Calculatrice Casio Graph 35+ Statistiques à deux variables
Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés. Les statistiques à deux variables doivent avoir été paramétrées comme indiqué ci-dessus.
Calculatrice TI 82 Statistiques à deux variables
r=.. a et b sont les coefficients de la droite des moindres carrés. r est le coefficient de corrélation. (Plus sa valeur absolue est ...
MATHEMATIQUES CALCULATRICES TI Méthode des moindres
Méthode des moindres carrés – Droite de régression linéaire Déterminer une équation de la droite d'ajustement d de y en x à l'aide de la calculatrice.
Calculatrices TI 82 stats - TI 83 - TI 84+ Statistiques à deux variables
Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés. Appuyez sur la touche … Choisissez CALC puis LinReg(ax+b) et validez par.
Calcul des paramètres statistiques régression
puis taper L1 L2. ? On peut alors lire à l'écran l'équation de la droite d'ajustement de Y en X obtenue par la méthode des moindres carrés.
Ajustement dun nuage de points
9 ian. 2018 4 Méthode des moindres carrés ... Après plusieurs essais graphiques "à l'œil" en utilisant la calculatrice (ou autre)
FICHE MÉTHODE CALCULATRICE Casio : Statistiques à 2 variables
FICHE MÉTHODE CALCULATRICE Casio : ?Interprétation des valeurs obtenues par la calculatrice : ... C'est le carré du coefficient de corrélation.
STATISTIQUES
Méthode : Déterminer la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés 2) a) À l'aide de la calculatrice déterminer une équation de la droite ...
Le tableau suivant donne pour le France métropolitaine
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Calcul des paramètres statistiques régression
? La droite d'ajustement de Y en X est obtenue par la méthode des moindres carrés. ? Compléments. Obtention du coefficient de corrélation. Il se lit sur l'
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Ajustement d"un nuage de pointsChristophe Chesneau https://chesneau.users.lmno.cnrs.fr/Caen, le 08 Janvier 2018Table des matières
Table des matières
1 Contexte statistique 5
2 Méthode des points observés 13
3 Méthode des points moyens 17
4 Méthode des moindres carrés 23
5 Pour s"entraîner31
6 Quelques compléments 33
Note Ce document résume les principales méthodes d"ajustement d"un nuage de points abordées dans les filières appliquées (Terminale STMG, BTS CGO, Licence 1...). Des exemples et des graphiques viennent illustrer ces méthodes. Je vous invite à me contacter pour tout commentaire : christophe.chesneau@gmail.comBonne lecture!C. Chesneau3
1 Contexte statistique
1 Contexte statistique
Point de départ
On souhaite prévoir et/ou expliquer les valeurs d"une variable numériqueYà partir des valeurs
d"une variable numériqueX. Pour ce faire, on dispose de données qui sontnvaleurs du couple devariables(X;Y)notées(x1;y1);(x2;y2);:::;(xn;yn). Elles se présentent généralement sous la forme
d"un tableau :x ix1x2...xnyiy1y2...ynAinsi, quandXvautx1, on a mesuré la valeury1pourY, quandXvautx2, on a mesuré la valeury2
pourY...Exemples
Exemple 1
. Une étude a été menée auprès de12étudiants afin d"expliquer le score à un examen de
mathématiques à partir du temps consacré à la préparation de cet examen. Pour chaque étudiant, on
dispose : du temps de révision en heures (variableX), du score obtenu sur800points (variableY).Les résultats sont :x
i4 9 10 14 4 7 12 1 3 8 11 5yi390 580 650 730 410 530 600 350 400 590 640 450Ainsi, avec une préparation de4heures, le premier étudiant a obtenu le score de390à l"examen, avec
une préparation de9heures, le deuxième étudiant a obtenu le score de580à l"examen...Exemple 2
. On étudie l"évolution du nombre d"inscriptions à un jeu en ligne au cours du temps. Pour chaque mois de l"année2016, on dispose : du rang du mois (variableX; janvier est rang1, février est le rang2...), du nombre d"inscriptions en milliers (variableY).C. Chesneau51 Contexte statistique
Les résultats sont :
x i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12yi37 43 41 40 51 47 48 54 56 64 66 73Ainsi, au moins de janvier2016, il y a eut37000inscriptions au jeu, en Février2016il y a eut43000
inscriptions au jeu...Nuage de points
Les observations peuvent être représentées sur le repère orthonormé(O;I;J)parnpoints :PointsM1M2...MnCoordonnées(x1;y1) (x2;y2)...(xn;yn)L"ensemble de ces points est appelé nuage de points. La silhouette de ce nuage de points est une
indication précieuse sur la nature de la relation entreYetX.Ajustement affine du nuage de points
Si la silhouette du nuage de points est étirée dans une direction, une relation affine/linéaire entre
