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Université des Sciences et Technologies de Lille

U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

Bât. M2, F-59655 Villeneuve d"Ascq CedexInitiation à la

Statistique

IS-Math314Chapitres 1-4

Charles SUQUET

Licence de Mathématiques L3 2009-2010

Table des matières

1 Théorème limite central7

1.1 Convergence en loi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2 Normalité asymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.2.1 Sommes de variables aléatoires i.i.d.. . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.2.2 Vitesse de convergence dans le TLC. . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.2.3 Intervalle de confiance pour une probabilité inconnue. . . . . . .16

1.2.4 Généralisation du TLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

1.3 Théorème limite central vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

1.3.1 Espérance et covariance d"un vecteur aléatoire. . . . . . . . . . .20

1.3.2 Vecteurs aléatoires gaussiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

1.3.3 TLC vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

1.4 Compléments sur la convergence en loi et le TLC. . . . . . . . . . . . .29

1.4.1 Outillage pour la convergence en loi. . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.4.2 Démonstration du TLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

2 Simulation de variables et vecteurs aléatoires43

2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

2.2 Méthode théorique pour simuler une v.a.r.. . . . . . . . . . . . . . . . .44

2.3 Méthodes particulières pour lois usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . .48

2.3.1 Lois discrètes à support fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

2.3.2 Lois binomiales et multinomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . .50

2.3.3 Lois de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

2.3.4 Lois géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

2.3.5 Lois gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

2.4 Algorithmes de rejet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

2.4.1 Simulation de lois uniformes par rejet. . . . . . . . . . . . . . . .57

2.4.2 Simulation de lois à densité par rejet. . . . . . . . . . . . . . . .61

2.4.3 Simulation d"une loi discrète par rejet. . . . . . . . . . . . . . . .64

2.5 Simulation de vecteurs aléatoires par transformation. . . . . . . . . . . .67

2.5.1 Loi uniforme par transformation affine. . . . . . . . . . . . . . .67

2.5.2 Vecteur gaussien de covariance donnée. . . . . . . . . . . . . . .73

Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 3

3 Échantillons et statistiques77

3.1 Modélisation statistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

3.2 Mesure empirique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

3.2.1 Une loi construite à partir des observations. . . . . . . . . . . . .82

3.2.2 Convergence de la f.d.r. empirique vers la f.d.r. théorique. . . . .85

3.2.3 Application au test de Kolmogorov-Smirnov. . . . . . . . . . . .92

3.3 Moments empiriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

3.3.1 Moments observés et moments empiriques. . . . . . . . . . . . .94

3.3.2 Espérance et variance des moments empiriques. . . . . . . . . . .95

3.4 Lois des moments empiriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

3.4.1 Échantillon de grande taille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

3.4.2 Échantillon gaussien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

4 Estimation107

4.1 Estimateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

4.1.1 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

4.1.2 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

4.1.3 Erreur quadratique moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

4.2 Maximum de vraisemblance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

4.2.1 Exercice introductif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

4.2.2 Cas discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

4.2.3 Cas à densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

A Tables statistiques123

A.1 Loi normale standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 A.2 Lois du khi2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 A.3 Lois de Student. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 A.4 Test de Kolmogorov Smirnov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 4 Index acceptation-rejet,57 algorithme du rejet,61 biais,110

Box Muller,56

condition de Liapounov,18,38 de Lindeberg,19 consistance faible,109 forte,109 convergence

étroite,8

en loi,7 par image continue,10 en loi (pièges),8 en loi dansRd,8 formes linéaires,27 covariance,22

Cramér-Rao,114

borne de,115

Cramér-Wold,27

dérivation sous le signe somme,115

échantillon,81

efficace (estimateur),115

EQM,110

décomposition,111

équidistribution,18

équitension,31

erreur quadratique moyenne,110 espérance d"un vecteur aléatoire,21 et applications linéaires,21 linéarité,21 espacements,71 estimateur,109asymptotiquement sans biais,110 biaisé,110 efficace,115 faiblement consistant,109 fortement consistant,109 sans biais,110 estimation fonctionnelle,107 ponctuelle,107 factorielle,15 fonction de répartition empirique,84 fonction quantile,45 formule de Stirling,15 fourchette,16 générateur congruentiel,43 inégalité de Cramér-Rao,114 de Jensen,39 intervalle de confiance,16 inverse généralisée d"une f.d.r.,45 lemme de Slutsky,98 loi de Gumbel,10 de Poisson,52 de Student,104 de Weibull,48 de Zipf,66 du khi-deux (χ2),104 formes linéaires,23 géométrique,54

Gamma,63

multinomiale,28,51 5 normale tables,124 matrice de covariance,22 mesure empirique,82 espérance,83 variance,83 modèle statistique,77 moment empirique,95 moyenne empirique,83,95 théorème limite central,97 quantile,45 record,9 simplexe,70 simulation loi binomiale,50 loi de Cauchy,47 loi de Poisson,52 loi de Zipf,66 loi discrète,48 loi géométrique,55 loi Gamma,63 loi multinomiale,51 loi uniforme sur ellipsoïde,73 loi uniforme sur un simplexe,71 lois de Weibull,48 lois exponentielles,48 rejet densité,61 loi discrète,64 v.a. gaussiennes,56 vecteur gaussien,73 sondage,16 statistique,81 statistiques d"ordre,71 tableau triangulaire,19 tables loi de Student,128 loi du khi-deux,126 loi normale,124 test de Kolmogorov Smirnov,129test

Kolmogorov Smirnov,92

théorème dérivation sous le signe somme,115 de Berry-Esséen,14 de de Moivre-Laplace,12 de Glivenko-Cantelli,86 de Katz Petrov,15 de Kolmogorov Smirnov,93 de Liapounov,18,38 de Lindeberg,19 de Student,101 limite central,12 théorème limite central cas i.i.d.,12 dansRd,27 de de Moivre-Laplace,12 de Liapounov,18,38 de Lindeberg,19 et lois multinomiales,28 pour la moyenne empirique,97 vectoriel,27 vitesse de convergence,14,15 variance empirique,83,95 formule de Koenig,95 vecteur aléatoire espérance,21 gaussien,23 paramètres,24 intégrable,21 vitesse de convergence loi forte des grands nombres,14 théorème limite central,14,15,38 vraisemblance,119 6

Chapitre 1

Théorème limite central

Le théorème limite central nous dit qu"une somme d"un grand nombre de variables aléatoires indépendantes, de carré intégrable, convenablement normalisée, se comporte asymptotiquement "en loi» comme une v.a. gaussienne. Il explique l"importance centrale

des lois gaussiennes dans la théorie des probabilités et la statistique. Il complète la loi des

grands nombres en donnant une sorte de vitesse de convergence, permettant notamment de construire des " intervalles de confiance » pour l"estimation d"un paramètre. Pour donner un sens mathématique précis à cette notion de " comportement asymp- totique en loi », il nous faut d"abord introduire la convergence en loi.

1.1 Convergence en loi

Nous admettrons l"équivalence des deux définitions suivantes de la convergence en loi.Définition 1.1(convergence en loi).NotonsFnetFles fonctions de répartition res- pectives des variables aléatoires réellesYn(n≥1)etY. On dit que la suite(Yn)n≥1 converge en loiversYsiquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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