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TISSEMSILT 2018 MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHESCIENTIFIQUE

CENTRE UNIVERSITAIRE EL-WANCHARISSI DE TISSEMSILT

INSTITUT DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE

Polycopié de cours :

Mécanique du point matériel

Cours et exercices

Élaboré par : Dr ZEBBAR Souhila

1 Y Z

M ࣄ

A B W2

TISSEMSILT 2018 Sommaire Sommaire

Introduction

Chapitre I : Rappels mathématiques I-1 Analyse dimensionnelle

I.1.1Grandeur physique

I.1.2 Système International d'Unités (SI)

I.1.3 Dimension d'une grandeur fondamentale

I.1.4 Les équations aux dimensions

I.2 Calcul vectoriel :

I.2.1 Grandeur scalaire et grandeur vectorielle :

I.2.2 Représentation d'un vecteur :

I.2.3Proprietés des vecteurs

I.2.4-Vecteur unitaire

I.2.5. Composantes d'un vecteur

I.2.6-Opérations sur les vecteurs

I.2.7. Produit scalaire

I.2.8. Produit vectoriel

I.2.9. Produit mixte

I.2.10. Dérivée d'un vecteur :

I.2.11. Opérateurs différentiels :

I.3.Travaux dirigées N°1

Chapitre II : Cinématique du point matériel II.1Définitions II.2 - Vecteur position dans les systèmes de coordonnées (cartésiennes, cylindrique, sphérique, curviligne) II.2.1 Le système de coordonnées cartésiennes II.2.2 Le système de coordonnées polaires (cylindriques en 3D) : II.2.3 Le système de coordonnées sphériques

II.2 Vecteurs Vitesse et accélération

II.2.1 Vecteur Vitesse

II.2.2 Vecteur accélération:

II.3 Expressions des vecteurs vitesse et accélération en systèmes de coordonnées II.3 1 Expressions en coordonnées cartésiennes II.3 2 Expressions en coordonnées cylindriques 3D Polaires 2D

II.3 3 Expressions en coordonnées curvilignes

II.4. - Etude de mouvements d'un point matériel dans les différents systèmes de coordonnées

II.4.1 lois de mouvement

II.4.2.Exemples de mouvements

II.4.3 Mouvements uniforme, accéléré et décéléré

II.4.4 Mouvement rectiligne

II.4.5 Mouvement rectiligne sinusoïdal

II.4.6Mouvements circulaires

II.5. Mouvement relatif : composition du mouvement

Travaux dirigés N°2

2 4 5 5 6 6 7 9 9 9 10 10 10 11 14 14 15 16 17 21 22
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Page 3

Chapitre III : dynamique du point matériel Introduction :

III.1 Généralité :

III.1.2 Référentiels absolu et Galiléen

III.1.2 Notion de masse

III.1.2 Notion de force

III.2 Vecteur quantité de mouvement

III.3 Lois de Newton :

III.3.1. 1ére loi de Newton, " Principe de l'inertie » : III.3.2. 2éme loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique du point III.3.3. 3éme loi de Newton : Principe des actions réciproques

III.4.Exemples de forces

III.4.1 Force à distance

III.4.2 Force de contacte

III.5 Théorème du moment cinétique :

III.5.1 Moment cinétique par rapport à un point

Travaux dirigés N°3

Corrigé du TD N°3 :

Chapitre IV : Travail et énergie du point matériel IV.1. Travail d'une force :

IV.2 Puissance d'une force:

IV.3. Energie cinétique :

IV.3.1 Théorème de l'énergie cinétique :

IV.4 Energie potentielle :

IV.4. 1. Energie potentielle et Forces conservatives

IV.5 Energie mécanique totale

IV.5.1.Théorème de l'énergie mécanique

Références

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TISSEMSILT 2018

Introduction :

Ce polycopie de cours et exercices de mécanique du point matériel est un moyen

pédagogique destiné aux étudiants de la première année sciences et technologie (ST) du

système LMD, il peut servir comme un support au cours dispensé aux étudiants. Ces cours qu'on assurait pendant 4 ans au centre universitaire de Tissemsilt, institut des sciences et de la technologie. Ce présent travail couvre les quatre chapitres du programme de la mécanique du point matériel : I- Rappels mathématiques: analyse dimensionnelle, vecteurs

II- Cinématique du point matériel.

