Orthogonalité de lespace.
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Deux droites sont orthogonales si et seulement si
DROITES ET PLANS DE LESPACE
La réciproque n'est pas vraie car deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et sécantes. 2) Orthogonalité d'une droite et d'un plan.
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Géométrie dans l'espace. Orthogonalité dans l'espace : Exercices. Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. Vecteur normal - équation cartésienne
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
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ORTHOGONALITÉ DANS LESPACE
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Produit scalaire et orthogonalité dans lespace : exercices - page 1
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PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Démonstration : Soit une droite de vecteur directeur '? orthogonale à deux droites sécantes et de P. Soit '? et ? des vecteurs directeurs
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On dit que deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles issues d'un point quelconque de l'espace sont perpendiculaires
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PROPRIÉTÉ 1: Si deux droites sont orthogonales alors toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre PROPRIÉTÉ 2:
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Si deux droites sont perpendiculaires dans un plan de l'espace on dit qu'elles sont perpendiculaires dans l'espace • Deux droites sont dites orthogonales
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Orthogonalité et distances dans l'espace – Fiche de cours 1 Base orthonormée de l'espace On appelle base orthonormée de l'espace 3 vecteurs linéairement
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Partie 1 : Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace Méthode : Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité
Comment calculer l'orthogonalité ?
Si la droite D a pour équation a.x + b.y + c = 0 alors un vecteur directeur de D est le vecteur (-b ; a). Faisons un test d'orthogonalité sur le vecteur et le vecteur . a × (-b) + b × a = -a.b + b.a = 0. Autrement dit les vecteurs et sont orthogonaux.Comment montrer que deux espaces sont orthogonaux ?
Deux vecteurs ?u et ?v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si ?u. ?v=0. . Deux droites D et ? de vecteurs directeurs respectifs ?u et ?v sont dites orthogonales lorsque ?u et ?v le sont.Comment savoir si deux droites sont orthogonales dans l'espace ?
Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si il existe deux droites coplanaires qui leur sont parallèles et qui sont perpendiculaires entre elles.- Deux droites de l'espace sont perpendiculaires quand elles sont sécantes et forment un angle droit. Nécessairement, cela signifie qu'elles sont sécantes et donc coplanaires. DEFINITION: deux droites de l'espace sont orthogonales quand en un point de l'espace, leurs parallèles sont perpendiculaires.
Geometrie dans l'espace
Orthogonalite dans l'espace : Exercices
Corriges en video avec le cours sur
jaicompris.comVecteur normal - equation cartesienne d'un plan
ABCDEFGH est un cube d'ar^ete 1.
On se place dans le repere (A;!AB;!AD;!AE).
1) Demontrer que le vecteur!DF est normal au plan (EBG).
2) En deduire une equation cartesienne du plan (EBG).ABCDEFGH est un cube d'ar^ete 1.
I est le milieu du segment [AE].
On se place dans le repere (A;!AB;!AD;!AE).
1) Determiner un vecteur normal au plan (CHI).
2) En deduire une equation cartesienne du plan (CHI).On se place dans un repere orthonorme (O;~i;~j;~k).
Dans chaque cas, determiner une equation cartesienne du planP:1) le planPpasse par le point A(1;2;-4) et a pour vecteur normal~n(2;-1;1).
2) le planPpasse par les points A(1;1;4), B(1;-1;2) et C(-1;2;1).Lien entre equation cartesienne de plan et representation parametrique
On se place dans un repere orthonorme (O;~i;~j;~k).1) Justier quey= 2x+ 1 est l'equation cartesienne d'un planP.
Donner un point et un vecteur normal du planP.
2) Determiner 2 vecteurs directeurs du planP. En deduire une representation parametrique deP.Droite perpendiculaire a un plan
Deux cubes d'ar^ete 1, sont disposes comme indique sur la gure.M est le milieu du segment [GK].
