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Chapitre 7 - Méthode des moindres carrées
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Dans la méthode des moindres carrés on cherche la droite (représentée par son équation y = ax+b) qui minimise la somme des carrés des distances verticales des
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a) Donner une équation de la droite de régression de y en x (obtenue par la méthode des moindres carrées) b) Donner le coefficient de corrélation linéaire
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La méthode des moindres carrés permet de comparer des données expérimentales généralement entachées d'erreurs de mesure à un modèle mathématique censé
Méthode des moindres carrés - Wikipédia
La méthode des moindres carrés indépendamment élaborée par Legendre et Gauss au début du XIX siècle permet de comparer des données expérimentales
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Le fondement de la méthode des moindres carrés est régit par la minimisation de la somme quadratique des écarts (encore appelés résidus) entre les données
Comment déterminer la méthode des moindres carrés ?
La méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite dite « de régression de y en x » qui rend minimale la somme . Les coefficients a et b de l'équation de cette droite sont définis par a = et , où ?x est l'écart-type de la série x, et ?xy la covariance des séries x et y.Quand utiliser la méthode des moindres carrés ?
La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Legendre et Gauss au début du XIX e si?le, permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d'erreurs de mesure, à un modèle mathématique censé décrire ces données.Pourquoi on utilise le MCO ?
La méthode des MCO vise à minimiser la somme des carrés résiduels et à fournir le meilleur ajustement possible aux données.- Dans un ajustement linéaire, la fonction f recherchée est une droite : La méthode des moindres carrés cherche une droite y=ax+b de manière à minimiser la somme des carrés des différences entre les points du nuage et ceux de la droite : ?i(yi?(axi+b))2.
Y=b0+b1X
Y=b0+b1X+ε
Y i=b0+b1Xi+εi????i= 1,...,n b1=cov(x,y) var(y) var(x) b0= y-^b1 x x, y)? b1= 1,5771??^b0= 60,3928? ^b1= 1,5771? ^b1>0)?? ?? ??????? ^b0= 60,3928? e ^y5= 60,3928 + 1,5771×44 = 129,7852?SCR= 2605,569
^σ2= 2605,569/32 = 81,424 y i-y= (yi-^yi) + (^yi-y) n i=1(yi- y)2=n∑ i=1(yi-^yi)2+n∑ i=1(^yi-y)2 y?SCT=∑(yi-
y)2SCT=SCR+SCE
??SCE=n∑ i=1e R 2=SCE SCTF= (n-2)R2
1-R2=SCE/1
SCR/(n-2)
??? ??F????H0 ?????? ?? ????? ??H0 ?? ?????? ??H1? obs=PH0(F(1,n-2)>(n-2)r2 1-r2) Y? y i=b0+b1xi+ϵi. T=^bj ^σ^bj ??? ??T????H0 ?????? ?? ????? ??H0 ??? ?? ?????? ??H1? obs= 2PH0(Student(n-2)>|^bj ^σ^bj|)2605,569/32 = 9,0235
???H0:b1= 0? ??????H1:b1̸= 0 t2obs= 7,2112= 51,998 =fobs
obs= 0? ?? ??????? ????H0?? ??????5%? ???H0:b0= 0? ??????H1:b0̸= 0 t obs= 5,084 obs≈0? ?? ??????? ????H0?? ??????5%? b1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
x y1.0 1.5 2.0 2.5
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
x y1.0 1.5 2.0 2.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
x y ??? ?? ?? ??b0?? ??????1-α??? ????? ??? ? [^b0-t^σ^b0,^b0+t^σ^b0] ???? ?? ?? ??b1?? ??????1-α??? ????? ??? ? [^b1-t^σ^b1,^b1+t^σ^b1] ?? ?? ??yi?? ??????1-α??? ????? ??? ? 1 n +(xj-x)2 1 n +(xj-x)2 (xi-x)2] y n+1=b0+b1xn+1+εn+1 ^yp n+1=^b0+^b1xn+1. x ?? ?? ??yn+1?? ??????1-α??? ????? ??? ? ^yp 1 + 1 n +(xj-x)2 (xi-x)2,^yp 1 + 1 n +(xj-x)2 (xi-x)2] y i=b0+b1xi1+b2xi2+···+bpxip+εi, i= 1,···,n F=R21-R2n-p-1
p =SCE/pSCR/(n-p-1)
??? ??F????H0 ?????? ?? ????? ??H0 ??? ?? ?????? ??H1? obs=PH0(F(p,n-p-1)>r21-r2n-p-1
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