[PDF] Traitement du signal 2.3. Signaux stables et/

View - Download Traitement du signal

Previous PDF

Next PDF

Traitement du signal

Matthieu Kowalski

1.Introduction générale

trique : c"est une grandeur physiquement mesurable par un capteur, pouvant va- rier avec le temps. Ce terme désigne aujourd"hui une grande variété de signaux physiques rencontrés, comme les signaux de paroles ou de musiques, les signaux radars ou bien les images et les vidéos. Un signal aura donc souvent la dimen- sion d"un temps (par exemple, un signal de parole est la mesure de la variation de la pression au cours du temps), mais aura de façon générale une dimension vectorielle (1D pour le temps, 2D pour les images - chaque dimension étant les coordonnées d"un point lumineux - 3D pour la vidéos etc.). Ce cours se limitera aux signaux temporels. Si les signaux analogiques, mathé- matiquement par une fonctionx:R!C,x7!x(t), sont abordés, une place im- x:Z!C,t7!x[t]AExt. La représentation spectrale d"un signal, qui correspond à son contenu fréquentiel (penser à de la musique!) y tient une place particulière, et l"analyse de Fourier en est l"outil principal. La notion de filtre y est aussi largement abordé, les filtres étant un moyen d"agir directement sur le contenu spectral d"un signal. On verra les conditions pour pouvoir réaliser un filtre donner, et comment les approcher numériquement. La modélisation aléatoire des signaux y est abordée sous l"angle numérique uni- quement. Le contexte numérique permet de se raccrocher facilement aux cadre des suites de variables aléatoires (discrètes ou contenues). Enfin, le cours se termine sur des outils d"analyses modernes du traitement du signal avec l"analyse temps-fréquence et l"analyse temps-échelle. On voit com- ment construire des bases Hilbertiennes exploitant ces propriétés, qui ont permis la naissance des codeurs performant tels que MP3 et JPEG-2000. Enfin, on conclut en abrodant le problème de la synthèse parcimonieuse des signaux à l"aide de dic- tionnaire (construit sur les approches temps-fréquence ou temps-échelle), qui est aujourd"hui l"état de l"art pour aborder les problèmes inverses. 7

2.Traitement du signal

analogique 2.1

Signaux p ériodiques

Les séries de Fourier ont été introduites par Jean-Baptiste Fourier (dit Joseph Fourier) en 1822, dans son ouvrageThéorie analytique de la chaleur: il propose de modéliser l"évolution de la température par des séries trigonométriques. ll énonce qu"une fonction peut être décomposée sous forme de série trigonométrique, et qu"ilestfaciledeprouver laconvergencedecelle-ci. Il juge même toute hypothèse de continuité inutile!

est le signal sinusoïdales(t)AEsin(t) représenté la figure 2.1.-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Time (s)-1.5-1-0.500.511.5FIGURE2.1. -F onctions inus. Ces signaux ne sont pas physiquement réalisables car à temps infini. Cepen- des signaux rencontrés. Un exemple parlant est celui d"une note de musique (par exemple, une note de piano), qui peut être vue comme une somme de sinusoïdes qui oscillent à différentes fréquences (cf. figure 2.1) Dans la suite, sauf mention contraire, on considère des fonctions de l"espace de HilbertL2([0,T]), c"est à dire les fonctions de carré intégrable sur [0,T] de période 9

2. Traitement du signal analogique0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

Time (s)-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5FIGURE2.2. -Z oomsurunepartied"unenotedepiano.Cettepartieoscillantepeut

être vu comme une somme de sinusoïdes qui oscillent à différentes fréquences T. Le produit scalaire associé est défini, pour toutf,g2L2([0,T]) par hf,giAE1T Z T 0 f(t)¯g(t)dt, et la norme induite est donc hf,giAEµ1T Z T 0 1/2 Schwartz, donc les fonctions considérées sont intégrables sur une période. 2.1.1

Co efficientsde F ourieret séries de F ourierThèorème 2.1( Basedes fonct ionspér iodiques)

La famille des fonctions trigonométriques {t!ei2¼T ntAEen(t)}n2Zest une base orthonormée deL2([0,T]). Par conséquence, pourf2L2([0,T]), la coordonnée defselon le n-ième vec- teur de base se calcule par produit scalaire entrefeten. Ces coordonnées sont appelées coefficients de Fourier complexes.Définition 2.1( Coefficientsde F ourierc omplexes) c n(f)AE1T Z T 0 f(t)e¡i2¼T ntdt8n2Z.Proposition 2.1( Quelquespr opriétésutile s)

Soitf,g2L2([0,T]). Alors

1.cn(fÅg)AEcn(f)Åcn(g)

10

2.1. Signaux périodiques

2.cn(¯f)AEc

¡n(f)

3.

S oitg:t7!f(¡t), alorscn(g)AEc¡n(f)

4.

