[PDF] Géométrie plane axiomatique Axiome I.1 Par deux

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ematiques Universite Rennes 1

Master 1 / GEA -Geometrie et Algebre Automne 2011

Geometrie plane axiomatique

Les objets elementaires de la geometrie plane sont les points et les droites. Pour decrire une geometrie, ces objets doivent avoir des proprietes elementaires qui nous semblent intuitivement evidentes (cf.les axiomes d'incidences). Ces axiomes doivent donc ^etre : { les plus elementaires et les moins nombreux possibles, { susamment riches pour pouvoir demontrer, a partir de ceux-ci et avec les regles de la logique, les proprietes que l'experience (le dessin) nous founit . Nous suivrons l'exposition de la geometrie euclidienne plane de Gilbert ARSAC,L'axiomatique de Hilbert et l'enseignement de la geometrie au College et au Lycee,

Daniel PERRIN,Mathematiques d'ecole.

Des references historiques sont (il y en a beaucoup d'autres)

EUCLIDE,LesElements,

David HILBERT,Les fondements de la geometrie.

Les points et les droites d'un plan ne sont pas denis dans l'approche axiomatique seules leurs proprietes elementaires sont explicitees par les axiomes. Ces derniers donnent donca posterioriune denition implicite des points et des droites. On notera un ensemble appeleplandont les elements sont appelespointset un ensemble de parties non vides de appeleesdroites. Lorsqu'un pointPappartient a une droitednous dirons aussi quePest surd, quedpasse parP ou quePetdsontincidents. Des points appartenants a une m^eme droite sont ditsalignes.

1.Les axiomes d'incidence

Ils regissent les proprietes d'intersections.

Axiome I.1Par deux points distincts du plan passe une unique droite.

8(P;Q)22tels queP6=Q;9!d2 telle queP2detQ2d

Exercice 1.1.

Ecrire la negation de la formule logique ci-dessus.

La droite passant pasPetQsera notee (PQ).

Axiome I.2Toute droite contient au moins deux points.

Axiome I.3Il existe trois points non alignes.

Exercice 1.2.

Ecrire les formules logiques correspondant aux axiomes ci-dessus et leurs negations. Exercice 1.3.Montrer les assertions suivantes. (Vous redigerez completement les preuves qui sont tres courtes.) {Deux droites distinctes ont au plus un point commun. {Pour toute droitedil existe un pointPtel quePetdne soient pas incidents. {Pour tout pointPil existe une droitedtelle quePetdne soient pas incidents. Deux droites sans point commun sont ditesparalleles. Axiome P.Par un pointPnon situe sur une droitedpasse une unique parallele ad. Exercice 1.4.Qu'est ce qu'une relation binaire sur un ensemble ? Qu'est ce qu'une relation d'equivalence ? Montrer que la relation sur:detd0sont paralleles ou confondues, est une relation d'equivalence. Les classes d'equivalences pour cette relations sont lesdirections Theoreme 1.1.Les axiomesI.1,I.3etPimpliquent que toutes les droites ont m^eme cardinalite. Le theoreme precedent montre queI.1,I.3etPimpliquentI.2. Certaines geometries ne demande pas que l'axiomePsoit verie alors que toutes necessitentI.2.

2.Les axiomes d'ordre

Ils regissent les proprietes de la relation \^etre entre" pour des points alignes. SoientA,Bdeux points distincts. On notera ]AB[ l'ensemble des points entreAetB, c'est une partie de la droite (AB). On notera [AB] =]AB[[fA;BglesegmententreAetB. Axiome O.1SoientA,Bdeux points distincts. On a [AB] = [BA](AB). Axiome O.2SiBetDsont deux points distincts alors il existe trois pointsA,CetEde (BD) tels queB2]AD[,C2]BD[ etD2]BE[.

