ng: sn2N>0 s i 2;max s[1] in s[i]> maxmax s[i] i i+ 1 max n1 n16 ĕ
3 + 7(n1)
4n2t(n)t(n)7n4 n1:
t (n1;:::;nk)=ff(x) :x (n1;:::;nk)g; t (n1;:::;nk)=ff(x) :x (n1;:::;nk)g: i 1; j 2; max [1;1] im jn [i;j]> maxmax [i;j] j j+ 1 i i+ 1 j 1 max mn ɍ m ĕ n1 n6 ĕ
3 t (m;n)4 +1ĕ z
(1 + 7(n1) + 3) + z (m1)(1 + 7n+ 3) = 7mn+ 4m3: 4 t (m;n)4 +1ĕ z
(1 + 5( n1) + 3) + z m1)(1 + 5n+ 3) = 5mn+ 4m1: m;n15mn+ 4m1t(m;n)t(m;n)7mn+ 4m3:
Oĕ N
F =ff:N!R:9m2N8nm f(n)>0g:O(g)=ff2 F:9c2R>09n02N8nn0f(n)cg(n)g:
cn0 f2 O(g) fŗ t (n)7n4 n17n n0:
7 1 O(n)9 f n2 ŗ
n2 5001 000
2 000 000
4 000 000
5 n2+ 400n+ 9 n 2 n f2 O(n2) f(n) = 5n2+ 400n+ 95n2+ 400n+nn n3
5n2+nn+nn n400
= 7n2:7 400
f2 O(n2) n22 O(n!) n2 n2= (n1)n+n
n! +nn2n! = 1(n1)n n! +n! = 2n!: 2 n22 O(n!) fŗ n2 n2 n! f2 O(n!) O f;g;h2 F f2 O(g)g2 O(h)quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] algorithme point sur une courbe 2nde Mathématiques
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