[PDF] Notes de cours M2 — Équations aux dérivées partielles elliptiques

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Notesdecours

M2 - Équations auxdérivées partielles

elliptiques

HervéLeDret

4mars2010

2

Tabledesmatières

1Rappelsen tousgenres 7

1.1Les théorèmesdecon vergence deLebesgue. ........... 7

1.2Lacon volution. ........ ... ... ... ... ... .. .9

1.3Lesdistrib utions.. ...... ... .. ... ... ... ... ..12

1.4Les espacesdeSobole v.. ... ...... ... .. ... ... .14

1.5Dualitéet conver gencesfaibles ........... ...... ..18

1.6Formulationsv ariationnelleset leurinterprétation.... ... ..20

1.7Appendice :topologiesde DetD

... ... ... ... ... ..23

2Théorèmesde pointfixeet applications35

2.1Lesthéorèmes depointfix edeBrouwer etdeSchauder ... ...35

2.2Résolutiond'un problèmemodèlepar uneméthodede pointfixe .48

3Lesopérateurs desuperposition 55

3.1Lesopérateurs desuperpositiondans L

p (Ω)... ... .. ... .55

3.2Lesopérateurs desuperpositiondans H

1 (Ω)... ... .. ... .62

3.3Opérateursde superpositionettrace aubord. ... ... .. ... 72

4Laméthode deGalerkin 75

4.1Résolutiondu problèmemodèlepar laméthodede Galerkin.. .. 75

4.2Laméthode deGalerkinpour lamécaniquedes fluides.. .. ..78

5Principedu maximum,régularitéelliptique etapplications91

5.1Leprincipe dumaximumfort ... ... .. ... ... ... ... 91

5.2Leprincipe dumaximumf aible.. ... .. ...... ... ... 98

5.3Résultatsde régularitéelliptique. ... ... .. ... ... ... 100

5.4Méthodedes sur-et sous-solutions.. ...... ... .. ... .108

6Calcul desvariations etproblèmes quasi-linéaires115

6.1Rappelsd'analyse fonctionnelleetcon vex eabstraites ... ....115

3

4TABLEDESMATIÈRES

6.2Applicationaux problèmesauxlimites quasi-

linéairesscalaires. ... ... ... ... .. ... ... ... ..120

6.3Calculdes variationsdans lecasv ectoriel..... .. ... ... 124

7Calculdes variationset pointscritiques147

7.1Pourquoirechercher despointscritiques ?.. ... .. ...... 147

7.2Lacondition deP alais-Smaleetle lemmed'Ekeland ...... .149

7.3Lelemme dedéformation,le principedumin-max etlethéorème

ducol ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... 160

8Opérateursmonotones etinéquations variationnelles177

8.1Opérateurs monotones,définitionset premièrespropriétés. ... .177

8.2Ex emplesd'opérateursmonotones... ... ... .. ... ... 179

8.3Inéquationsv ariationnelles. ...... ... ... ... .. ... 180

8.4Exemples d'inéquationsvariationnelles... ... ..... ... 185

8.5Opérateurspseudo-monotones ... ... .. ... ... ... ..187

8.6Exemples, lesopérateursdeLeray-Lions.. ... ... .. ... .190

TABLEDESMATIÈRES5

Unebrève bibliographie

Adams,R.A.,SobolevSpaces,AcademicPress, NewY ork,1975. Ekeland,I.etTemam, R.,Analyseconve xeetproblèmesvariationnels,Dunod,

Paris,1974.

tions,Regional ConferenceSeriesinMathematics74, AMS,1990. Gilbarg,D.etTrudinger ,N.S.,EllipticPartial DifferentialEquationsofSe- condOrder ,secondedition, Springer-Verlag, Berlin,1983. Kavian,O.,Introductionàlathéoriedes pointscritiqueset applicationsaux problèmeselliptiques,Springer-V erlag,Paris,NewYork,1993. LeDret,H., Notesdecours demaîtrise: Outilsdebase enanalyseappliquée

2003-2004,http://www .ann.jussieu.fr/

ledret/OBAA-2003-2004.pdf Meyer,Y.etCoifman,R.R., Opérateursmultilinéaires,Hermann,P aris,1991. Rudin,W., Analyseréelle etcomplexe ,Masson,P aris,1975. rantInstituteof MathematicalSciences, NewY ork,1965.