YetXest envisageable : on suppose l"existence de deux coefficients réels inconnusettels que Y=+Xplus un terme d"erreur secondaire "de valeur moyenne nulle" et "indépendant deX" représentant une
somme des petites variations aléatoires (erreurs de mesures, effets non prévisibles...). Telle est la forme
générique d"un modèle statistique connu :le modèle de régression linéaire simple. Pour toute valeurxdeX, une valeur estiméeydeYest donnée par : y=a+bx;oùadésigne une valeur estimée deetbdésigne une valeur estimée de, toutes deux calculées à
l"aide des données.Ainsi, à partir des valeursxdeX, estimer avec précision les valeurs deYcorrespondantes revient à
détermineraetbde sorte à ce que la droite d"équationy=a+bxajuste au mieux le nuage de points.C. Chesneau6
1 Contexte statistique
Exemples
Retour sur l"exemple 1
. Une étude a été menée auprès de12étudiants afin d"expliquer le score à unexamen de mathématiques à partir du temps consacré à la préparation de cet examen. Pour chaque
étudiant, on dispose du temps de révision en heures (variableX) et du score obtenu sur800points
(variableY). Les résultats sont :x i4 9 10 14 4 7 12 1 3 8 11 5y i390 580 650 730 410 530 600 350 400 590 640 450Le nuage de points associé est :Par exemple, le deuxième point du nuage en partant de la gauche correspond à l"étudiant numéro9:
le pointM9correspondant est de coordonnées(3;400).La silhouette du nuage de points est étirée dans une direction, une relation affine entreYetXest
envisageable. Ainsi, à partir des valeursxdeX, estimer avec précision les valeurs deYcorrespondantes
revient à détermineraetbde sorte à ce que la droite d"équationy=a+bxajuste au mieux le nuage
de points.C. Chesneau71 Contexte statistique
Après plusieurs essais graphiques "à l"oeil", en utilisant la calculatrice (ou autre), on constate que
la droite suivante ajuste "pas trop mal" le nuage de points :Ainsi, avec cette méthode "au jugé", on propose les coefficientsa= 300etb= 29;5, pour une droite
d"équation :y=a+bx. Avec cette équation, on peut alors faire des prévisions. Par exemple, une valeur
estimée du score d"un étudiant ayant consacré16heures de préparation à l"examen est : y=a+bx= 300 + 29;516 = 772:Commentaire : Ce score est en fait une valeur estimée de la moyenne de tous les scores des étudiants
ayant fait une préparation de16heures, valeur que l"on attribue à tous ces étudiants.Aussi, avec cet ajustement, un étudiant peut espérer avoir la moyenne, donc un score de plus de
400sur800, en ayant fait une préparation de plus dexheures, avecxvérifiant :
y400,300 + 29;5x400,x40030029;5= 3:389831:C. Chesneau81 Contexte statistique
Retour sur l"exemple 2
. On étudie l"évolution du nombre d"inscriptions à un jeu en ligne au cours du temps. Pour chaque mois de l"année2016, on dispose du rang du mois (variableX; janvier est rang1,février est le rang2...) et du nombre d"inscriptions en milliers (variableY). Les résultats sont :x
i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12y i37 43 41 40 51 47 48 54 56 64 66 73Le nuage de points associé est :Par exemple, le quatrième point du nuage en partant de la gauche correspond au rang4Avril : le point
M4correspondant est de coordonnées(4;40).
La silhouette du nuage de points est étirée dans une direction, une relation affine entreYetXest
envisageable. Ainsi, à partir des valeursxdeX, estimer avec précision les valeurs deYcorrespondantes
revient à détermineraetbde sorte à ce que la droite d"équationy=a+bxajuste au mieux le nuage
de points.C. Chesneau91 Contexte statistique
De nouveau, après plusieurs essais graphiques "à l"oeil", en utilisant la calculatrice (ou autre), on
constate que la droite suivante ajuste "pas trop mal" le nuage de points :Ainsi, avec cette méthode "au jugé", on propose les coefficientsa= 35etb= 2;5, pour une droite
d"équation :y=a+bx. Avec cette équation, on peut alors faire des prévisions. Par exemple, au rang13
correspondant au mois de janvier2017, une valeur estimée du nombre d"inscriptions au jeu en milliers
est : y=a+bx= 35 + 2;513 = 67;5: Ainsi, en janvier2017, on prévoit67500inscriptions. Aussi, avec cet ajustement, on peut espérer que le nombre d"inscriptions au jeu dépasse80000au rangx, avecxvérifiant : y80,35 + 2;5x80,x80352;5= 18:Cela correspond à Juin2017.C. Chesneau10
1 Contexte statistique
Méthodes
La méthode "au jugé" dépend de l"utilisateur et donne donc des prévisions subjectives; le choix de
aetbne repose sur aucun socle théorique. Plusieurs autres méthodes existent. Il y a notamment :