Axiome O.3

Etant donnes trois points alignes, un et un seul est entre les deux autres. On dit que deux pointsAetBsont du m^eme c^ote d'une droitedsi [AB]\d=;. Undemi-plan ouvert deni par une droitedest l'ensemble des points d'un m^eme cote ded. Pour montrer qu'une droite partage le plan en deux demi-plan, nous avons besoin d'un axiome supplementaire.

Axiome O.4

Etant donnes trois pointsA,BetChors d'une droitedon a : { SiAetBsont du m^eme c^ote dedetBetCaussi alorsAetCsont du m^eme c^ote. { SiAetBsont de part et d'autre dedetBetCaussi alorsAetCsont du m^eme c^ote. Exercice 2.1.Montrez qu'une droite partage le plan en deux demi-plans disjoints. Ces axiomes permettent de denir une partieconvexe:F est convexe siA2FetB2F impliquent [AB]F. Exercice 2.2.Montrez qu'une intersection de convexes est convexe. Ils permettent de denir unedemi-droited'origineAet contenantB: [AB) =fC2 tel queC2[AB] ouB2[AC]g: Exercice 2.3.Montrez que siA2]BC[alors(BC) = [AB)[[AC),[BA) = [BC)et[BC] = [AB][[AC]. Theoreme 2.1(de Pasch).SoientA,BetCtrois points non alignes etdune droite coupant]AB[ alors une seule des trois situations se produit :dpasse parCoudcoupe]AC[oudcoupe]BC[. Ces axiomes permettent aussi de denir lesangles geometriques. SoientOun point du plan et [OA), [OB) deux demi-droites issues deO. Supposons les trois points non alignes. On noteH+ Ale demi-plan ouvert limite par (OA) contenantBetH

Ale demi-plan ferme oppose. On note de m^eme

H BetH

Bles demi-plans limites par (OB).

La reunion des deux demi-droites delimite unangle saillantH+ A\H+

B, note[AOBet un unangle

rentrantH A[H

B, note (AOB)_.

Exercice 2.4.Montrer qu'un angle saillant est convexe et qu'un angle rentrant n'est pas convexe. Par abus de langage nous dirons que deux demi-droites confondues determinent un angle saillant \nul" qui se reduit a cette demi-droite et un angle rentrant \plein" qui est le plan. Lorsque les demi-droites sont opposees nous dirons d'un demi-plan delimite par la droite (AB) qu'il forme un angle \plat". Exercice 2.5.Expliquer pourquoi, dans les deux cas ci-dessus, on ne peut pas utiliser la denition d'angle geometriques donnee precedemment. Exercice 2.6.Montrer que par un point interieur a un angle (non nul, non plein, non plat)[AOB passe une droite coupant les deux c^otes[OA)et[OB)de l'angle. (Utiliser une ou deux fois le theoreme de Pasch pour trouver un point et une droite qui conviennent puis l'axiomePpour trouver la droite convenant a un point donne.) On peut aussi denir et demontrer des propositions un peu moins evidente de la geometrie. Exercice 2.7.Denir les termes de la proposition suivante et la demontrer. Les diagonales d'un quadrilatere convexe se coupent a l'interieur de ce polygone Exercice 2.8.SoientA,B,C,Oquatre points ne contenant pas un triplet aligne. Montrer qu'une des trois demi-droite[OA),[OB),[OC)coupe un c^ote du triangle ABC entre ces extremites (i.e. coupe]AB[,]AC[ou]CB[).

3.Les axiomes de congruence

Ces axiomes permettent de denir les longueurs des segments et les ouvertures des angles implicite- ment. On notera [AB][A0B0] pour dire que les segment sont congruents (i.e.interpretable par \ont m^eme longueur") ; la m^eme notation sera utilisee pour les angles. Axiome C.1SoientA,Bdeux points et [A0C0) une demi-droite. Il existe un unique point B

02[A0C0) tel que [AB][A0B0].

