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SUJET + CORRIGÉ
Olympiades, Mathématiques, S
2015OLYMPIADES DE MATHÉMATIQUES
ACADÉMIE DE CLERMONT-FERRAND
Classes de première S
2015Olympiades:académiques:
de:mathématiques: ____________________________:Académie:de:ClermonttFerrand:
L"épreuve: comporte: quatre: exercices: indépendants4: tous: à: traiter: dans: le: temps: consigne.:Durée de la composition : 4 heures
Exercice numéro 1
(proposé par le jury national)Défi entre soeurs
Patiemment4: Clémence: aligne: les: triangles: équilatéraux: montre:la:photo:citcontre.: Sa: sur4: Léa4: qui: est: en: première: et: toujours: en: quête: de: quelques:calculs:à:effectuer4:s"amuse:à:trouver:la:valeur exacte: ABCD:un:quadrilatère:construit:par:Clémence:;: :=:AC:la:longueur:de:la:diagonale:[AC]:;: =:BD:la:longueur:de:la:diagonale:[BD].:Partie A
1. Calculer:la:longueur:d"une:hauteur:d"un:triangle:équilatéral:de:côté:1.:
2. Calculer:les:longueurs::pour:les:cas:suivants:::
Deux triangles Trois triangles Quatre triangles Six trianglesPartie B
1. Lorsque:le:nombre::de:triangles:est:pair,:montrer:que:la:longueur:de:la:diagonale:la:plus:grande:est:
:::::égale:à::2. Si:Clémence:ajoute:un:triangle:supplémentaire:au:cas:précédent4:que:deviennent:les:longueurs::?:
3. Clémence:a:aligné:56:triangles.:Déterminer:les:longueurs::calculées:par:Léa.:
Partie C:
1re propriété:::":Pour:tout:nombre::de:triangles:juxtaposés4::est:la:racine:carrée:d"un:nombre:impair:»:
2e propriété:::":Pour:tout:nombre::de:triangles:juxtaposés4::est:la:racine:carrée:d"un:nombre:premier:»:
On rappelle qu"un nombre premier est un entier naturel divisible seulement par 1 et lui-même ; par exemple
2, 11, 29 sont des nombres premiers et 1, 8, 33 ne le sont pas.
1. Valider:ou:invalider:chacune:de:ces:propriétés.:
2. Peutton:affirmer:que:la:racine:carrée:de:tout:nombre:premier:est:la:longueur:possible:d"une:diagonale:
3. Pourquoi:nnesttil:pas:possible:dnobtenir:une:diagonale:de:longueur:
4. Clémence:a:construit:un:quadrilatère:dont:une:diagonale:mesure:
5. Clémence:dit:à:sa:sur:::":Sur:les:grands:quadrilatères4:à:chaque:fois:qu"on:ajoute:deux:triangles4:la:
Exercice numéro 2
(proposé par le jury national)On est les rois !
dont:cet:exercice:s"inspire.:Partie A - La transformation du boulanger:
On:considère:la:fonction:f définie:sur::par::: :si: :::et::: :sinon.:1. Montrer:que:l"image:par:f d"un:élément:de:[0:;:1]:appartient:à:[0:;:1].:
2. Justifier:pourquoi:cette:fonction::modélise:le:déplacement:de:la:fève.:
Partie B - Parcours d"une fève : cycles et cible Les:images:successives:par::d"un:élément::de:sont:notées: ! :etc.:1. Quelles:sont:les:9:positions:qui:suivent:l"abscisse:
!:?:l"abscisse:0433:?:Commenter.:2. Esttil:possible:qu"une:fève4:placée:à:l"abscisse:4:revienne:à:sa:position:de:départ:en:un:seul:coup:?:En:
3. Quand: une: fève: placée: à: l"abscisse:: vient4: après: un: nombre: fini: d"étapes: du: processus4: à: occuper:
ne:l"atteint:pas.:4. Le:nombre:
$%&':atteindratttil:sa:cible:?:5. Déterminer:tous:les:nombres:de::atteignant:leur:cible.:
Partie C - Étude d"un algorithme.:
1. Soit:un:nombre::dont:on:suppose:qu"il:atteint:sa:cible.:Modifier:l"algorithme:proposé:en:Annexe:à:la:fin:
du: sujet4: afin: qunil:affiche4: dans: ce: cas4:le: nombre:d"étapes: nécessaires: pour:rejoindre: le: réel: 0:uon:
2. D"après: les: questions:B.5. ou: même:B.2.4: le: nombre:
(: n"atteint: pas: sa: cible.: Comment: devrait: se: comporter:l"algorithme:après:avoir:saisi: type:PC:ou:calculette4:toujours:avec: sortie:obtenir: :au:bout:d"une:cinquantaine:d"itérations.:Avancer:une:explication.:Exercice numéro 3