S oita2Retfa:t7!f(t¡a), alorscn(fa)AEei2¼T

nacn(f) 5. S ifestkfois dérivable, alorscn(f(k))AE¡i2¼T n¢kcn(f) Démonstration.La majorité des preuves se font en utilisant les propriétés clas- siques de l"intégrales et par changement de variable. 1. C onséquencede la li néaritéd el "intégrale 2.c

¡n(f)AE1

T Z T 0 f(t)ei2¼T ntdt AE 1T Z T

0¯f(t)e¡i2¼T

ntdt

AEcn(¯f)

3. c n(g)AE1T Z T 0 g(t)e¡i2¼T ntdt AE 1T Z T 0 f(¡t)e¡i2¼T ntdt

AE¡

1T Z ¡T 0 f(u)ei2¼T nudu(uAE¡t) AE 1T Z 0

¡Tf(t)ei2¼T

ntdt

AEc¡n(f)

4. c n(g)AE1T Z T 0 g(t)e¡i2¼T ntdt AE 1T Z T 0 f(t¡a)e¡i2¼T ntdt AE 1T Z

T¡a

¡af(u)e¡i2¼T

n(uÅa)du(uAEt¡a) AE e¡i2¼T naT Z T 0 f(t)ei2¼T ntdt

AEe¡i2¼T

nacn(f) 11

2. Traitement du signal analogique

5.

O ncommen cepa rc alculercn(f0) :

c n(f0)AE1T Z T 0 f0(t)e¡i2¼T ntdt AE 1T h f(t)e¡i2¼T ntiT

0Åi2¼T

nT Z T 0 f(t)e¡i2¼T ntdt(I.P.P.)

AEi2¼T

ncn(f)

La généralisation se fait par une récurrence immédiate.On définit les séries de Fourier à partir de ces coefficients.

Définition 2.2

( Séried eF ourier) On appelle série de Fourier def2L2([0,T]), notéeS(f) la série

S(f)(t)AEÅ1X

nAE¡1c n(f)ei2¼T nt. Immédiatement, la famille des {en}n2Zétant une base orthonormée, l"analyse hilbertienne nous donne le résultat de convergence suivant lim

N!Å1°

°°°°f¡NX

nAE¡Nc n(f)en°

°°°°AE0

et la conservation de l"énergie :Thèorème 2.2( Plancherel-Parseval) Soitf2L2([0,T]) et {cn(f)}n2Zses coefficients de Fourier. Alors kfk2AEÅ1X nAE¡1jcn(f)j2. Soitg2L2([0,T]) et {cn(g)}n2Zses coefficients de Fourier. Alors hf,giAE1T Z T 0 f(t)¯g(t)dtAEÅ1X nAE¡1c n(f)cn(g) Si la convergence des séries de Fourier est assurée au sens de la norme, reste la question de savoir quand une fonction est-elle égale à sa série de Fourier? La réponse à cette question est donnée par le théorème de Dirichlet. Avant d"établir la convergence ponctuelle et la relation entrefet sa série de Fourier, on peut déjà séries de Fourier : 12

2.1. Signaux périodiques

Proposition 2.2

( Décroissanced escoe fficients)

Soitf2L2([0,T])], alors

limjnj!Å1cn(f)AE0 Il y a ainsi une atténuation des coefficients pour les "grandes fréquences". C"est une conséquence du principe de portée générale "plus la fonction est régulière, plus ses coefficients de Fourier convergent rapidement vers 0". série de Fourier.Thèorème 2.3( Dirichlet) On supposef C1par morceau sur [0,T]. Pour toutt02[0,T], la série de Fourier defent0converge vers la demi-somme des limites à gauche et à droite defen t

0. Autrement dit :

lim

N!Å1nAENX

nAE¡Nc n(f)ei2¼T nt0AEf(tÅ0)Åf(t¡0)2 En particulier, sifest de plus continue ent0, alorsf(t0) est égale à sa série de

Fourier évaluée ent0.

2.1.2

Co efficientstri gonométriques

Lorsque la fonctionfpossède certaines propriétés de parités, on peut aussi dé-

finir les coefficients de Fourier trigonomériques.Définition 2.3( Coefficientsde F ouriertr igonométriques)

Soitf2L2([0,T]), on appelle coefficients de Fourier trigonométriques deflesquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

[PDF] théorème de parseval plancherel

[PDF] demonstration theoreme de parseval

[PDF] égalité de bessel

[PDF] transformation de fourier exercices corrigés

[PDF] transformation de fourier pdf

[PDF] transformée de fourier cours simple

[PDF] transformée de fourier pour les nuls

[PDF] transformée de fourier traitement du signal

[PDF] propriété transformée de fourier

[PDF] similitude mécanique des fluides

[PDF] théorème de vaschy-buckingham démonstration

[PDF] similitude de froude

[PDF] similitude dynamique

[PDF] theoreme de prolongement

[PDF] comment montrer qu'une fonction est de classe c1