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Méthodes numériques
Introduction à l"analyse numérique
et au calcul scientifiqueGuillaume Legendre
(version provisoire du 17 mai 2023) Ce document est mis à disposition selon les termes de la licenceCreative Commons " Attribution - Pas d"utilisation commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0International »
.Au regretté logo de l"université (2009-2019)Avant-propos
Ce document est une version augmentée et regroupée des notes de deux cours enseignés à l"université Paris-
Dauphine, respectivement en deuxième année de licence de Mathématiques et Informatique appliquées à l"Éco-
nomie et à l"Entreprise (MI2E) et en première année de master de Mathématiques Appliquées. Ces enseignements
se composent à la fois de cours magistraux et de séances de travaux dirigés et de travaux pratiques.
Leur but est de présenter plusieurs méthodes numériques de base utilisées pour la résolution des systèmes
linéaires, des équations non linéaires, des équations différentielles et aux dérivées partielles, pour le calcul nu-
mérique d"intégrales ou encore pour l"approximation de fonctions par interpolation polynomiale, ainsi que d"in-
troduire aux étudiants les techniques d"analyse (théorique) de ces dernières. Certains aspects pratiques de mise
en oeuvre sont également évoqués et l"emploi des méthodes est motivé par des problèmes " concrets ». La présen-
tation et l"analyse des méthodes se trouvent complétées par un travail d"implémentation et d"application réalisé
par les étudiants avec les logiciels MATLAB®1 et GNU OCTAVE2.Il est à noter que ce support de cours comporte plusieurs passages qui ne sont pas traités dans le cours devant
les étudiants (ce dernier fixant le programme de l"examen), ou tout au moins pas de manière aussi détaillée.
Il contient également deux annexes de taille relativement conséquente, l"une consacrée à des rappels d"algèbre,
l"autre à des rappels d"analyse, qui constituent les pré-requis à une bonne compréhension des deux premières
parties du cours. Les courtes notes biographiques, qui apparaissent en bas de page à chaque première fois que le
nom d"une personne est cité, sont pour partie tirées de WIKIPEDIA3.Je tiens enfin à adresser mes remerciements à tous les étudiants ayant décelé des erreurs, à Matthieu Hillairet
pour sa relecture d"une partie du manuscrit et ses remarques, à André Casadevall, Djalil Chafaï, Maxime Chupin,
Olga Mula, Pierre Lissy, Nicolas Salles, Julien Salomon, Anders Thorin et Gabriel Turinici pour leurs suggestions
et enfin à Donald Knuth pour l"invention de TEX et à Leslie Lamport pour celle de LATEX.
Guillaume Legendre
Paris, janvier 2018.
Quelques références bibliographiques
Pour approfondir les thèmes abordés dans ces pages, voici une sélection de plusieurs ouvrages de référence,
que l"on pourra consulter avec intérêt en complément du cours. Par ailleurs, afin de faciliter l"accès à la littérature
de langue anglaise, des traductions des termes spécifiques à ce cours sont proposées tout au long du manuscrit,
généralement lors de l"introduction de l"objet ou de la notion en question.Ouvrages rédigés en français
[AD08]L. AMODEIet J.-P. DEDIEU.Analyse numérique matricielle,Mathématiques pour le master/SMAI. Dunod, 2008.
[AK02]G. ALLAIREet S. M. KABER.Algèbre linéaire numérique,Mathématiques pour le deuxième cycle. Ellipses, 2002.
[Cia98]P. G. CIARLET.Introduction à l"analyse numérique matricielle et à l"optimisation - cours et exercices corrigés,Ma-
thématiques appliquées pour la maîtrise. Dunod, 1998. i [Fil09]F. FILBET.Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique. Dunod, 2009.[LT00a]P. LASCAUXet R. THÉODOR.Analyse numérique matricielle appliquée à l"art de l"ingénieur. 1. Méthodes directes.
Dunod, 2000.
[LT00b]P. LASCAUXet R. THÉODOR.Analyse numérique matricielle appliquée à l"art de l"ingénieur. 2. Méthodes itératives.