la méthode des points observés, la méthode des points moyens, la méthode des moindres carrés.Ces méthodes amènent des estimations deaetbdifférentes. Elle sont présentées ci-après.C. Chesneau11
2 Méthode des points observés
2 Méthode des points observés
Résultat central : Équation d"une droite passant par deux points SoientAetBdeux points sur le repère orthonormé(O;I;J)de coordonnées respectives(xA;yA) et(xB;yB). Alors la droite passant par les pointsAetBa pour équationy=a+bx, avec b=yByAxBxA; a=yAbxA:
Méthode des points observés
La méthode des points observés propose d"ajuster le nuage de points par une droite passant par le
pointMjde coordonnées(xj;yj)et le pointMkde coordonnées(xk;yk)choisis parmiM1;M2;:::;Mn.Cette droite est d"équationy=a+bx, avec
b=ykyjx kxj; a=yjbxj: Une idée est de choisirMjetMktels que la droite qui y passent ajuste "visiblement bien" le nuage de points.Méthode des points extrêmes
La méthode des points extrêmes est un cas particulier de la méthode des points observés. Elle
propose d"ajuster le nuage de points par une droite passant par le pointMjsitué le plus à gauche et
le pointMksitué le plus à droite.Exemples
Retour sur l"exemple 1
. Une étude a été menée auprès de12étudiants afin d"expliquer le score à unexamen de mathématiques à partir du temps consacré à la préparation de cet examen. Pour chaque
étudiant, on dispose du temps de révision en heures (variableX) et du score obtenu sur800points
(variableY). Les résultats sont :x i4 9 10 14 4 7 12 1 3 8 11 5y i390 580 650 730 410 530 600 350 400 590 640 450C. Chesneau132 Méthode des points observés
La méthode des points extrêmes propose la droite suivante :On a alors considéré le point situé le plus à gauche du nuage de points et le point situé le plus à droite.
Le premier point étantM8de coordonnées(1;350)et le deuxième point étantM4de coordonnées
(14;730). En utilisant ces coordonnées, l"équation de la droite esty=a+bx, avec b=730350141= 29;23077; a= 35029;230771 = 320;7692:Avec cette équation, on peut alors faire des prévisions. Par exemple, une valeur estimée du score d"un
étudiant ayant consacré16heures de préparation à l"examen est : y=a+bx= 320;7692 + 29;2307716 = 788;4615: Ainsi, on prévoit un score de789pour un tel étudiant.Retour sur l"exemple 2
. On étudie l"évolution du nombre d"inscriptions à un jeu en ligne au cours du temps.C. Chesneau142 Méthode des points observés
Pour chaque mois de l"année2016, on dispose du rang du mois (variableX; janvier est rang1,février est le rang2...) et du nombre d"inscriptions en milliers (variableY). Les résultats sont :x
i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12yi37 43 41 40 51 47 48 54 56 64 66 73La méthode des points extrêmes propose la droite suivante :
On a alors considéré le point situé le plus à gauche du nuage de points et le point situé le plus à droite.
Le premier point étantM1de coordonnées(1;37)et le dernier point étantM12de coordonnées(12;73).
En utilisant ces coordonnées, l"équation de cette droite esty=a+bx, avec b=7337121= 3;272727; a= 373;2727271 = 33;72727:C. Chesneau152 Méthode des points observés
Avec cette équation, on peut alors faire des prévisions. Par exemple, au rang13correspondant au
mois de janvier2017, une valeur estimée du nombre d"inscriptions au jeu en milliers est : y=a+bx= 33;72727 + 3;27272713 = 76;27272: Ainsi, on prévoit76500inscriptions en janvier2017.C. Chesneau163 Méthode des points moyens
3 Méthode des points moyens
Point moyen
Le point moyen d"un ensemble de points est un pointGde coordonnées la moyenne des coordonnées des points de cet ensemble. Par exemple, le point moyen du nuage de points formé deM1;M2;:::;Mn(de coordonnées respectives(x1;y1);(x2;y2);:::;(xn;yn)) est le pointGde coordonnées(x;y), oùxetydésignent les moyennes :x=1n
n X i=1x i;y=1n n X i=1y i: Méthode des points moyens (ou méthode de Mayer) La méthode des points moyens propose d"ajuster le nuage de points par une droite passant par les deux points moyensG1etG2de deux ensembles de points du nuage, l"un formé des points les plus àgauche, et l"autre formé des points les plus à droite. Ainsi, ces deux ensembles forment une partition
du nuage de points et contiennent le même nombre de points (plus un pour l"un sinest impair).Ainsi, pourG1de coordonnées(x
1;y1)etG2de coordonnées(x
2;y2), la méthode des points moyens
propose la droite d"équationy=a+bx, avecquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] méthode des moindres carrés mercatique
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