III- Dynamique du point matériel.

IV-Travail et énergie du point matériel.

CHAPITRE I : Rappels mathématiques

Chapitre I : Rappels mathématiques

1- Analyse dimensionnelle

2- Calcul vectoriel

CHAPITRE I : Rappels mathématiques

Page 5

Chapitre I : Rappels mathématiques

I-1 Analyse dimensionnelle : I.1.1Grandeur physique :

On appelle grandeur physique, toute grandeur qui peut être mesurée , ou calculée à partir d'autres grandeurs dites grandeurs de base. Par exemple : on peut définir les deux grandeurs la distance et le temps en mesurant les deux, tandis que la vitesse se

calcule en divisant la distance parcourue par le temps de parcours, dans ce cas la distance et le temps sont des grandeurs de base, la vitesse est une grandeur dérivée. La plupart des grandeurs physiques découlent les une des autres ainsi que de quelques grandeurs de base. En fait les grandeurs de base utilisées en mécanique sont la masse, la longueur et le temps.

I.1.2 Système International d'Unités (SI):

Le système international (SI) est constitué de 7 unités de base (fondamentales) correspondant à 7 grandeurs physiques comme le résume le tableau suivant :

GRANDEUR UNITÉ SYMBOL E DE L'UNITÉ Longueur meter m Masse kilogram kg Temps second s Intensité de courant

electrique

Ampere A Intensité lumineuse candela cd Quantité de la matière mole mol Tableau I.1 : Gradeurs physique du (SI) I.1.2. Les multiples et les sous multiples

I.1.2.a- Les multiples :

Grandeurs de base en

mécanique

Langueur

Masse Temps CHAPITRE I : Rappels mathématiques

Page 6

10X 10+1 10+2 10+3 10+6 10+9 10+12 10+15 10+18

Préfixe deca hecto kilo mega géga téra péta exa

Symbole da h k M G T P E

I.1.2.b.- Les sous multiples :

10X 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

Préfixe deci centi milli micro nano pico femtto atto

Symbole d c m ȝ n p f a

Tableau I.2 :(a) Les multiples et (b) les sous multiples. c- Les unités dérivées :

Toutes les unités des grandeurs physiques (à l'exception de celles précitées) dérivent

des unités fondamentales cités ci-dessus. Exemple : Newton (1N = 1kg.m.s-2), Joule(J), Ohm(ȍ)... d- Les unités secondaires : En plus des unités fondamentales il existe des unités secondaires pour quelques grandeurs. Exemple : La température : degré Celsius (°C), volume : litre(l), pression : atmosphère(at), énergie :calorie(cal)... e- Une unité supplémentaire: L'unité officielle pour les angles plans est le Radian (rad). Elle constitue une unité supplémentaire aux sept unités citées ci-dessus.

I.1.3 Dimension d'une grandeur fondamentale:

Le mot dimension en physique indique la nature physique de la quantité. Exemple 1:

La distance a la dimension de la longueur notée L : [distance]= L. Grandeur G Symbole de la dimension [G]

Longueur L Masse M Temps T Température ș Intensité du courant

électrique I Intensité lumineuse Cd Quantité de la matière N Tableau I.3 : Symboles des dimensions fondamentales.

Exemple I.2 :

Le volume a la dimension de L3 : [V]= LLL=L3

La vitesse a la dimension de la (longueur / temps) : [v]= L/T= L.T-1 CHAPITRE I : Rappels mathématiques

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I.1.4 Les équations aux dimensions :

Définition :

Dans le cas général l'équation aux dimensions de la grandeur (G), est la suivante : [G]= MaLbT c Idșe Nf Jg Dans le domaine limité de la mécanique du point matériel, l'équation aux dimensions de la grandeur dérivée (G) est l'expression suivante : [G]=MaLbT c Avec M, L, T ...et J sont respectivement les symboles de la masse, de la longueur, temps... a, b, ... g des exposants caractérisent la grandeur dérivée G des nombres réels.

