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Séries de Fourier

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1. Espaces de fonctions2-périodiques

Les espaces de Hilbert abstraits peuvent se réaliser concrètement dans de nombreuses

situations où ils permettent de résoudre des équations aux dérivées partielles en un certain

sens. Mais la première réalisation historique et naturelle des espaces de Hilbert provient des séries de Fourier.

1.1. Fonctions sur le cercle unité (ou tore unidimensionnel).On note parfoisC0(T)

l"espace des fonctionsf:R!Cqui sont continues et2-périodiques : f(+ 2k) =f()(82R;8k2Z): Pourquoi la lettreT? Parce qu"elle est l"initiale du mot "

Tore» (de dimension un), et qu"un

tore de dimensionkest par définition homéomorphe1au produit topologique(S1)kTk dekcopies du cercleS1T. Grâce à la2-périodicité defqui prend des valeurs bien définies sur le quotient : R2Z; on peut en effet considérer que la donnée deféquivaut à la donnée d"une fonction : e fei:=f() qui est en fait vraiment définie sur le cercle unité (tore unidimensionnel) :

TS1=ei2C:2R:

Le résultat de ces considérations préliminaires, c"est qu"il revient au même de consi- dérer des fonctions continues efqui sont définies sur le cercle unité, et des fonctions2-

périodiques définies surRtout entier. En vérité, il s"avère plus pratique de travailler avec

met de modifier aisément les bornes d"intégration dans toutes les intégrales (nombreuses) que nous rencontrerons, comme par exemple :Z f()d=Z a+2 a f()d; pour touta2R, identité que nous vérifions à l"instant comme suit. Soitkl"entier unique tel quea62k < a+ 2. L"intégrale de droite se découpe alors en :Za+2 a =Z 2k a +Z a+2 2k;

1. Pourk= 2, on retrouve le tore2-dimensionnelT2S1S1qui est homéomorphe à la partie en

caoutchouc d"une chambre à air gonflée (grand cercle de la rouepetit cercle d"une section orthogonale à la

jante). 1

2FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

mais commefest2-périodique, lorsqu"on remplacepar2(k1)dans la pre- mière intégrale etpar2kdans la seconde, l"intégrande reste inchangé et les bornes d"intégration pour les deux morceaux se recollent : Z a+2 a f()d=Z 2 a2(k1)f()d+Z a+22k 0 f()d Z a 0 f()d: Ainsi, intégrer de0à2, c"est la même chose que d"intégrer sur n"importe quel segment [a;a+ 2]de longueur2, car tout revient à intégrer sur le cercleS1tout entier.Nous travaillerons donc avec des fonctions2-périodiques surRen nous souvenant toujours que le cercleS1est le vrai domaine d"existence (compact ) de ces fonctions.

1.2. Espaces fonctionnels.On peut alors munir l"espaceC0(T)des fonctions continues

2-périodiquesf:R!Cde la norme de la convergence uniforme :

jjfjjC0:=max

2[0;2]jf()j=max2Rjf()j:

Une seconde illustration du fait que la2-périodicité ramène toute telle fonctionfà la fonction ef(ei) :=f()définie sur le cercle unité est la suivante.

Lemme 1.3.

Toute fonction2-périodiquef2C0(T)est uniformément continue surR.

Démonstration.

Il est connu que toute fonction continuef:X!Cdéfinie sur un espace métrique compact(X;d)est automatiquement uniformément continue. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier soigneusement que le lemme en découle. Au-delà des espaces de fonctions continues, il y a les espaces de fonctionsintégrables

sur le cercle. Rappelons que ces fonctions sont définies à un ensemble de mesure nulle près,

et qu"en toute rigueur, une fonction dansL1(T)de module intégrable sur le cercle est une classe d"équivalencede fonctions définies à un ensemble de mesure nulle près, ce qui ne change pas la valeur de l"intégrale. Dans la suite de ce cours, nous ne nous embarasserons pas avec la distinction entre classes d"équivalences et représentants d"une classe, et nous travaillerons avec les fonctionsL1comme si elles possédaient une valeur bien définie en tout point.

Définition 1.4.