Axiome C.2La congruence est une relation d'equivalence sur l'ensemble des segments. Axiome C.3SiB2[AC],B02[A0C0], [AB][A0B0] et [BC][B0C0] alors [AC][A0C0]. Axiome C.4Soient[AOBun angle et [O0A0) une demi-droite etHun demi-plan delimitee par (O0A0). Il existe une unique demi-droite [OB0)Htel que[AOB\A0O0B0. Axiome C.5La congruence est une relation d'equivalence sur l'ensemble des angles. Axiome C.6Si deux trianglesABCetA0B0C0sont tels que[CAB\C0A0B0, [AB][A0B0] et [AC][A0C0] alors [CB][C0B0],[ACB\A0C0B0et[CBA\C0B0A0. (On dit que les triangles sont congruents). Exercice 3.1.Montrer que des angles opposes par le sommet sont congruents. Exercice 3.2.Montrer que les angles a la base d'un triangle isocele sont congruent. Exercice 3.3.SiB2[AOC,B02\A0O0C0,[AOB\A0O0B0et\BOC\B0O0C0alors[AOC\A0O0C0. Theoreme 3.1(desangles internes-externes).Soientdetd0deux droites ettune droite distincte intersectantdenAetd0enB. Les angles alternes-internes sont congruents si et seulement sidet d

0sont paralleles.

Theoreme 3.2.Lasommedes angles d'un triangle est un angle plat. On peut maintenant denir uncerclea partir de son centre et d'un de ces points.

Theoreme 3.3(del'angle inscrit).Soit

un point d'un cercleCde centreO. SiAetBsont deux points du cercle distincts de tels que les angles[A

Bet[AOBinterceptent le m^eme arc alors

2 [A

B[AOB.

On peut aussi denir lemilieu d'un segmentetun angle droit. Theoreme 3.4.Il existe un uniqueM2[AB]tel que[MA][MB]. Exercice 3.4.Denir un angle droit. Montrer l'existence et l'unicite de sa classe de congruence. Exercice 3.5.Montrer que deux droites perpendiculaires a une m^eme droite sont paralleles ou con- fondues. Exercice 3.6.Montrer que par un point exterieur a une droitedpasse une unique perpendiculaire ad.

4.Les axiomes de continuite

Ces axiomes permettent de s'assurer qu'une droite (avec la relation \^etre entre") est isomorphe a R. On peut ensuitemesurerles longueurs, les ouvertures, les aires etc. Axiome d'ArchimedeSoient [AB] et [CD] deux segments. Il existe un entiernetnpoints E

1;:::;Ende la droite (AB) tels queE1=A,B2[E1;En] et pour toutmentre 1 etn1,

[CD][EmEm+1]. Exercice 4.1.Expliquer comment cet axiome permet de mesurer les longueurs de segments par un nombre reel. Axiome de DedekindSidest une droite et 1, 2est une partition deden parties convexes alors il existe un pointO2dtel queO2]A;B[dsi et seulement si une extremite est dans 1et l'autre dans 2. Cet axiome permet de construire un segment de longueur donnee.

5.Deux theoremes

Les axiomes des sections precedentes nous permettent de mesurer les longueurs de lignes polygo- nales et les aires de polygones en xant un segment dont la longueur sera l'unite de longueur et en decretant { qu'un rectangle de c^otes mesurantaetba une aire mesurantab, { que l'aire d'un segment et d'un point sont de mesures nulles { et que la mesure de l'aire deP[Qest la somme des mesures des aires dePetQmoins la mesure de l'aire deP\Q. Mais nous ne savons pas denir et mesurer les longueurs de courbes et les aires delimites par des courbes ! Neanmoins nous pouvons deja demontrer les deux theoremes suivants dont vous ecrirez les enonces.

Theoreme 5.1(de Pythagore).

Theoreme 5.2(de Thales).

A partir de maintenant nous xons un segment unite et un angle unite. Par abus de langage, nous confondrons les longueurs et les ouvertures avec leurs mesuresquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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