Remarques:

* Grandeurs adimensionnées ou sans dimension : touts les exposants sont nuls . ** les fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques ainsi que les constantes, et tout ce qui se trouve à l'intérieur de ces fonctions ont pour dimension la valeur1. [ex]=1, [Log x]=1, [4]=1, [sin x]=1, [ʌ]=1... Exemple I.3 : Déterminer l'équation aux dimensions de l'accélération et de la force ? Exprimer l'unité de chaque grandeur en SI (système internationale).

Réponse : l'accélération : tv

a t va 21

TLaTTLa, l'unité : ms-2

La force: maf2MLTf , l'unité : kgms-2

Exemple I.4 : Déterminer l'équation aux dimensions du travail et de l'énergie. Réponse : 222.TMLLMLTWdfW , l'unité : kgm2s-2 * L'analyse dimensionnelle permet de vérifier l'homogénéité d'une formule : Exemple I.5: Vérifier l'homogénéité de l'expression 2 21
atx , avec x est la distance, a est l'accélération et t est le temps.

Réponse :

LTLTatLx

222121

Donc l'expression est homogène .

** L'analyse dimensionnelle permet de passer d'un système d'unités à un autre : Exemple I.6 : Trouver l'équivalent de l'unité Joule en SI.

Réponse : JouleTMLLMLTEmvE1121

2222 (I.1)

(I.2) CHAPITRE I : Rappels mathématiques

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*** L'analyse dimensionnelle permet de déterminer la structure des lois physiques compatible avec les grandeurs décrivant le phénomène étudié ( longueur, vitesse, force, résistance électrique, champ électrique ...) Exemple I.7 : Exprimer par l'analyse dimensionnelle la période d'oscillation d'un pendule simple, sachant que les grandeurs physiques variables sont m, g, l

Réponse :

La période du pendule

glm 21
,21 ,02100

TLMTLMTLMTTavecTLM

l'expression possible est avec C=2ʌ g lC g l 2 CHAPITRE I : Rappels mathématiques

Page 9

I.2 Calcul vectoriel :

Les grandeurs physiques peuvent être de nature scalaire ou vectorielle.

I.2.1 Grandeur scalaire et grandeur vectorielle :

Pour spécifier une grandeur scalaire il suffit de préciser un nombre (et le plus

souvent une unité). Exemple: L'énergie, La température, la pression en un point, le potentiel,

la masse... Une grandeur vectorielle est définie par une direction, un sens, et une intensité

Exemple : la force, L'accélération, la vitesse ...

I.2.2 Représentation d'un vecteur :

La direction est la droite qui porte le vecteur : Elle est définie par l'angle mesuré entre le vecteur et l'axe des abscisses.

Le sens représente l'orientation origine-extrémité du vecteur et est symbolisé par une flèche.

L'intensité :(appelée également norme ou module) représente la valeur de la grandeur mesurée par le vecteur. Graphiquement elle correspond à la longueur du vecteur (Figure I.1) Le point d'application est le point qui sert d'origine à la représentation du vecteurܸ

I.2.3Proprietés des vecteurs :

a-Vecteur libre : Un vecteur libre si son point d'application n'est pas fixe. (figure I.2 .a). b-Vecteur glissant : Un vecteur est nommé "vecteur glissant" si l'on impose sa droite support (Ǽ) sans fixer son point d'application. (figure I.2 .b).

c-Vecteur lié :Un vecteur AB est appelé "vecteur lié" si l'on fixe son origineA(figure I.2 .c).

Figure I.2 : a-Vecteur libre, b-Vecteur glissant et c-Vecteur lié

A L'extrémité du vecteur B

L'origine du vecteur A

abAB CHAPITRE I : Rappels mathématiques

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I.2.4-Vecteur unitaire:

vecteur unitaire sous la forme :

Ԧ= Vecteur unitaire suivant (Ox)

ଌԦ= Vecteur unitaire suivant (Oy) Pour repérer un point M dans l'espace on utilise le repère cartésien orthonormé tridimensionnel (figure I.5) composé de trois axes, Ox, Oy et Oz, mené d'une base

I.2.5.Composantes d'un vecteur :

I.2.5.b Dans l'espace (En 3D) : La position d'un point M dans l'espace est caractérisée par le OM projection sur le plan ( O, x, y ).

