[PDF] CHAPITRE 2 - Cours PDF 3 MÉTHODE DU POINT

Avantage de la méthode du point fixe : C'est une méthode beaucoup plus générale que la méthode de Newton puisqu'on demande tr`es peu sur la fonction g (on

CHAPITRE 2

La méthode du point fixe consiste à construire à partir d'une approximation Le procédé d'Aitken peut être appliqué à la méthode du point fixe. On ob ...

Méthodes de point fixe et calcul de la racine n-ième par Calvin

Alors f(x) — 0 a une seule solution et la méthode de Newton converge à partir d'un point réel x0 arbitraire. Démonstration : La fonction possède au moins un

Diapositive 1

Méthode du point fixe: on remplace la recherche d'une racine de f par la On peut caractériser les points fixes. Un point fixe est attractif si un point ...

TP 1 : Calcul approché et méthode du point fixe

vos notes). 3 Méthode du point fixe. Dans cette section section nous allons étudier de manière thérique et pratique différentes méthodes permet- tant de

Résolution numérique de léquation f ( x ) = 0

α vérifiant f(α) = 0. Dans ce document nous allons traiter quatre méthodes : la méthode de dichotomie

1 Convergence 2 Critère darrêt

= 2. 3 xn n ≥ 0. La méthode de Newton étant une méthode de point fixe

Analyse Numérique

fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 2.2.3 Convergence des ... méthode de la puissance itérée lorsque λN−1 = λN λN−1 = −λN

Réponses aux exercices du chapitre 2

c) Déterminer pour chaque point fixe trouvé en a) la valeur de λ pour laquelle la conver- gence de la méthode des points fixes sera quadratique. Solution a) On

Accélération de convergence pour les suites vectorielles de point fixe

19 févr. 2022 Les méthodes d'accéléra- tion de convergence (aussi appelées méthodes d'extrapolation) permettent alors d'améliorer la vitesse de convergence et ...

Résolution numérique déquations. (avec T.D.3 et T.P.2) 1

Avantage de la méthode du point fixe : C'est une méthode beaucoup plus générale que la méthode de Newton puisqu'on demande tr`es peu sur la fonction g (on

Diapositive 1

< 0) à r. On appelle taux de convergence d'une méthode de point fixe la valeur de . Il sert à comparer des méthodes plus

CHAPITRE 2

3 MÉTHODE DU POINT FIXE. Définition 3.1 Soit g une fonction continue sur [a b]. On appelle point fixe de la fonction g tout point x ? [a

Analyse Numérique

2.2.3 Convergence des algorithmes. 2.2.3.1 Méthodes de point xe. Commençons par traiter le cas du point fixe qui est fondamental d'un point de vue.

TP 1 : Calcul approché et méthode du point fixe

vos notes). 3 Méthode du point fixe. Dans cette section section nous allons étudier de manière thérique et pratique différentes méthodes permet-.

Méthodes de point fixe et calcul de la racine n-ième par Calvin

On appele F(-) une fonction itérante. On dit qu'une méthode de point fixe xn+i = F{xn) qui converge vers un nombre a est. 5

Chapitre 6 Algorithmes numériques

le théor`eme du point fixe précédent la convergence est au moins linéaire. 6.2 Méthodes de Newton et de Lagrange. On consid`ere l'équation.

garantissant la convergence? Le bassin dattraction dun point fixe x

méthode converge vers x*. Idéalement on connait le bassin d'attraction et on choisit un point de départ dans ce bassin. Mais comment définir le bassin?

Résolution numérique de léquation f ( x ) = 0

? vérifiant f(?) = 0. Dans ce document nous allons traiter quatre méthodes : la méthode de dichotomie

§ 2.4 Méthodes itératives de type point fixe

La méthode converge vers le point fixe (r r) qui est situé à l'intersection de la courbe et de la droite. Si la méthode démarre d'une autre valeur initiale

[PDF] CHAPITRE 2 - Cours

3 MÉTHODE DU POINT FIXE Définition 3 1 Soit g une fonction continue sur [a b] On appelle point fixe de la fonction g tout point x ? [a b] vérifiant

[PDF] Chapitre 2 Équations non linéaire

Méthode du point fixe: on remplace la recherche d'une racine de f par la recherche de point fixe d'une fonction g fabriquée uniquement dans ce but Si g est

