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Notesdecours
PROGRAMMATION
DYNAMIQUE
GuillaumeCARLIER
Ann ee2007 2 cours. 3Tabledesmatieres
IProgrammationdynamiqueentempsdiscret6
1Introductionetexemples7
2Horizonni11
3Horizoninni16
IIProgrammationdynamiqueentempscontinu24
4CalculdesVariations25
5Introductionaucontr^oleoptimal33
4IIIProblemesetexercices40
5Premierepartie
Programmationdynamiqueen
tempsdiscret 6Chapitre1
Introductionetexemples
1.1Introduction
dutype: sup (xt)( T1X t=0V t(xt;xt+1)+VT(xT)) (1.1) sup(:)=inf(:). dutype: sup (xt)( 1X t=0 tV(xt;xt+1)) (1.2) unfacteurd'escompte. 7RichardBellman.
consideronsdoncquelquesexemples.1.2Unproblemedepluscourtchemin
C optimalentreMetE.V(D)=5;V(D0)=2
dynamiquedonneeneet: 8Reiterantl'argument,ilvient:
V(B)=min(2+V(C);1+V(C0))=1+V(C0)=4;
V(B0)=min(2+V(C0);4+V(C00))=5
etennV(A)=min(1+V(B);1+V(B0))=1+V(B)=5:
ABC0D0E.
mique, passerparC0D0E.1.3Croissanceoptimaleaunsecteur
9 c t+it=yt=F(kt);etkt+1=(1)kt+it d'oul'ontire(enposantf(k):=F(k)+(1)k): c t=f(kt)kt+1:0kt+1f(kt):
1X t=0 tu(ct):Enfonctionducapitalceproblemedevient:
sup( 1X t=0 tu(f(kt)kt+1))1.4Unproblemed'exploitationforestiere
parladynamique: x t+1=H(xt)vt: 1X t=0 t[vtC(vt)]: sup( 1X t=0 t[H(xt)xt+1C(H(xt)xt+1)) 10Chapitre2
Horizonni
2.1Notationsetremarquespreliminaires
tempsdiscretetenhorizonni: sup (xt)( T1X t=0V t(xt;xt+1)+VT(xT)) (2.1) noussuposeronsiciqueVT=0. cheminduparagraphe1.2. graph( t):=f(x;y)2AA:y2t(x)g: i.e.t(x)6=;pourtoutx2A. 11 suitdefaireceshypothesesdecompacite.2.2Principedelaprogrammationdynamique
donc: v(0;x):=supnPT1 t=0Vt(xt;xt+1):xt+12t(xt),x0=xo v(1;x):=supnPT1 t=1Vt(xt;xt+1):xt+12t(xt),x1=xo v(T1;x):=supfVT1(x;xT):xT2T1(x)g: etennv(T;x)=VT(x)=0. contraintesduprobleme)et v(0;x):=T1X t=0V t(xt;xt+1): estsolutionduproblemev(;x).Preuve.Pardenitionona:
v(0;x):=T1X t=0V t(xt;xt+1):(2.2) 12 admissiblepourleproblemev(;x)telleque: T1X t=V t(xt;xt+1)Dem^emepourt2f1;:::;T1g:
missiblepourv(0;x)ilvient: v(0;x)V0(x;y)+T1X t=1V t(yt;yt+1) dedroiteilvient: v(0;x)supfV0(x;y)+v(1;y):y20(x)g: 13 v(0;x)"T1X t=0V t(xt;xt+1)Onaainsi:
T1X t=0V t(xt;xt+1)v(0;x)"Comme">0estarbitraireonendeduit(2.3).
oncalculed'abordv(T1;:): v(T1;x)=supfVT1(x;y):y2T1(x)g puisv(T2;:): v(T2;x)=supfVT2(x;y)+v(T1;y):y2T2(x)g etainsidesuitejusqu'av(0;:). mentsipourt=0;::;T1,xt+1estsolutionde: sup y2t(xt)fVt(xt;y)+v(t+1;y)g(2.5) 14 (2.3). 15Chapitre3
Horizoninni
comptedutype: v(x):=sup( 1X t=0 tV(xt;xt+1):x0=x,xt2A,xt+12(xt)8t0) (3.1)Bellman:
w(x)=sup y2(x)fV(x;y)+w(y)g(3.2)3.1Notationsethypotheses
16 suitesadmissiblesissuesdex: pose: u(ex):=1X t=0 tV(xt;xt+1): ANdoncaussisurAdm(x).