[Espaces de fonctions sommables]Pour tout réelpavec16p<+1, on définit l"espaceLp(T)comme l"espace des fonctions mesurablesf:R!Cqui sont

2-périodiques :

f(+ 2k) =f()pourd-presque tout2R et dont l"intégrale du module puissancepconverge :Z jf()jpd 2<1: On peut alors vérifier que l"on a, comme pour toute fonction continue : Z jf()jpd 2=Z a+ ajf()jpd 2;

2.Coefficients de Fourier de fonctionsf2L1([;])ouf2L2([;])3

pour toutaquelconque dansR. De plus l"inégalité de Minkowski nous assure queLp(T), muni de la norme naturelle : jjfjjLp:= Z jf(t)jpdt 2 1=p

est un espace vectoriel normé, complet qui plus est grâce à un théorème dû à Riesz.

Qu"obtient-on lorsquep= +1? On sait vérifier par un exercice que : lim p!1 Zb a jg(t)j 1=p =sup x2[a;b]jg(x)j; pour toute fonction mesurable bornéeg2L1([a;b]), et donc il est naturel d"introduire aussi l"espace des fonctions (essentiellement) bornées sur le tore : L

1(T) :=n

fmesurable2-périodique:jjfjjL1:=sup

2Rjf()j<1o

où le "sup» est bien entendu pris à un ensemble de mesure nulle près. La norme pour les fonctionsL1(T)est donc la même que pour les fonctionsC0(T), mais avec la clause du "presque partout». Alors ces espaces sont emboîtés les uns dans les autres, l"espaceL1(T)des fonctions simplement intégrables étant le plus grand d"entre eux, et l"espaceL2(T)se trouvant en quelque sorte "au milieu de tous».

Proposition 1.5.

[Hiérarchie d"espaces fonctionnels sur le cercle]Pour tous entierspet qtels que16pDémonstration. Vérifions seulement ici queC0(T)etL1(T)s"injectent topologiquement dansL2(T), ou même plus généralement dansLp(T). En effet, on peut majorer trivialement toute intégrale d"une fonction par l"intégrale de son "sup», ce qui donne ici : Z jf()jpd 2 1=p 6 sup

2[0;2]jf()jp1=p

=sup

2[0;2]jf()j:

puisque la mesure d

2est de probabilité :R2

0d 2= 1.

4FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

2. Coefficients de Fourier de fonctionsf2L1([;])ouf2L2([;])

À partir de 1802, Joseph Fourier conduit des expériences sur la propagation de la cha- leur dans les corps solides, et ces expériences lui permettront d"en donner un modèle de

physique mathématique fondé sur la représentation des solutions en séries de fonctions tri-

gonométriquessinkxetcoskx. Aujourd"hui, les séries Fourier et les transformées de Fou-

rier jouent un rôle omniprésent en analyse, en arithmétique et aussi pour la transmission de

tous les signaux de télécommunications.

On notera parfois dans la suite pour abréger :

e n:=ein(2R) la famille des fonctionsR!Cexponentielles complexes de pulsation un entiern2Zpo- sitif ou négatif quelconque. Ce sont les fonctions-modèles2-périodiques avec lesquelles nous allons travailler. Rappelons que la mesure de Lebesgue renormalisée : d 2 est une mesurede probabilitésurR=2ZS1, puisque2est (par définition depuis

l"Antiquité pré-hellénique) la circonférence du cercleS1de rayon1. Entre les fonctions de

carré intégrable sur le cercle, on a bien entendu un produit scalaire naturel : hf; giL2:=Z f() g()d 2 qui satisfait l"inégalité de Cauchy-Schwarz : hf; giL26jjfjjL2jjgjjL2:

Lemme 2.1.

La famille de toutes les fonctions exponentielles-modèles(en)n2Z= (ein)n2Z est une famille orthonormée deL2(T), à savoir : hen1; en2iL2=Z ein1 e in2d

2=n1;n2:

Démonstration.

En effet, sin16=n2, la fonctionei(n1n2)admet la primitiveei(n1n2) i(n1n2), et l"intégrale s"annule par2-périodicité : ei(n1n2) i(n1n2) 2 0 = 0:

Et lorsquen2=n1, on a bienR2

01d 2= 1. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que la famille de fonctionsréelles f1g [ fp

2cos(k)gk>1[ fp

2sin(k)gk>1

est elle aussi orthonormée sur le cercle. La définition qui suit est formulée pour les fonctions dansL1(T)qui sont les plus nom- breuses dans notre échelle topologique (1.6) ci-dessus.