La droite (DL) est-elle perpendiculaire au plan (FMI)?Intersection d'une droite et d'un plan On se place dans un repere orthonorme (O;~i;~j;~k). On considere la droiteDde representation parametrique8 :x= 1t y= 2t z=1out2RLe planPa pour equation cartesienne 2xy+z3 = 0.
1) Justier quePetDsont secants en un point I.
2) Determiner les coordonnees de I.Intersection de 2 plans
On se place dans un repere orthonorme (O;~i;~j;~k). On considere les plansPetP0d'equations respectives 2x+ 3y{z+ 3 = 0 etx+y+z1 = 0.1) Demontrer quePetP0sont secants selon une droiteD.
2) Determiner une representation parametrique de la droiteD.1
Plan perpendiculaire
On se place dans un repere orthonorme (O;~i;~j;~k). On considere les plansP1etP2d'equations respectivesx2y+z+ 5 = 0 et 4x+yz2 = 0.Determiner une equation cartesienne du planPperpendiculaire aP1etP2passant par le point A(2;-1;1).Distance d'un point a une droite par 2 methodes
Dans un repere orthonorme (O;~i;~j;~k), on considere le point A(-1;1;2) et la droiteDde representation parametrique8 :x=t y=1 z= 12tout2R L'objectif de cet exercice est de determiner la distanced, du point A a la droiteD, c'est a dire la plus petite des longueurs AM lorsque M decrit la droiteD.Methode 1
1) On considere la fonctionfdenie surRparf(t) =AMou M est un point deDde parametret.
Determinerf(t) en fonction detpuis le minimum def. Conclure.Methode 2
2.a) Determiner une equation cartesienne du planPperpendiculaire aDpassant par A.
2.b) Determiner les coordonnees du point H, intersection dePetD.
2.c) Conclure.Distance d'un point a un plan
On se place dans un repere orthonorme (O;~i;~j;~k). On considere le point A(-7;0;4) et le plan d'equation cartesiennex+ 2y2z3 = 0. L'objectif de cet exercice est de determiner la distance du point A au planP, c'est a dire la plus petite des longueurs AM lorsque M decrit le planP.1) Determiner une representation parametrique de la droiteDpassant par A et perpendiculaire aP.
2) Determiner les coordonnees du point H, intersection dePetD.
3) Conclure.Perpendiculaire commune a deux droites de l'espace
Dans un repere orthonorme, on considere la droiteD1passant parA1(-1;0;-1) et de vecteur directeur~u1(1;2;3)
et la droiteD2de representation parametrique :8 :x= 1 +t y=2t z= 2out2R.1) Determiner un vecteur directeur deD2, note~u2.
2) Determiner les coordonnees d'un vecteur non nul~vorthogonal a~u1et a~u2.
3) On considere le planP(A1;~u1;~v).
a) Montrer que le vecteur~n(17;-22;9) est normal aP. En deduire une equation cartesienne deP. b) Determiner les coordonnees du point I, intersection dePetD2.c) Demontrer que la droite passant par I et de vecteur directeur~vest perpendiculaire aD1etD2.Intersection de sphere et de plan
Dans un repere orthonorme, on considere le planPd'equation 2xy+ 3z+ 15 = 0 et le point S(1;4;5).1) Determiner une representation parametrique de la droite perpendiculaire aPpassant par le point S.
2) Determiner les coordonnees du point K, intersection dePet .
3) Le planPcoupe-t-il la sphereSde centre S et de rayon 7? Justier.Plan tangent a une sphere
Dans un repere orthonorme, on considere l'ensemble (E) d'equation :x26x+y2+z2+ 10z2 = 0.1) Demontrer que (E) est une sphereSdont on donnera les coordonnees du centre S et le rayonr.
2) On considere le planPd'equation cartesienne 2xy2z+ 2 = 0.
Determiner une representation parametrique de la droite passant par S et perpendiculaire aP.3) Determiner les coordonnees du point H, intersection de etP.
4) Le planPest-il tangent a la sphereS? Justier.
