[PDF] PCSI Chapitre 10 Informatique 2016-2017 1/6

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CHAPITRE

Newton,quipermettentd'obtenirdessolutionsapprochéesd'équationsdelaforme���(���) = 0où���est

Ondistinguedeuxtypesd'équations:

» Leséquations"algébriques»lorsque���estunefonctionpolynômiale.

Parexemplel'équation���!

» Leséquations"transcendantes»lorsque���nepeutpass'écriresouslaformed'unpolynôme.Par

I.

MÉTHODEDELADICHOTOMIE

1. Démarche

» Conditiond'application:

Oncherche���dansl'intervalle[��� ;���]telque��� ���=0.

Ilsuffitque:

• lafonctionsoitcontinuesurl'intervalle[��� ;���] • ���et���vérifient������������<0.

» Principe:

lasolution.

» Procédure:

• Ondéfinitl'intervallederecherchequidoitcontenirlasolution.

Soient���!

et��� telsque������ <0 • Ondivisel'intervalleendeuxsectionségales. - Si la solution est dans la première section, celle-ci remplace l'intervalle de recherche.

C'est-à-dire:

Si������

et��� - Si la solution est dans la deuxième section, celle-ci remplace l'intervalle de recherche.

C'est-à-dire:

Sinonalors���!

et��� • Onrecommencejusqu'àcequelaprécisionvouluesoitatteinte. • Onobtientlerésultatenaffichantlamoyennedesdeuxbornes���

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2 /6 -2.Ondoitchercher��� telque���(���)=0. signede���(1)?signede���(2)?

Compléterlesvaleurssuivantes:

BorneinfBornesupMilieu���(milieu)

=1��� =2��� =1.5���(��� )=0.25>0

Quellevaleurapprochéede2obtient-on?

Avecquelleprécision?

» Conditiond'arrêt:

• lorsquelatailledenotreintervalledetravailest"suffisammentpetite» estencorepluspetit; • lorsqu'onestimequelenombred'itérationsestsuffisant.

» Précision:

par2:àla���

étapeonauneprécision���

entiersupérieurà

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2. ProgrammationenPython

def return

3. Utilisationd'unebibliothèquedePython

anglais).Pour l'utiliser, il suffit de charger la bibliothèque, puis d'appliquer la fonctionbisecten

précisant (au moins) lafonctionconsidérée, ainsi que les bornesborne_infetborne_supde l'intervalledetravail. from scipy.optimize import * bisect(fonction, borne_inf, borne_sup)

II. MÉTHODEDENEWTON

1. Démarche

» Conditiond'application:

Oncherche���dansl'intervalle[��� ;���]telque��� ���=0.

Ilsuffitque:

• lafonctionsoitdérivablesurl'intervalle[��� ;���] • ladérivée���′nes'annulepassurl'intervalle[��� ;���]

» Principe:

On dispose tout d'abord d'une estimation (imprécise) de notre solution��� . On considère l'écart���entre l'estimation��� de la solutionetlasolution��� elle-même:���=|��� elleapouréquation���=���

L'abscisse���

.Leréel��� vérifie

0=���

).Onadonc���

Ontravailleainsiaveclasuite���

quipermetdeserapprocherde��� aufuretàmesure.

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» Procédure:

• Onconsidèreunréel��� dansl'intervalle[��� ;���]. • Oncalcule���

• On réitère l'opération jusqu'à ce que l'écart entre les deux derniers termes consécutifs soit

-2,enpartantde��� =2.

Remarque : S'il n'est pas possible d'accéder à l'expression de la dérivée���′, on devra recourir à

l'approximation avechpetit.

» Conditiond'arrêt:

• lorsquel'écartentredeuxtermesconsécutifsest"suffisammentpetit» • lorsqu'onestimequelenombred'itérationsestsuffisant.

Ledernierterme���

» Précision:

Onpeutmontrerque|���

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2. ProgrammationenPython

def nb_iter_max): return

3. Utilisationd'unebibliothèquedePython

lavaleurinitialeposition_depart. from scipy.optimize import * newton (fonction, position_depart, derivee_fonction)

III. COMPARAISONDESDEUXMÉTHODES

Pour comparer l'"efficacité» des deux méthodes de résolution numérique précédemmentétudiées,

1. Laconvergence

» Pourlaméthodedeladichotomie:

» PourlaméthodedeNewton:

Sous certaines hypothèses,on peut montrer qu'il existe���′∈ℝtelque∀���∈ℕon a

Ilsuffitalorsque

)vers���

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2. Larapiditédeconvergence

verslasolution���

3. Lecaractère"contraignant"deshypothèses

converge vers un point d'annulation de cette fonction. Dans certains cas (respectant pourtant les § Ecrire la fonctionrecherche_racine_newton(fonction, derivee_fonction, position_depart, tolerance=1e -7, nombre_iterations_max=40)qui prend comme argument : une fonctionfonction,sa dérivéederivee_fonction,la valeur de de recherche se terminetolerance = 1e-7et le nombre d'itérations maximum nombre_iterations_max=40 § Testerlafonctionrecherche_racine_newton()avecparexemplelesfonctionssuivanteset leursdérivéescorrespondantes: - ℎ(���)=���������(���)avec0.5commevaleurdedépartpourlarecherche § Comparerlesdeuxméthodesen adaptant la fonctiontracer_convergence()du TP N°10 deladichotomieetdelaméthodedeNewton.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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