Dunod, 2000.
Ouvrages rédigés en anglais
[Act90]F. S. ACTON.Numerical methods that (usually) work. The Mathematical Association of America, 1990.
[Atk89]K. ATKINSON.An introduction to numerical analysis. John Wiley & Sons, second edition, 1989. [Axe94]O. AXELSSON.Iterative solution methods. Cambridge University Press, 1994.DOI:?? ? ???? ?[CLR+09]T. H. CORMEN, C. E. LEISERSON, R. L. RIVEST, and C. STEIN.Introduction to algorithms. MIT Press, third edition,
2009.[DB08]G. DAHLQUISTand Å. BJÖRCK.Numerical methods in scientific computing. Volume I. SIAM, 2008.DOI:???
[GGK14]W. GANDER, M. J. GANDER, and F. KWOK.Scientific computing. An introduction using Maple and MATLAB,
[GV13]G. H. GOLUBand C. F. VANLOAN.Matrix computations. Johns Hopkins University Press, fourth edition, 2013.
[IK94]E. ISAACSONand H. B. KELLER.Analysis of numerical methods. Dover, 1994.[LeV07]R. J. LEVEQUE.Finite difference methods for ordinary and partial differential equations: steady-state and time-
[MM05]K. W. MORTONand D. F. MYERS.Numerical solution of partial differential equations. Cambridge University Press,
[PTV+07]W. H. PRESS, S. A. TEUKOLSKY, W. T. VETERLING, and B. P. FLANNERY.Numerical recipes: the art of scientific
computing. Cambridge University Press, third edition, 2007.[QV97]A. QUARTERONIand A. VALLI.Numerical approximation of partial differential equations, volume 23 ofSpringer
[SB02]J. STOERand R. BULIRSCH.Introduction to numerical analysis, volume 12 ofTexts in applied mathematics.
[SM03]E. SÜLIand D. F. MAYERS.An introduction to numerical analysis. Cambridge University Press, 2003.DOI:
[TB97]L. N. TREFETHENand D. BAU, III.Numerical linear algebra. SIAM, 1997.[Var00]R. S. VARGA.Matrix iterative analysis, volume 27 ofSpringer series in computational mathematics. Springer,
[Wil65]J. H. WILKINSON.The algebraic eigenvalue problem,Numerical mathematics and scientific computation. Oxford
University Press, 1965.
[You71]D. M. YOUNG.Iterative solution of large linear systems. Academic Press, 1971. iiTable des matières
1 Généralités sur l"analyse numérique et le calcul scientifique
11.1 Différentes sources d"erreur dans une méthode numérique
21.2 Quelques notions d"algorithmique
31.2.1 Algorithme
31.2.2 Codage
41.2.3 Efficacité et complexité
41.3 Arithmétique à virgule flottante
81.3.1 Système de numération
91.3.2 Représentation des nombres réels en machine
10Arrondi
121.3.3 Arithmétique en précision finie
13 Un modèle d"arithmétique à virgule flottante 14Multiplication et addition fusionnées
14Perte d"associativité et de distributivité
14Soustraction exacte
15Arithmétique complexe
161.3.4 La norme IEEE 754
161.4 Propagation des erreurs et conditionnement
171.4.1 Propagation des erreurs dans les opérations arithmétiques
17Cas de la multiplication
17Cas de la division
18Cas de l"addition et de la soustraction
181.4.2 Analyse de sensibilité et conditionnement d"un problème
19Problème bien posé
19Conditionnement
19Quelques exemples
221.5 Analyse d"erreur et stabilité des méthodes numériques
281.5.1 Analyse d"erreur directe et inverse
29Quelques exemples (simples) d"analyse d"erreur
301.5.2 Stabilité numérique et précision d"un algorithme
331.6 Notes sur le chapitre
35Références
37I Algèbre linéaire numérique
392 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires
432.1 Exemples d"application
432.1.1 Estimation d"un modèle de régression linéaire en statistique *
442.1.2 Résolution numérique d"un problème aux limites par la méthode des différences finies *
452.2 Stockage des matrices