ditque: x y nadmetunevaleurd'adherencedansF(x). tellequeynconvergeversydansY. enchaquepointdeX. revientsimplementadirequesongraphe: graph(F):=f(x;y):x2X,y2F(x)g d'avoirenmemoirelesexemplessuivants: 17LacorrespondanceFdeRdansRdeniepar:
F(x)=8
:0six<0 [0;1]six=01six>0
esth.c.s.maispash.c.i.en0.LacorrespondanceGdeRdansRdeniepar:
G(x)=0six0
[1;1]six>0 estquantaelleh.c.i.maispash.c.s.en0. nuedeAdansA.3.2Existencedesolutions
d1(u;v):=1X
t=012td(ut;vt):
corollairedutheoremedeTychonov)suivant:Proposition3.1(A1;d1)estcompact.
tconvergeversxtdans etque(exn t;exn nalementqueAdm(x)estferme. 18Lemme3.2uestcontinuesur(A1;d1).
compact,ilexiste2Ntelque maxAAjVj1X
t= t"4(3.4)
t1onait: d(xt;y)+d(xt+1;z)0)jV(xt;xt+1)V(y;z)j"2(3.5)
ju(ex)u(ey)j",cequiachevelapreuve. que:v(x)=u(ex).3.3Fonctionvaleur,equationdeBellman
par: v(x):=supfu(ex):ex2Adm(x)g:(3.6) tiondel'equationdeBellman:Proposition3.2Soitx2A,ona:
solutionduproblemev(x),2.v(:)estsolutiondel'equationdeBellman:
v(x)=sup y2(x)fV(x;y)+v(y)g:(3.7) 193.4TheoremesdeBergeetdeBlackwell
deB(A).Pourf2B(A)etx2Aondenit:Tf(x):=sup
y2(x)fV(x;y)+f(y)g:(3.8) xedeT. proprietes: )Hf(x)Hg(x),8x2A,B(A)onaitH(f+a)Hf+a,
alors,HestunecontractiondeB(A)derapport. hypothesessurHimpliquent:HfH(g+kfgk1)Hg+kfgk1
kHfHgk1kfgk1: deduitimmediatement: 20 limiteuniformedelasuitedesitereesTnf. lepointxedeTestunefonctioncontinue. xedeT(dansB(A))estvonadoncv2C0(A;R). avecletheoremedeBergeci-dessous!Pourtoutx2Xsoit:
h.c.s.. compactnonvidepourtoutx2X. 21extraite(xnj;znj)veriant lim jf(xnj;znj)=limsup nf(xn;zn)=limsup ng(xn): f,ona: limsup ng(xn)=limjf(xnj;znj)=f(x;z)g(x): y liminfng(xn)liminff(xn;yn)=f(x;y)=g(x):
Onadoncetablilacontinuitedeg.
fastidieux).3.5Retourauxpolitiquesoptimales
problemestatique: maxy2(xt)fV(xt;y)+v(y)g:M(x):=fy2(x):v(x)=V(x;y)+v(y)g:
22cettecorrespondance. d'utilitelogarithmique. 23
Deuxiemepartie
Programmationdynamiqueen
tempscontinu 24Chapitre4
CalculdesVariations
criteredutype:J(x)=Z
T 0L(t;x(t);_x(t))dt+g(x(T))+f(x(0))
tivementf2C0(Rn;R)). sup ZT 0 254.1Existenceetnon-existence
infJ(x):=Z 1 0 [(_x(t)21)2+x2(t)]dt:x(0)=x(1)=0:(4.1) evidemmentimpossible.4.2Equationd'Euler-Lagrangeetconditions
detransversaliteConsideronsleprobleme:
sup x2C1([0;T];Rn)J(x)=Z T 0L(t;x(t);_x(t))dt+g(x(T))+f(x(0))(4.2)
26L vi,Lxilesderiveespartielles@L @viet@L@vietrvLetrxLlesgradientspartiels (Lx1;:::;Lxn)0). a d
2.xverielesconditionsdetransversalite:
r (4.4) (4.4)alorsxestsolutionde(4.2).Preuve.
Pourh2C1([0;T];Rn)onad'abord:
lim t!0+1 t[J(x+th)J(x)]0:(4.5) Z T 0 +g0(x(T)):h(T)+f0(x(0)):h(0)(4.6) h2C1([0;T];Rn)ona: Z T 0 +g0(x(T)):h(T)+f0(x(0)):h(0)=0(4.7) Soit Equotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] dynamique du point matériel dans un référentiel galiléen exercices
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