Résumé du Cours d´Econométrie PDF

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Avertissement

Ce document n'est pas un compte rendu exhaustif du cours d'

Johnston (1988), Theil (1979), Maddala (1988), Gourieroux and Monfort (1989a), Gourieroux and Monfort

(1989b), Greene (1990), Cohen and Pradel (1993), Bourbonnais (1993), Johnston (1997), Johnson (1999),

Ruud (2000).

Chapitre 1

1.1 Espace vectoriel

1.1.1 Vecteur

vecteur soit en ligne, soit en colonne. Exemple 1.1Le vecteura= [3 0];est un vecteur ligne et le vecteur b=0 @3 ¡2 01 A est un vecteur colonne. a

0=µ3

1.1.2 Multiplication par un scalaire et addition

On peut multiplier un vecteur par un scalaire Soit un scalairec2Ret un vecteur colonneadeRn;alors c£a=c£0 B @a 1... a n1 C A=0 B @ca 1... ca n1 C A:

Deux vecteurs lignes (ou deux vecteurs colonnes) peuvent s'additionner s'ils sont de m^eme dimension.

0 B @a 1... a n1 C A+0 B @b 1... b n1 C A=0 B @a

1+b1...

a n+bn1 C A: deux vecteursaetb: c

1a+c2b=c10

B @a 1... a n1 C A+c20 B @b 1... b n1 C A=0 B @c

1a1+c2b1...

1an+c2bn1

C A: oµuc1;c22R: 2

4.1£x=x

1u1+a2u2+¢¢¢+aJuJ=0

implique quea1=a2=¢¢¢:=aJ= 0:

1.1.5 Sous-espace vectoriel

1.u+v2V;

2.au2Vpour touta2R:

deVsi et seulement si

1.1.7 Base d'un sous-espace vectoriel

et seulement si

1.1.8 Base canonique deRn

La base canonique deRnest0

BBBB@1

0 0 01 C

CCCCA;0

BBBB@0

1 0 01 C

CCCCA;0

BBBB@0

0 1 01 C

CCCCA;¢¢¢;0

BBBB@0

0 0 11 C

CCCCA:

1.1.9 Dimension d'un sous-espace vectoriel

l'engendrer. Cette dimension correspond en particulier au nombre de vecteurs constituant une base quelconque deV.

1.2 Espace euclidien

1.2.1 Produit scalaire

a£b= (a1:::an)£0 B @b 1... b n1 C A=nX i=1a ibi: par : =u0b= (u1:::un)£0 B @b 1... b n1 C A=nX i=1u ibi:

1.2.2 Norme

jjujj=p :

1.2.3 Distance entre deux vecteurs

d(u;v) =jju¡vjj=v uut n X i=1(ui¡vi)2: p v(u) =v jjvjj2:(1.1)

1.2.4 Vecteurs orthogonaux

= 0:

On note alorsu?v

jju+vjj2=jjujj2+jjvjj2: 4

1.2.5 Orthogonal d'un sous-espace vectoriel

µa tous les vecteurs deV;on note alors

u?V: vecteur deW. V {(V?)?=V; {V\V?=f0g: {f(u+v) =f(u) +f(v); {f(au) =af(u):

1.3.2 Matrice

Une matrice est un tableau de nombres. Par exemple : A=0 B

BBBBB@a

11::: a1j::: a1J.........

a i1::: aij::: aiJ......... a

I1::: aIj::: aIJ1

CCCCCA

est une matrice deIlignes et deJcolonnes.

deux matrices µa condition qu'elles aient le m^eme nombre de lignes et de colonnes. Sous cette m^eme condition,

1.3.3 Produit d'une matrice et d'un vecteur

Soient une matriceAde dimensionI£Jet un vecteur colonneude dimensionJle produitAuest Au=0 B

BBBBB@a

11::: a1j::: a1J.........

a i1::: aij::: aiJ......... a

I1::: aIj::: aIJ1

CCCCCA£0

BBBBB@u

1... u j... u J1 C

CCCCCA=0

BBBBBB@P

J j=1a1juj...PJ j=1aijuj...PJ j=1aIjuj1 C

CCCCCCA:

nique. 5

1.3.4 Produit matriciel

Soient deux matricesAde dimensionI£JetBde dimensionJ£K;alors le produit de ces deux matrices AB=0 B

BBBBB@a

11::: a1j::: a1J.........

a i1::: aij::: aiJ......... a

I1::: aIj::: aIJ1

CCCCCA£0

BBBBB@b

11::: b1k::: b1K.........

b j1::: bjk::: bjK......... b

J1::: bJk::: bJK1

CCCCCA

0 B

BBBBB@c

11::: c1k::: c1K.........

c i1::: cik::: ciK......... c

I1::: cIk::: cIK1

CCCCCA

=C; oµu c ik=JX j=1a ijbjk: C'est le produit des lignes par les colonnes. La matriceCest de dimension (I£K).

1.3.5 Transposition

Transposer une matrice revient µa remplacer les lignes par les colonnes et vice versa. Par exemple, si

A=0 @¡1 2 4 3

¡2 51

A alorsA0=µ¡1 4¡2 deABCvaut (ABC)0=C0B0A0: sont nuls.

Par exemple,

D=0 @6 0 0

0¡2 0

0 0 31

A est une matrice diagonale. 6

Par exemple,

I=0 @1 0 0 0 1 0

0 0 11

1.3.7 Rang d'une matrice

colonnes de la matrice. la matrice est dite de plein rang (ou de rang maximal).

1.3.8 Trace d'une matrice

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Avertissement

Ruud (2000).

Chapitre 1

1.1 Espace vectoriel

1.1.1 Vecteur

0=µ3

1.1.2 Multiplication par un scalaire et addition

1+b1...

1a+c2b=c10

1a1+c2b1...

1an+c2bn1

4.1£x=x

1u1+a2u2+¢¢¢+aJuJ=0

1.1.5 Sous-espace vectoriel

1.u+v2V;

2.au2Vpour touta2R:

1.1.7 Base d'un sous-espace vectoriel

1.1.8 Base canonique deRn

La base canonique deRnest0

BBBB@1

CCCCA;0

BBBB@0

CCCCA;0

BBBB@0

CCCCA;¢¢¢;0

BBBB@0

CCCCA:

1.1.9 Dimension d'un sous-espace vectoriel

1.2 Espace euclidien

1.2.1 Produit scalaire

1.2.2 Norme

1.2.3 Distance entre deux vecteurs

1.2.4 Vecteurs orthogonaux

On note alorsu?v

1.2.5 Orthogonal d'un sous-espace vectoriel

µa tous les vecteurs deV;on note alors

1.3.2 Matrice

BBBBB@a

11::: a1j::: a1J.........

I1::: aIj::: aIJ1

CCCCCA

1.3.3 Produit d'une matrice et d'un vecteur

BBBBB@a

11::: a1j::: a1J.........

I1::: aIj::: aIJ1

CCCCCA£0

BBBBB@u

CCCCCA=0

BBBBBB@P

CCCCCCA:

1.3.4 Produit matriciel

BBBBB@a

11::: a1j::: a1J.........

I1::: aIj::: aIJ1

CCCCCA£0

BBBBB@b

11::: b1k::: b1K.........

J1::: bJk::: bJK1

CCCCCA

BBBBB@c

11::: c1k::: c1K.........

I1::: cIk::: cIK1

CCCCCA

1.3.5 Transposition

¡2 51

Par exemple,

0¡2 0

0 0 31

Par exemple,

0 0 11

1.3.7 Rang d'une matrice

1.3.8 Trace d'une matrice