2.Coefficients de Fourier de fonctionsf2L1([;])ouf2L2([;])5

Définition 2.2.

Étant donné une fonction2-périodique intégrablef2L1(T)quelconque, on appellek-ème coefficient de Fourier defle nombre complexe : b f(k) :=Z f()eikd 2; l"intégrale étant convergente : j bf(k)=Z f()eikd 2 6 Z f()eik {z 1d 2

6jjfjjL1:

Les progrès les plus importants de la théorie des séries trigonométriques ont été réali-

sés dès la première moitié du vingtième siècle et ont été impulsés grâce au développement

considérable de la théorie des fonctions d"une variable réelle, en particulier grâce à la po-

pularisation de l"intégrale de Lebesgue. En fait, il existe des fonctions intégrables au sens de Lebesgue qui ne le sont pas au sens de Riemann et dont la série de Fourier converge

partout vers la fonction, ce qui montre l"intérêt qu"il y a à mettre la notion d"intégrale de

Lebesgue au fondement de la théorie des séries de Fourier.

Réinterprétation 2.3.

Lorsquef2L2(T), tout coefficient de Fourier s"interprète aussi comme étant leproduit scalairedefavec l"exponentielle-modèle correspondante : b f(k) =Z f() e ikd

2=hf;eki:

Il est important de remarquer que les coefficients de Fourier existentpour toute fonc- tionf2L1(T)appartenant au plus gros des espaces de la hiérarchie topologique(1), donc aussi pour tous les autres espaces fonctionnelsLp(T),L2(T),L1(T),C0(T),C1(T) contenus en lui. Or cet espaceL1des fonctions intégrables au sens de Lebesgue contient énormément de fonctions, et c"est la raison pour laquelle il est à l"origine de certaines pathologies qui ont beaucoup troublé de nombreux mathématiciens.

Définition 2.4.

À toute fonctionf2L1(T), on associe sa

série de Fourierqui est la somme infinie purement formelle, peut-être non convergente, et au sujet de laquelle on ne dit rien pour l"instant :X k2Zb f(k)eik: Lorsquef2L2(T), la série de Fourier defs"écrit aussi :X k2Zhf;ekiek comme la somme de ses projections orthogonaleshf;ekieksur toutes les exponentielles- modèlesek. Dans les travaux originaux de Fourier, la série de Fourier est définie, de manière alter- native, en termes purement réels comme : a 0 2 +1X k=1 akcos(k) +bksin(k);

6FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

où les coefficientsa0,ak,bks"expriment sous la forme des intégrales suivantes : a 0:=1 Z f()d;ak b k:=1 Z f()cos sin(k)d(k=1;2;3;:::): Nous privilégierons toujours le formalisme en termes des exponentielleseik, et nous lais- sons au lecteur le soin de se convaincre que ces deux types de formules pour les coefficients de Fourier et pour la série de Fourier sont en fait équivalentes.

Question principale sur les séries de Fourier.

Étant donné une fonction raisonnablef()

définie sur le cercle, est-ce que sa série de Fourier permet de la reconstituer, au sens oùf

serait la limite : f() =limn!1Sn(f)() des sommes partielles de sa série de Fourier, définies par :

Sn(f)() :=k=+nX

k=nb f(k)eik Puisque cette question, particulièrement difficile, est riche d"une très longue histoire, nous allons nous appesantir un peu sur elle avant de revenir aux espaces de Hilbert dans lesquels beaucoup de difficultés s"estomperont.

3. Brève histoire dialectique des séries de Fourier

Afin d"attiser l"appétit de connaissances mathématiques, ouvrons ici une parenthèse his- torique et spéculative 2. En 1753, Euler a observé que les travaux de Bernoulli sur les mouvements d"une corde

fixée à ses extrémités semblaient impliquer que toute fonction se développe en série infinie

de sinus et de cosinus. À cette époque, les courbes étaient classifiées commecontinues

être tracées à la main.

Joseph Fourier affirmait au début du 19

èmesiècle, en se basant sur des arguments de na- ture physique que toute fonction continuefsur le cercle pouvait être reconstituée comme

étant égale à la série infinieP

k2Zbf(k)eik. Plus précisément, Fourier était essentielle- ment persuadé que toute fonction2-périodique "raisonnable», ou du moins issue de la

physique, devrait être développable en série trigonométrique infinie, c"est-à-dire que l"on

aurait : f() =limn!1k=+nX k=nb f(k)eik; pour tout2R.