[PDF] S2 : Analyse Ch 3 : Résolution numérique déquations (avec TD3

Avantage de la méthode du point fixe : C'est une méthode beaucoup plus générale que la méthode de Newton puisqu'on demande tr`es peu sur la fonction g (on

[PDF] TP 1 : Calcul approché et méthode du point fixe

Dans cette section section nous allons étudier de manière thérique et pratique différentes méthodes permet- tant de résoudre x ? cos(x)=0 x ? [0 1]

[PDF] Méthodes de point fixe et calcul de la racine n-ième par - CORE

Méthodes de point fixe et calcul de la racine n-ième par Calvin GNANG mémoire présenté au Département de mathématiques en vue de l'obtention du grade de

[PDF] Analyse Numérique

Méthode des approximations successives ordre de convergence Soient I un intervalle fermé de R admettant un point fixe l ? I i e g(l) = l

[PDF] Point fixe

2) Algorithme du point fixe 3) Théorème du point fixe 4) Exercice calcul numérique de ? 5) Deux exercices corrigés Point fixe

[PDF] Calculs approchés dun point fixe

On s'intéresse dans ce dossier au calcul effectif d'un tel point fixe La méthode de calcul illustrée ici est connue sous le nom de méthodes des

[PDF] Chapitre 6 Algorithmes numériques

Dans le théor`eme du point fixe précédent la convergence est au moins linéaire 6 2 Méthodes de Newton et de Lagrange On consid`ere l'équation f(x)=0

[PDF] Méthode du point fixe pour la résolution de léquation fpxq “ x

(algo) Écrire l'algorithme du point fixe (fonction PointFixe) permettant de résoudre l'équation ?pxq “ x Correction 1 La suite pxkqkPN est bien définie si

C'est quoi la méthode de point fixe ?
5 La méthode du point fixe. Si une équation f(x) = 0 est équivalente `a une autre équation de la forme g(x) = x, alors la recherche des zéros de f se ram`ene `a celle des points fixes de g : g(?) = ?.
Comment montrer qu'une application admet un point fixe ?
Montrer que f admet un point fixe. Correction :Posons ? : [0,1] ? R définie par ?(x) = f(x)?x. Un point fixe de f est une valeur d'annulation de ?. Comme ? est continue et vérifie ?(0) = f(0) ? 0 et ?(1) = f(1)?1 ? 0, le TVI s'applique et nous avons l'existence d'un point fixe.
Quel est l'ordre de convergence de la méthode du point fixe ?
Ordre de convergence d'une méthode de point fixe
la constante d'erreur asymptotique est C = g ? ( x ? ) 2 et la convergence est quadratique, c'est à dire d'ordre 2.
on dit que la convergence est d'ordre au moins p. Dans le cas p = 1, on doit avoir de plus C < 1. g : I ? R ? R (I intervalle de R) x ?? g(x) On dit que ? est un zéro de g si g(?) = 0.

CHAPITRE2

ÉQUATIONS NON LINÉAIRES

hm@mat.ulaval.ca

TABLE DES MATIÈRES

1 Introduction 2

2 Méthode de la bissection 3

2.1 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Méthode du point fixe 5

3.1 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Méthode de Newton 10

4.1 Racines multiples d"ordre m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Méthode de la sécante 12

5.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Accélération de la convergence 14

6.1 Procédé d"Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Méthode de Steffensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 Mat-2910 A-14page 1 de 16

1I NTRODUCTION

Dans ce chapitre nous nous intéressons à la recherche de racines d"une fonc- tion d"une seule variable : f:R!R f(x) =0 En général les solutions explicites sontdifficiles, voirimpossible, à obtenir analytiquement. Donc nous devons trouver desméthodes numériquesqui conduisent à des solutions approchées.

Exemple 1.1-e x1=0une solution

e x+1=0pas de solutions x

24sin(x) =0deux solutions

3+5x21=0trois solutions

-cos(x) =0une infinité de solutionsMat-2910 A-14page 2 de 16

2M ÉTHODE DE LA BISSECTION

Théorème 2.1Soit f:[a,b]!R une fonction continue. Si f(a)f(b)<0, alors il éxiste au moins un x2[a,b]tel que f(x) =0. Si de plus f est strictement monotone dans[a,b], alors cette racine est unique. 2.1

A LGORITHME

On posex1=a+b2

Sif(x1) =0, alorsx1est un zéro defet on s"arrête. Sinon, on construira x

2à partir dex1de la manière suivante :

Si f(x1)f(a)>0 alorsfchange de signe entrex1etbet on changea para:=x1. On pose ensuitex2=a+b2 Si f(x1)f(a)<0 alorsfchange de signe entrex1etaet on changeb parb:=x1. On pose ensuitex2=a+b2 n=1qui converge versxtelle quef(x) =0. 2.2

C ONVERGENCE

Soit[a0,b0] = [a,b]avecf(a)f(b)<0.