462.3 Remarques sur la résolution des systèmes triangulaires
502.4 Méthode d"élimination de Gauss
52iii
2.4.1 Élimination sans échange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.2 Élimination de Gauss avec échange
542.4.3 Résolution de systèmes rectangulaires par élimination
552.4.4 Choix du pivot
552.4.5 Méthode d"élimination de Gauss-Jordan
572.5 Interprétation matricielle de l"élimination de Gauss : la factorisation LU
582.5.1 Formalisme matriciel
58Matrices des transformations élémentaires
58Factorisation LU
592.5.2 Condition d"existence de la factorisation LU
622.5.3 Mise en oeuvre
642.5.4 Factorisation LU de matrices particulières
68Cas des matrices à diagonale strictement dominante 68
Cas des matrices bandes
69Cas des matrices tridiagonales
70Cas des matrices de Hessenberg
71Cas des matrices de Toeplitz
71Phénomène de remplissage lors de la factorisation de matrices creuses 74
2.6 Autres méthodes de factorisation
752.6.1 Factorisation LDM
>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .762.6.2 Factorisation de Cholesky
762.6.3 Factorisation QR
782.7 Stabilité numérique des méthodes directes *
842.7.1 Résolution des systèmes triangulaires *
852.7.2 Élimination de Gauss et factorisation LU *
852.7.3 Factorisation de Cholesky *
862.7.4 Factorisation QR **
872.8 Notes sur le chapitre
87Références
893 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires
933.1 Méthodes linéaires stationnaires du premier degré
943.1.1 Généralités
943.1.2 Méthode de Jacobi
993.1.3 Méthodes de Gauss-Seidel et de sur-relaxation successive
1003.1.4 Méthode de Richardson stationnaire
1023.1.5 Méthode des directions alternées
1033.1.6 Résultats de convergence
103Cas des matrices à diagonale strictement dominante 104
Cas des matrices hermitiennes définies positives 105
Cas des matrices tridiagonales
1073.1.7 Remarques sur la mise en oeuvre des méthodes
1113.2 Méthodes de projection
1123.2.1 Méthode de Kaczmarz
1123.2.2 Méthode de Cimmino
1123.3 Notes sur le chapitre
113Références
1154 Calcul de valeurs et de vecteurs propres
1174.1 Exemples d"application **
1184.1.1 Détermination des modes propres de vibration d"une plaque *
1184.1.2 Évaluation numérique des noeuds et poids des formules de quadrature de Gauss **
1194.1.3 PageRank
1194.2 Localisation des valeurs propres
1224.3 Conditionnement d"un problème aux valeurs propres
123iv
4.4 Méthode de la puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4.1 Approximation de la valeur propre de plus grand module
1244.4.2 Déflation
1274.4.3 Méthode de la puissance inverse
1284.4.4 Méthode de Lanczos **
1284.5 Méthodes pour le calcul de valeurs propres d"une matrice symétrique
1284.5.1 Méthode de Jacobi pour une matrice réelle
129Matrices de rotation de Givens
129Méthode de Jacobi
131Méthode de Jacobi cyclique
1344.5.2 Méthode de Givens-Householder **
1344.6 Méthodes pour la calcul de la décomposition en valeurs singulières ***
1374.7 Notes sur le chapitre
138Références
139II Traitement numérique des fonctions
1435 Résolution numérique des équations non linéaires
1475.1 Exemples d"applications *
1475.1.1 Équation de Kepler
1485.1.2 Équation d"état de van der Waals pour un gaz
1485.1.3 Calcul du rendement moyen d"un fonds de placement
1495.2 Ordre de convergence d"une méthode itérative
1495.3 Méthodes d"encadrement
1505.3.1 Méthode de dichotomie
1515.3.2 Méthode de la fausse position
1525.4 Méthodes de point fixe
1555.4.1 Principe
1565.4.2 Quelques résultats de convergence
1575.4.3 Méthode de relaxation
1615.4.4 Méthode de Newton-Raphson