2. Il est clair que dans ce cours de niveau L3 dont l"horaire est limité par un arbitrage hiérarchique

désincarné, à une vingtaine d"heures, nous sommes dans l"incapacité d"aborder en détail les considérations

passionnantes qui vont suivre. Soyez donc curieux, non seulement sur Internet, mais surtout en étudiant de

vrais livres écrits par des professeurs spécialistes. Lisez! Vous deviendrez intelligents! En particulier, il existe

un livre historique excellent, par Kahane et Lemarié-Rieusset,Séries de Fourier et ondelettes, Cassini, Paris,

1998, xiv+577 pp. Jean-Pierre Kahane, professeur émérite de l"Université Paris-Sud, Membre de l"Académie

des Sciences, est l"un des meilleurs spécialistes mondial de ces questions.

3.Brève histoire dialectique des séries de Fourier7

Toutefois, de nombreux "troubles dialectiques» se sont interposés sur le chemin des mathématiciensà traversl"histoire,et leschosesse sontavéréesne jamaisêtreaussisimples que l"on aurait bien voulu le croire au premier abord. Pour cette raison, nous allons évoquer

partiellement la complexité des réponses qui ont pu leur être apportées à travers l"histoire.

Il fallut attendre 1829 pour que le mathématicien allemand Peter Lejeune-Dirichlet dé-

montre un premier théorème véritablement général et rigoureux de convergence, sous l"hy-

pothèse que la fonctionfne possède qu"un nombre fini de minima et de maxima sur le cercle

3. La question pour les fonctions qui sont seulement continues est restée ouverte très

longtemps, étant donné que l"approfondissement du concept général de continuité a fait

découvrir à Weierstrass (1861) des fonctions qui ne possèdent de dérivées enaucunpoint4.

La vérité, que ne soupçonnait guère Fourier puisqu"il pensait en termes eulériens aux fonctions analytiques sauf éventuellement en un nombre fini de points de discontinuité, c"est que le concept général de fonction continue au sens de la définition weirstrassienne ""-» cache une ontologie extrêmement riche et difficile à étudier. Toujours est-il qu"il fallut attendre 1876 pour qu"un autre mathématicien allemand, du Bois Reymond, construise une fonction continue dont la série de Fourier diverge (tend vers l"infini) en un point. En modifiant et en adaptant cet exemple, on peut construire des exemples un peu plus pathologiques de fonctions continues dont la série de Fourier diverge en un nombre fini, voire infini dénombrable, de points sur le cercle. Au final, en 1923, Kolomogorov a produit un exemple de fonction intégrable au sens de Lebesgue,i.e.appartenant àL1(T), dont la série de Fourier diverge presque partout sur le cercleT, et en 1926, il améliore ce contre-exemple, de telle sorte que la série de Fourier diverge entoutpoint deT. Entretemps, Lusin avait conjecturé en 1913 que la série de Fourier des fonctionsL2sur le cercle converge presque partout vers la fonction. Ainsi Kolomogorov semblait détruire totalement les croyances "mystiques» de Lusin. En fait, c"était certainement la structure harmonieuse d"espace Hilbert dont jouitL2(T)qui avait insufflé à Lusin cette idée-là. Après de nombreuses tentatives inabouties de pousser les techniques de Kolmogorov à s"appliquer à certaines fonctions pathologiques du sous-espaceL2(T)L1(T), ce fut une

surprise fort surprenante lorsque le mathématicien suédois Carleson (récent récipiendaire

du Prix Abel) établit en 1966, après sept années de recherches arides, acharnées et opposées

aux croyances partagées, la véracité de la conjecture de Lusin :Pour toute fonctionf2 L

2(T), on a :

f() =limn!1k=+nX k=nb f(k)eik; pour presque tout2T=R=2Z.

3. Le théorème qu"on appelle aujourd"hui "de Dirichlet» est en fait un résultat différent, plus faible en

quelque sorte, puisqu"il suppose que la fonction est de classeC1par morceaux, alors que le théorème original

de Dirichlet admet éventuellement une infinité dénombrable de points de discontinuité.

4. Soit la fonction :

F(x) :=1X

n=0b ncosanx;

oùjbj<1pour assurer la convergence uniforme, donc la continuité, mais oùaest un entier impair tel que

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