(proposé par le jury académique)Nombres chanceux d"Euler
Un:nombre premier:est:un:entier:naturel:qui:admet:exactement:deux:diviseurs:positifs:::1:et:luitmême.:
Partie A
1. Pourquoi:1:n"esttil:pas:un:nombre:premier:?:
2. Pourquoi:2:esttil:le:seul:nombre:pair:premier:?:
Partie B
On:considère:l"algorithme:suivant:::
Choisir:un:entier:naturel:
L"élever:au:carré:
Lui:ajouter:11:
Afficher:le:résultat:obtenu.:
1. ad: Qu"affiche:l"algorithme:si:le:nombre:choisi:est:20:?:
bd: Qu"affiche:l"algorithme:si:le:nombre:choisi:est:n:?:2. ad: Quel:nombre:fauttil:choisir:pour:obtenir:1417:?:bd: L"algorithme:peuttil:afficher:le:nombre:100:?:
3. ad: Vérifier:que:si:on:choisit:un:entier:naturel:compris:entre:0:et:94:alors:le:résultat:affiché:est:un:
nombre:premier.:bd: Si:on:choisit:un:entier:naturel:quelconque4:le:résultat:affiché:esttil:toujours:un:nombre:premier:?:
Partie C
On:appelle:":nombre chanceux d"Euler:»4:un:nombre:entier:):u) * d:tel:que4:pour:tout:entier::compris:
entre:0:et:) 4:: ):soit:un:nombre:premier.:1. Déterminer:les:nombres:chanceux:d"Euler:inférieurs:à:11.:
2. ad: Olympe:affirme:::":Si:):est:un:nombre:chanceux:d"Euler:alors:):est:un:nombre:premier:».:Son:
affirmation:esttelle:vraie:ou:fausse:?:bd: Enoncer:la:réciproque:de:l"implication:précédente:::cette:réciproque:esttelle:vraie:?:
3. Il:a:été:prouvé:en:1967:qu"il:existe:exactement:six:nombres:chanceux:d"Euler.:Sachant:que:le:plus:
Exercice numéro 4
(proposé par le jury académique)Petits cadeaux entre amis
Cet exercice est réservé aux candidats de la série Sécrit: le: nom: de: chacun: sur: un: petit: papier4: puis: chaque: participant: tire: un: petit: papier: pour: connaître:
· personne:n"est:oublié:ou:lésé:;:
· les:dépenses:de:chacun:restent:limitées4:car:il:n"a:qu"un:cadeau:à:faire.:Partie I : cas de trois amis
1. Faire:la:liste:de:tous:les:tirages:possibles:dans:un:groupe:de:trois:amis.:
2. Préciser:ceux:qui:sont:valides.:
3. En:déduire:la:probabilité:d"obtenir:un:tirage:valide:dans:ce:cas.:
Partie II : cas de quatre amis
tirage:valide.:Partie III : une relation fondamentale
entier:supérieur:ou:égal:à:1d.: :A: B: C:C: A: B:
Le:groupe:d"amis:considéré:est:constitué:de:Paul4:Julie:et::autres:personnes:uavec: * d.:Secrètement:épris:
1. Quelle:est:la:probabilité:que:ce:soit:le:cas:?:
2. Montrer:qu"il:y:a:+:tirages:valides:pour:lesquels:Paul:et:Julie:se:font:mutuellement:un:cadeau.:
3. On:admettra:par:ailleurs:qu"il:y:a:+.:tirages:valides:pour:lesquels:Paul:fait:un:cadeau:à:Julie:sans:
Julie.:
4. Justifier:l"égalité:suivante:::
Partie IV : obtention de /0
1. Donner:+:et::+:en:justifiant:chaque:réponse.:
2. La:question:4:de:la:partie:III:permet:d"affirmer:que:pour:tout:entier::supérieur:ou:égal:à:14:on:a:::
. + +..:En:utilisant:cette:relation4:retrouver:les:nombres:+!:et:+1:rencontrés: dans:les:parties:I:et:II.:3. Déterminer:+#.:
4. La: feuille: de: calcul: suivante: a: été: réalisée: avec: un:
tableur.: :pour: * 2:?:5. Rédiger: un: algorithme: permettant: d"obtenir:+: pour: une: valeur: de:: usupérieure: ou: égale: à:3d:
précisée:par:l"utilisateur.: Partie V : application dans le cas d"un groupe de huit amis papiers:».:1. Montrer:que:l"arrondi:à:
2. En:utilisant:cette:valeur:approchée4:calculer:la:probabilité:que:deux:tirages:soient:nécessaires:et:
suffisants:pour:obtenir:un:tirage:valide.:On donnera un résultat arrondi à 3.:3. Esttil:vrai:que:la:probabilité:qu"au:moins:quatre:tirages:soient:nécessaires:est:proche:de::
1:?:Justifier.:
Exercice numéro 4
(proposé par le jury académique)Que de six !