1625.4.5 Méthode de Steffensen
1665.4.6 Classe des méthodes de Householder **
1695.5 Méthode de la sécante et variantes
1695.5.1 Méthode de Muller
1715.5.2 Méthode de Brent **
1725.6 Critères d"arrêt
1735.7 Méthodes pour les équations algébriques
1745.7.1 Localisation des racines **
1745.7.2 Évaluation des fonctions polynomiales et de leurs dérivées
174Évaluation d"une fonction polynomiale en un point 175
Division euclidienne d"un polynôme par un monôme 175
Évaluation des dérivées successives d"une fonction polynomiale en un point 176
Stabilité numérique de la méthode de Horner 176
5.7.3 Méthode de Newton-Horner
1775.7.4 Déflation
1775.7.5 Méthode de Bernoulli *
178179
5.7.7 Méthode de Laguerre
1805.7.8 Méthode de Durand-Kerner **
1825.7.9 Méthode de Bairstow
1825.7.10 Méthode de Jenkins-Traub **
1845.7.11 Recherche des valeurs propres d"une matrice compagnon **
1845.8 Notes sur le chapitre
184v
Références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6 Interpolation polynomiale191
6.1 Quelques résultats concernant l"approximation polynomiale
1926.1.1 Polynômes et fonctions polynomiales
1926.1.2 Approximation uniforme
1926.1.3 Meilleure approximation au sens des moindres carrés
1956.2 Interpolation de Lagrange
1956.2.1 Définition du problème d"interpolation
1966.2.2 Différentes représentations du polynôme d"interpolation de Lagrange
197Forme de Lagrange
197Forme de Newton
199Formes barycentriques
203Algorithme de Neville
2046.2.3 Interpolation polynomiale d"une fonction
206Polynôme d"interpolation de Lagrange d"une fonction 206
Erreur d"interpolation polynomiale
207Quelques propriétés des différences divisées associées à une fonction 209
Convergence des polynômes d"interpolation et contre-exemple de Runge 209
6.2.4 Généralisations *
214Interpolation de Hermite
214Interpolation de Birkhoff *
2156.3 Interpolation par morceaux
2156.3.1 Interpolation de Lagrange par morceaux
2166.3.2 Interpolation par des fonctions splines
216Généralités
216Interpolation par une fonction spline linéaire
217Interpolation par une fonction spline cubique
2186.4 Notes sur le chapitre
225Références
2277 Formules de quadrature231
7.1 Formules de quadrature interpolatoires
2327.1.1 Généralités
2327.1.2 Formules de Newton-Cotes
2337.1.3 Formules de Fejér
2377.1.4 Formules de Clenshaw-Curtis **
2397.1.5 Estimations d"erreur
239Cas des formules de Newton-Cotes
239Représentation intégrale de l"erreur de quadrature * 242
7.2 Formules de quadrature composées
2437.2.1 Principe
2437.2.2 Formules adaptatives **
2477.3 Évaluation d"intégrales sur un intervalle borné de fonctions particulières **
2487.3.1 Fonctions périodiques **
2487.3.2 Fonctions rapidement oscillantes **
2497.4 Notes sur le chapitre
249Références
251III Équations différentielles et aux dérivées partielles 253
8 Résolution numérique des équations différentielles ordinaires
2578.1 Rappels sur les équations différentielles ordinaires *
2578.1.1 Solutions
258vi
8.1.2 Problème de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.1.3 Une remarque fondamentale
2628.2 Exemples d"équations et de systèmes différentiels ordinaires
2628.2.1 Problème àNcorps en mécanique céleste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.2.2 Modèle de Lotka-Volterra en dynamique des populations
2638.2.3 Oscillateur de van der Pol
2688.2.4 Modèle SIR de Kermack-McKendrick en épidémiologie
2688.2.5 Modèle de Lorenz en météorologie
2708.2.6 Problème de Robertson en chimie
2728.3 Méthodes numériques de résolution
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