Coordonnées de M(x, y, z)

Composantes de

z yx OM

Ԧ Y Z

O X Z X B Y j OM x i k y M M z O

Fig I.4: Composantes d'un vecteur en 3 D

CHAPITRE I : Rappels mathématiques

Page 11

Remarque :

Etant donné trois points A(xA, yA, zA), B (xB, yB, zB) et C(xC, yC, zC) : *Les composantes de vecteur AB sont :

ABABAB

zzyyxx AB

Le module est : 222)()()(ABABABzzyyxxAB

Cas particulier : Si les trois points A, B et C sont alignés sur un axe, alors nous obtenons la relation de Chasles pour les mesures algébriques :

I.2.5.b. Dans le plan : (O,X,Y)

OM

Fig I.5: Composantes d'un vecteur dans le plan.

La norme du vecteur est donnée par la relation suivante : La direction du vecteur est donnée par la relation suivante : tanș=௬ ௫ (I.9)

Les coordonnées x et y du vecteur sont liées à sa norme et à sa direction par les relations

suivantes : ൜ݔ= OM cos ߠ

ݕ= OM sin ߠ

I.2.6-Opérations sur les vecteurs

I.2.6a.La somme des vecteurs :

X x y O M CHAPITRE I : Rappels mathématiques

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Cas particulier : Si ș = ʌ/2

Le tableau I.5 résume les différentes méthodes pour calculer le vecteur résultant R

La loi des cosinus

Règle du parallélogramme Somme des composantes En 2D R

La diagonal du parallélogramme

Y X

Tableau I.5 : La somme de deux vecteurs.

Lorsque le nombre de vecteurs à additionner est supérieur à deux on applique la

méthode géométrique qui consiste à les placer bout à bout comme indiqué sur la figure I.5.

Figure I.5 : Somme de plusieurs vecteurs.

Remarque : L'addition des vecteurs est commutative et distributive. ** Distributivité : cos.22abbaR(I.12) ɲ ɴ sinsinsinbaRx axby ay b yyyxxx CHAPITRE I : Rappels mathématiques

Page 13

Exercice d'application:

1-Trouver la résultante Rdes quatre forces appliqués

au point O Fig ci-contre

2- En déduire la norme, la direction et le sens

de la résultante. x Ԧ + Ry ଌԦ Vecteur Composante X Composante Y

80 80 0

100 100 cos 45º 100 sin 45º

110 -110 cos 30º 110 sin 30º

+) 160 -160 cos 20º -160 sin 20º

R Rx = 94 Ry = 71

R = 22

yxRR = 22)71()94( = 118N tan ȟ= Ry / Rx

ȟ= -37ºor 143º (0º ȟ 360º)

ȟ= 143º , parce que le vecteur R appartient au deuxième quadrant)

I.2.6.b-La Soustraction des vecteurs :

On peut alors appliquer la règle du parallélogramme (figure I.6)

Figure I.6 : La Soustraction de 2 vecteurs. 100 N

80 N 110 N

160 N Y

X 45°

30°

CHAPITRE I : Rappels mathématiques

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I.2.7.Produit scalaire :

(aigu)

ч ș (obtus)

Condition d'orthogonalité de deux vecteurs .

Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit du module de l'un par la mesure algébrique de la projection de l'autre sur sa droite support. Ce produit représente la

I.2.7.2Forme analytique du produit scalaire :

Soient les deux vecteurs

1 11 1 zyx V et 2 22
2 zyx V dans la base orthonormée directe (i , j , k) , le produit scalaire de ces deux vecteurs est le scalaire défini par la relation :

21212121.zzyyxxVV (I.15)

I.2.7.3Propriétés :

Linéarité : (ߙ

I.2.8. Produit vectoriel :

I.2.8.Définition :

Figure I.7

ac CHAPITRE I : Rappels mathématiques

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