6TABLEDESMATIÈRES

Chapitre2

Théorèmesdepoint fixeet

applications Sifestuneapplication d'unensembleEdanslui-même, onappellepoint fixedeftoutélémentxdeEtelque f(x)=x.De nombreuxproblèmes,y com- prisdesproblèmes d'équationsauxdéri véespartielles nonlinéaires,peuv entêtre (re)formuléssousforme deproblèmed'e xistenced'unpoint fixepour unecertaine application.Nousen verronsdes exemples plusloin. Onrappelled'abord lethéorèmede pointfixe dePicardpour unecontraction stricte,unrésultat élémentairemaispeu utilisépourles applicationsquel'on aen vue: Théorème20Soit(E,d)unespace métriquecomplet, T:E→Eunecontr action stricte,i.e.,tellequ'il existeuneconstantek<1telleque

AlorsTadmetunpoint fixeuniquex

0 =T(x 0 )?E.Deplus,pourtout z?E,la suitedesitérés T m (z)convergeversx 0 quandm→+∞. Cethéorème,ou desvariantes decethéorème, estnéanmoinsutile dansle contextedeséquationsauxdéri véespartiellesd'év olution,contexte quinenous concernepasici.

2.1Lesthéorèmes depointfixe deBrouwer etde

Schauder

Lethéorèmede Brouwerestle théorèmedepoint fixefondamental endimen- sionfinie.Soit B m ={x?R m m munidela 35

36CHAPITRE2. Théorèmesdepoint fixeet applications

normeeuclidienneusuelle, etS m-1 B m lasphèrequi enestla frontière.Le théorèmede Brouweraffirme que: B m dans B m admetaumoinsunpoint fixe. Notonsuneamusanteillustration"ph ysique»(avecdesréserves)duthéorème deBrouwer. Sil'onprendundisquede papierposésur unetable,qu'on lefroisse sansledéchirer etqu'onle reposesurla tabledef açonàce qu'ilne dépasse pasdesa positioninitiale,alors aumoins unpointdu papierfroissése retrouve exactementàlav erticaledesa positiondedépart. Lethéorèmede Brouwerestun résultatnontri vial,saufdans lecasm=1 oùilse montretrèssimpl ementparun argumentde connexité.Il enexisteplu- sieursdémonstrationsdans lecas général,f aisanttoutesappel àdesnotions plus oumoinsélémentaires. Nousallons endonnerune preuveaussi élémentaireque possible(notionsubjecti ve, malgrétout,cequiestélémentairepourl'unne l'est pasforcémentpour l'autre). Commençonsparle théorèmedenon-rétraction delaboule surlasphère - unerétractiond'un espacetopologiquesur unsous-ensemblede cetespaceest uneapplication continuedece tespaceà valeursdans lesous-ensembleetégaleà l'identitésurle sous-ensemble - dans lecasd'une applicationdeclasse C 1 .On verraunpeuplusloin qu'ilest équivalent authéorèmede Brouwer.

Théorème22 Iln'e xistepasd'applicationf:

B m →S m-1 declasseC 1 telleque l'onaitf |S m-1=Id.

Démonstration.Soitfunerétraction de

B m surS m-1 declasseC 1 .Pourtout t? [0,1],onpose f t (x)=(1-t)x+tf(x).Commela bouleestcon vex e,f t envoie B m dans B m .Deplus, commefestunerétraction, larestrictionde f t àS m-1 est l'identité.

Soitc=max

B etl'onen prendlanorme matriciellesubordonnée associéeàla normeeuclidienne deR m ).Par l'inégalitédesaccroissementsfinis,pour tousx,y? B m ,ona Comme ?f t (x)-f t (y)?≥(1-t)?x-y?-t?f(x)-f(y)?≥ (1-t)-ct ?x-y?, onendéduit quef t t estl'identité surS m-1 ,ils'ensuit quef t (B m )?B m (onnoteB m labouleouv erte)pour ces valeursdet.

2.1.Lesthéorèmes depointfix edeBrouwer etdeSchauder 37

?f t =(1-t)I+t?f=(1-t) I+ t 1-t ?f avec t 1-t ct 1-t <1.

Parconséquent,pourcesv aleursdet,?f

t estpartoutin versible. Parlethéorème d'inversionlocale,onendéduitque f t estunC 1 -difféomorphismelocalsurB m

Enparticulier, l'imagedeB

m parf t estunouv ert.

Onva montrerquef

t estaussisurjecti ve.Pour cela,ilsuffitdevoirque f t (B m )=B m ,puisquef t (S m-1 )=S m-1 .Onraisonne parl'absurde.Supposons quef t (B m )?=B m .Commeon avuque f t (B m )?B m ,ile xistedoncy?B m \f t (B m

Choisissonsunpoint y

0 ?f tquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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