Soitxn=12

(bn1+an1),n=0,1,.

Il exite x2[a,b]tel que :

jxxnjba2 n De plus, pour atteindre la précisionjxxnjil suffit de choisir nln(ba)ln()ln(2) Le dernier résultat permet de fixer a priori le nombre d"itérations nen le reliant à la précision désirée. Exemple 2.1On cherche une racine de la fonction f(x) =x2+x6=0sur [1,2]

Intervalle initial : [a,b] = [1, 2]

k x f(x)

1 1.7500e+000 -1.1875e+000

2 1.8750e+000 -6.0938e-001

3 1.9375e+000 -3.0859e-001

4 1.9688e+000 -1.5527e-001

5 1.9844e+000 -7.7881e-002

9 1.9990e+000 -4.8819e-003Mat-2910 A-14page 3 de 16

10 1.9995e+000 -2.4412e-003

11 1.9998e+000 -1.2206e-003

12 1.9999e+000 -6.1034e-004

13 1.9999e+000 -3.0517e-004

14 2.0000e+000 -1.5259e-004

17 2.0000e+000 -1.9073e-005

18 2.0000e+000 -9.5367e-006

19 2.0000e+000 -4.7684e-006

20 2.0000e+000 -2.3842e-006Mat-2910 A-14page 4 de 16

3M ÉTHODE DU POINT FIXE

Définition 3.1Soit g une fonction continue sur[a,b]. On appelle point fixe de la fonction g tout point x2[a,b]vérifiant g(x) =x. -Soit g:[a,b]![a,b]une fonction continue. Alors la fonction g(x) admet au moins un point fixe dans[a,b]. P ourapprocher les racines de f(x) =0 par la méthode du point fixe on cherche donc une fonction g telle que f(x) =0()g(x) =x

Exemple 3.1

f(x) =x2x2 g(x) =x22,g(x) =px+2,g(x) =1+2x g(x) =x2+22x1 3.1

A LGORITHME

La méthode du point fixe consiste à construire à partir d"une approximation initialex0la suite des nombresxntel que : x n+1=g(xn),n=0,1, x

02[a,b]

-Choix de la fonctiong?

L asuite (xn)converge-t-elle?

Si la suite converge, sa limite xvérifie-t-ellex=g(x)? Comment estimer l"évolution de l"erreur en=xnxau cours des itérations? 3.2

C ONVERGENCE

Si dans [a,b],gvérifie

(i)x2[a,b] =)g(x)2[a,b] (ii)gune fonction continue, alors

1.gpossède au moins un point fixex2[a,b].

2. Si gest strictement contractante, c"est à dire qu"il éxistek, 0k<1 tel que

8x2[a,b],8y2[a,b]jg(x)g(y)jkjxyj

alors :Mat-2910 A-14page 5 de 16 (a)xest unique. (b)8x02[a,b], la suite(xn)définie parxn+1=g(xn)convergex Sigestd érivable, il est souvent plus commode d"exprimer unec ondition suffisante sur la dérivéeg0que de vérifier directement quegest une application contractante. -Soit g une fonction dérivable sur[a,b]. Si g0vérifiejg0(x)j<1,8x2 [a,b], alors g est strictement contractante dans[a,b]. -Soit g:[a,b]!Rune fonction donnée tels que : a) g est une contraction stricte sur[a,b]. b) g([a,b])[a,b], c"est à dire8x2[a,b],g(x)2[a,b]. Alors 1. La fonction g (x)admet un unique point fixe xdans[a,b]. 2.

P ourtoutx

02[a,b],lasuite(xn)n2Ndéfiniepar: xn+1=g(xn),(n

0)converge vers xlorsque n! 1.