2Intersection de sphere et de droite
On se place dans un repere orthonorme (O;~i;~j;~k). On considere la droite passant par le point A(4;1;3) et de vecteur directeur~u(1;-2;1). Determiner l'intersection de la droite avec la sphereSde centre (1;2;-1) et de rayonp14. Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justier. On se place dans un repere orthonorme (O;~i;~j;~k).1. Si deux plansP1etP2sont perpendiculaires a un troisieme planP3alorsP1etP2sont paralleles.
2. Si deux droitesD1etD2sont perpendiculaires a une troisieme droiteD3alorsD1etD2sont paralleles.
3. Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite de l'un est orthogonale a toute droite de l'autre.
4. La droite passant par A(3;-1;2) et de vecteur directeur~u(1;1;-2)
est parallele au plan d'equation cartesienne 2xy+z1 = 0.5. Les plans d'equations cartesiennes 2xz+ 1 = 0 etxy+z3 = 0 sont perpendiculaires.Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justier.
On se place dans un repere orthonorme (O;~i;~j;~k). On donne les points A(2; 0; -3), B(1;2; -1) et C(-2;1; 3).1. La droite (AB) appartient au plan d'equation cartesienne 2xy+z1 = 0.
2. Le point H(2;-1;2) est le projete orthogonal du point A(4;-3;2) sur le plan d'equation cartesiennexy= 3.
3. A, B et C denissent un plan qui a pour equation cartesiennex+ 2y+z+ 1 = 0.Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justier.
On se place dans un repere orthonorme (O;~i;~j;~k). On considere le planPd'equation cartesiennexy+ 3z+ 1 = 0, et la droiteDdont une representation parametrique est8 :x= 2t y= 1 +t z=5 + 3tout2R. On donne les points A(1; 1; 0), B(3;0; -1) et C(7;1; -2).1. Une representation parametrique de la droite (AB) est8
:x= 52t y=1 +t z=2 +tout2R.2. Les droitesDet (AB) sont orthogonales.
3. La droiteDcoupe le planPau point E de coordonnees (8; -3; -4).
4. Les plansPet (ABC) sont paralleles.
Equation de plan dependant d'un parametre - Bac S Nouvelle Caledonie 2016Dans le repere orthonorme (O;~i;~j;~k) de l'espace, on considere pour tout reelm, le plan Pmd'equation
14 m2x+ (m1)y+12 mz3 = 0 1. P ourquelle(s) v aleur(s)d emle point A(1;1;1) appartient-il au plan Pm? 2.Mon trerque les plans P
1etP4sont secants selon la droite (d) dont on donnera une representation parametrique.
3.Mon trerque l'in tersectionen treP
0et (d) est un point note B dont on determinera les coordonnees.
4. Justier que p ourtout r eelm, le point B appartient au plan Pm. 5. Mon trerque le p ointB est l'unique p ointapp artenant aP mpour tout reelm.3 Equation de plan et section d'un cube - Bac S Pondichery 2017ABCDEFGH est un cube.
Dans le repere
A;!AB;!AD;!AE
, on notePle plan d'equationx+12 y+13 z1 = 0.Construire, sur la gure ci-dessous, la section du cube par le planP, en justiant.Projete orthogonal - Exercice de revision - Bac S Centre etranger 2018
La gure ci-contre represente un cube ABCDEFGH. Les points I, J, K sont denis par les conditions suivantes :I est le milieu de [AD].!AJ =34
!AE. K est le milieu de [FG].On se place dans le repere (A;
!AB;!AD;!AE). 1. Donner sans justication les co ordonneesde I, J et K. 2.Justier que I, J et K d enissentun plan.
3. D eterminerles r eelsaetbtels que le vecteur~n(4;a;b) soit normal au plan (IJK). 4. En d eduireune equationcart esiennedu plan (IJK). 5. On note R le pro jeteorthogonal du p ointF sur le plan (IJK). On denit l'interieur du cube comme l'ensemble des points M(x;y;z) tels que8 :0< x <10< y <1
0< z <1. Le point R est-il a l'interieur du cube?4
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