Cet exercice est réservé aux candidats des séries L, ES, STD2A, STI2D, STL, STMG et ST2S1. Jules:a:simplifié:la:fraction::
4#4:».:
ad Le:résultat:esttil:correct:?: bd Que:penseztvous:de:la:démarche:utilisée:?:2. ad: Prouver:que4:pour:tous:nombres:réels:64:74:):et:8:non:nuls:vérifiant:la:condition:7 8 9 :::
si::: =::alors:::.< bd: En:utilisant:ad:et:en:remarquant:que:55 > 5 :et:que:55 > 5 54:montrer:que: 44#44#
3. Julie:affirme:::":j"en:déduis:que::
4444#4444#
:».:Expliquer:sa:démarche.:
4. On:admet4:dans:le:cas:général4:que:l"égalité::
44?4#4?44#
Exercice numéro 2 : annexe
Variables
::est:un:élément:de::Début
:Saisir:le:nombre::compris:entre:0:et:1: :Tant que @ 9 :faire: : :Si:: ::alors: : : :::prend la valeur:2: : :Sinon : : :::prend la valeur :Fin tant que
Fin: freemaths.fr - 2015 1CORRECTION OLYMPIADES
EXERCICES ACADÉMIQUES
CLERMONT-FERRAND 2015
Exercice 3 : Nombres chanceux d'Euler
Partie A
1. 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur et non deux diviseurs.
2. L'entier 2 a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même, donc 2 est un nombre premier. Tout nombre pair
autre que 2 a au moins trois diviseurs : 1, 2 et lui-même. Donc, tout nombre pair autre que 2 est un entier non
premier. 2 est l'unique nombre pair premier.Partie B
1.a. L'algorithme élève 20 au carré, il obtient 400. Il ajoute au résultat le nombre de départ, il obtient 420. Il
ajoute 11 au résultat obtenu, il obtient 431.L'algorithme affiche 431.
1.b. L'algorithme élève l'entier naturel n au carré, il obtient
2n. Il ajoute au résultat le nombre de départ, il
obtient nn+2. Il ajoute 11 au résultat obtenu, il obtient 112++nn.L'algorithme affiche 11
2++nn.
2.a.L'algorithme affiche 1417 si et seulement s'il existe un entier naturel n vérifiant : 1417112=++nn.
Si un tel entier naturel existe, il est solution de l'équation au deuxième degré : 014062=-+nn (1).
Le discriminant de cette équation est égal à 5625, qui est le carré de 75. L'équation (1) admet deux solutions qui sont des nombres entiers : 372751
1=+-=n et 382
7512-=--=n.
Une seule des deux solutions de l'équation
(1) est un entier naturel, la solution 371=n.Pour obtenir 1417, il faut choisir le nombre 37.
2.b. L'algorithme affiche 100 si et seulement s'il existe un entier naturel n vérifiant : 100112=++nn.
Si un tel entier naturel existe, il est solution de l'équation au deuxième degré : 0892=-+nn (2).
Le discriminant de cette équation est égal à 357, qui n'est pas le carré d'un nombre entier. Aucune des deux
solutions de l'équation (2) n'est un nombre entier.L'algorithme ne peut pas afficher le nombre 100.
freemaths.fr - 2015 2 3.a. L'algorithme est exécuté ci-contre par un tableur, la colonneC du tableur étant un test de
primalité. Ce test certifie que, si on choisit un entier quelconque de 0 à 9, l'algorithme affiche toujours un nombre premier.3.b. En revanche, si on choisit 10, l'algorithme
affiche 121 qui n'est pas premier. Le résultat affiché n'est pas toujours un nombre premier.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] exercice sur les droites et segments 6eme
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