Vitesse de convergence

On cherche à quantifier la vitesse de convergence de la suitexnen compa- rant la valeur absolue de l"erreuren=xnxentre deux itérations successives. La méthode du point fixe xn+1=g(xn)est dite d"ordrersijen+1jjenjra une limite finie quandntend vers+1. On dit que la suite (en)converge avec unordre de convergenceégal à rs"il existe une constanteC>0 telle que : jen+1jjenjrC, pournassez grand r=1 l" ordre de convergence est dit linéaire ou géométrique r>1 superlinéaire r=2 quadratique Il est souvent délicat de déterminer un intervalle[a,b]dans lequel les hy- pothèses (a) et (b) du théorème du point fixe sont vérifiées. Soit g:R!Rune fonction de classeC1et soitxun point fixe deg tel quejg0(x)j<1. Alors, il existe un voisinageIdextel que la suite (xn)n2Ndéfinie parxn+1=g(xn)avecx02I, converge versx.

De plus

Si g0(x)6=0, la convergence est géométrique

2. S"il existe un entier r2 tel quegsoit de classeCrau voisinage dex et si g

0(x) ==g(r1)(x) =0,g(r)(x)6=0

alors, la convergence est d"ordrer.Mat-2910 A-14page 6 de 16

Interprétation géométrique

Exemple 3.2:

f(x) =x2+x6=0 1. x=g(x) =6x+1;x0=5 2. x=g(x) =p6x;x0=5 3. x=g(x) =6x2;x0=5

Exemple:

y= 6/(x+1); x_0 =5.000000E+00 k x eabsolue erelative

0 5.0000e+000 1.0000e+000 1.0000e+000

1 1.0000e+000 4.0000e+000 4.0000e+000

2 3.0000e+000 2.0000e+000 6.6667e-001

3 1.5000e+000 1.5000e+000 1.0000e+000

4 2.4000e+000 9.0000e-001 3.7500e-001

5 1.7647e+000 6.3529e-001 3.6000e-001

6 2.1702e+000 4.0551e-001 1.8685e-001

7 1.8926e+000 2.7760e-001 1.4667e-001

8 2.0742e+000 1.8163e-001 8.7564e-002

9 1.9517e+000 1.2255e-001 6.2790e-002

10 2.0327e+000 8.1030e-002 3.9863e-002

11 1.9784e+000 5.4312e-002 2.7452e-002

12 2.0145e+000 3.6077e-002 1.7908e-002

13 1.9904e+000 2.4109e-002 1.2113e-002

14 2.0064e+000 1.6047e-002 7.9976e-003

15 1.9957e+000 1.0709e-002 5.3661e-003

16 2.0029e+000 7.1344e-003 3.5621e-003

17 1.9981e+000 4.7585e-003 2.3815e-003

18 2.0013e+000 3.1713e-003 1.5847e-003

19 1.9992e+000 2.1147e-003 1.0578e-003Mat-2910 A-14page 7 de 16

20 2.0006e+000 1.4096e-003 7.0459e-004

21 1.9996e+000 9.3981e-004 4.6999e-004

22 2.0003e+000 6.2650e-004 3.1321e-004

23 1.9998e+000 4.1769e-004 2.0886e-004

24 2.0001e+000 2.7845e-004 1.3922e-004

25 1.9999e+000 1.8564e-004 9.2822e-005

29 2.0000e+000 3.6669e-005 1.8334e-005

30 2.0000e+000 2.4446e-005 1.2223e-005

Fonction :

y= sqrt(6-x); x_0 =5.000000E+00 k x eabsolue erelative

0 5.0000e+000 1.0000e+000 1.0000e+000

1 1.0000e+000 4.0000e+000 4.0000e+000

2 2.2361e+000 1.2361e+000 5.5279e-001

3 1.9401e+000 2.9598e-001 1.5256e-001

4 2.0149e+000 7.4837e-002 3.7142e-002

5 1.9963e+000 1.8657e-002 9.3460e-003

6 2.0009e+000 4.6676e-003 2.3327e-003

7 1.9998e+000 1.1667e-003 5.8341e-004

8 2.0001e+000 2.9168e-004 1.4584e-004

9 2.0000e+000 7.2920e-005 3.6460e-005

Fonction :

y= 6-x^2; x_0 =5.000000E+00 k x eabsolue erelative

0 5.0000e+000 1.0000e+000 1.0000e+000Mat-2910 A-14page 8 de 16

1 -1.9000e+001 2.4000e+001 1.2632e+000

2 -3.5500e+002 3.3600e+002 9.4648e-001

3 -1.2602e+005 1.2566e+005 9.9718e-001

4 -1.5881e+010 1.5881e+010 9.9999e-001

5 -2.5220e+020 2.5220e+020 1.0000e+000

6 -6.3605e+040 6.3605e+040 1.0000e+000

7 -4.0455e+081 4.0455e+081 1.0000e+000

8 -1.6366e+163 1.6366e+163 1.0000e+000

9 -Inf Inf NaN

10 -Inf NaN NaN

11 -Inf NaN NaN

12 -Inf NaN NaN

13 -Inf NaN NaNMat-2910 A-14page 9 de 16

4M ÉTHODE DENEWTON

Soit f:[a,b]!Rcontinue et dérivable

On cherche toujours à résoudref(x) =0.

Il est évident que sih(x)est une fonction non nulle, alorsxest une solution def(x) =0 si et seulement sixest un point fixe de g(x) =x+h(x)f(x) La méthode de Newton consiste alors à choisir la fonctionh(x)de telle sorte que la méthode des approximations successives appliquée à la fonctiong(x)soit d"ordre deux. C"est à dire tel queg0(x) =0. Ceci serait le cas si on choisit par exempleh(x) =1f

0(x)On a alors l" algorithme de Newton suivant :

0donné

xquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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[PDF] [PDF] CHAPITRE 2 - Cours 3 MÉTHODE DU POINT

C'est quoi la méthode de point fixe ?

Comment montrer qu'une application admet un point fixe ?

Quel est l'ordre de convergence de la méthode du point fixe ?

CHAPITRE2

ÉQUATIONS NON LINÉAIRES

TABLE DES MATIÈRES

1 Introduction 2

2 Méthode de la bissection 3

2.1 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Méthode du point fixe 5

3.1 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Méthode de Newton 10

4.1 Racines multiples d"ordre m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Méthode de la sécante 12

5.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Accélération de la convergence 14

6.1 Procédé d"Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Méthode de Steffensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 Mat-2910 A-14page 1 de 16

1I NTRODUCTION

Exemple 1.1-e x1=0une solution

24sin(x) =0deux solutions

3+5x21=0trois solutions

2M ÉTHODE DE LA BISSECTION

A LGORITHME

On posex1=a+b2

2à partir dex1de la manière suivante :

C ONVERGENCE

Soit[a0,b0] = [a,b]avecf(a)f(b)<0.

Soitxn=12

Il exite x2[a,b]tel que :

Intervalle initial : [a,b] = [1, 2]

1 1.7500e+000 -1.1875e+000

2 1.8750e+000 -6.0938e-001

3 1.9375e+000 -3.0859e-001

4 1.9688e+000 -1.5527e-001

5 1.9844e+000 -7.7881e-002

9 1.9990e+000 -4.8819e-003Mat-2910 A-14page 3 de 16

10 1.9995e+000 -2.4412e-003

11 1.9998e+000 -1.2206e-003

12 1.9999e+000 -6.1034e-004

13 1.9999e+000 -3.0517e-004

14 2.0000e+000 -1.5259e-004

17 2.0000e+000 -1.9073e-005

18 2.0000e+000 -9.5367e-006

19 2.0000e+000 -4.7684e-006

20 2.0000e+000 -2.3842e-006Mat-2910 A-14page 4 de 16

3M ÉTHODE DU POINT FIXE

Exemple 3.1

A LGORITHME

02[a,b]

L asuite (xn)converge-t-elle?

C ONVERGENCE

Si dans [a,b],gvérifie

1.gpossède au moins un point fixex2[a,b].

8x2[a,b],8y2[a,b]jg(x)g(y)jkjxyj

P ourtoutx

02[a,b],lasuite(xn)n2Ndéfiniepar: xn+1=g(xn),(n

0)converge vers xlorsque n! 1.

Vitesse de convergence

De plus

Si g0(x)6=0, la convergence est géométrique

0(x) ==g(r1)(x) =0,g(r)(x)6=0

Interprétation géométrique

Exemple 3.2:

Exemple:

0 5.0000e+000 1.0000e+000 1.0000e+000

1 1.0000e+000 4.0000e+000 4.0000e+000

2 3.0000e+000 2.0000e+000 6.6667e-001

3 1.5000e+000 1.5000e+000 1.0000e+000

4 2.4000e+000 9.0000e-001 3.7500e-001

5 1.7647e+000 6.3529e-001 3.6000e-001

6 2.1702e+000 4.0551e-001 1.8685e-001

7 1.8926e+000 2.7760e-001 1.4667e-001

8 2.0742e+000 1.8163e-001 8.7564e-002

9 1.9517e+000 1.2255e-001 6.2790e-002

10 2.0327e+000 8.1030e-002 3.9863e-002