[PDF] Fonctions numériques Dérivation : Théorèmes & Applications

View - Download Fonctions numériques Dérivation : Théorèmes & Applications

Previous PDF

Next PDF

Fonctions numériques

Dérivation : Théorèmes & Applications

B. Aoubiza

9 octobre 2002

Table des matières

8 Dérivation : Théorèmes et applications 2

8.1 ThéorèmedeRolle........................................ 2

8.2 Théorèmes et inégalités des accroissementsfinis........................ 3

8.2.1 Théorème des accroissementsfinis ........................... 3

8.2.2 Inégalités des accroissementsfinis............................ 4

8.2.3 Théorème des accroissementsfinisgénéralisé ..................... 5

8.3 Règledel'Hospitalpourlecalculdeslimites.......................... 5

8.3.1 Règledel'Hospital - Formesindéterminéesstandards ................ 6

8.3.2 Règledel'Hospital - Théorème............................. 6

8.3.3 Règle de l'Hospital - Exemples (00ou) .................... 7

8.3.4 Règle de l'Hospital - Exemples (0·)......................... 8

8.3.5 Règle de l'Hospital - Exemples (1

ou 0 )...................... 8

8.4 Dérivationetmonotonie..................................... 9

8.4.1 Dérivationetmonotonie - Croissanceetdécroissance................. 9

8.4.2 Dérivationetmonotonie - Egalitédedeuxfonctions ................. 9

8.5 Dérivabilité et extremum ..................................... 10

8.5.1 Dérivabilité et extremum - Points critiques ...................... 10

8.5.2 Dérivabilité et extremum - Test de la dérivée première . . .............. 11

8.5.3 Dérivabilité et extremum - Concavités de courbes.................. 12

8.5.4 Dérivabilité et extremum - Test de la dérivée seconde . . .............. 12

8.6 Approximationd'unefonctionauvoisinaged'unpoint .................... 14

8.6.1 Approximationd'unefonction - Approximationlinéaire ............... 14

8.6.2 Approximationd'unefonction - Approximationquadratique ............ 14

8.7 Equationsalgébriques ...................................... 15

8.7.1 Equationsalgébriques - Rappels ............................ 15

8.7.2 Equationsalgébriques - MéthodedeNewton ..................... 16

1

Chapitre 8

Dérivation : Théorèmes et

applications

8.1 Théorème de Rolle

Ci-dessous, lafigure d'une fonctionprenant la même valeur aux points=et=.Cetfigure montreune droite horizontaletangente à la courbe deau point=.LethéorèmedeRollearme l'existence d'une telle droitesous certaines conditions qui seront précisées ci-dessous. afa()() a b c xy cfc()() bfb()()

Droite tangente

Théorème 1(Théorème de Rolle) Soitune fonction continue sur l'intervalle[]et dérivable sur

l'intervalle ouvert][.Onsupposeque()=(). Alors il existe au moins un réelavec tel que g{()=0(ou 0 ()=0). Preuve.La preuve du théorème de Rolle est basée sur le fait suivant : Siest une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle fermé[],alorsatteint son maximum et son minimum sur cet intervalle. Soientetrespectivement le maximum et le minimum desur l'intervalle[].Si=,alors

la fonctionest une constante et donc sa dérivée est nulle partout, ce qui signifiequelethéorèmede

Rolle est valide dans ce cas. Supposons maintenant que6=. Donc une de ces deux valeurs s'obtient nécessairement en un pointtel que. Dans le cas contraire, les deux valeurs s'obtiennent aux bords de[], ce qui est en contradiction avec l'hypothèse6=. Ainsi le réelest un point où la fonction a un extremum local et en ce point on a 0 ()=0.

Exemple 1Soit()=

3

3+2. Tracer la courbe de la fonctionet vérifier que¡±3¢=(0) =

2. Utiliser le théorème de Rolle pour déduire les points où la dérivée deest nulle.

Solution: Comme la fonction prend la même valeur aux trois points

3,3et0,ladérivéede

30£et au moins une fois sur l'intervalle ouvert

2

3£. En fait, comme la dérivée est un polynôme quadratique en, elle a exactement deux racines qui

sont localisées dans les deux intervalles ci-dessus. La dérivée deest 0 ()=3 2

3, dont les racines

sont=±1. Voici le graphe de la fonction x y y= 2 -4-2024 -2 -1 1 2 3 33-
f' = (1) 0 f' =(-1) 0 fx()

8.2 Théorèmes et inégalités des accroissementsfinis

8.2.1 Théorème des accroissementsfinis

Le théorème des accroissementsfinis est l'un des théorèmes les plus importants du calcul diérentiel.

Lafigure ci-dessous est une interprétation géométrique du dit théorème. afa()() ac xy cfc()() bfb()() b

Droite tangenteDroite sécante

Lafigure montre qu'entre les points(())et(()),ilexisteaumoinsunpointdelacourbeoù la tangente est parallèle à la droite sécante()

Théorème 2(Théorème des accroissementsfinis)Soitune fonction continue sur l'intervalle fermé

[], dérivable sur l'intervalle ouvert][.Ilexiste][tel que : 0 ou()()=() 0

Preuve.On introduit la fonction()=()()()()

().Onvérifitfacilementque ()=0et()=0et donc d'après le théorème de Rolle il existe][tel que 0 ()=0. Par ailleurs 0 0 . En remplaçantparon obtient0= 0 .D'oùle résultat. Remarque 1En posant=,=+et=+(01), la formule des accroissementsfinis prend la forme suivante : 0 3

Exemple 2Soit()=

3

2définit sur l' intervalle[13]. Déterminer un pointdans]13[satis-

faisant l'équation du théorèmes des accroissementsfinis. Solution:Le problème revient donc à trouver le réeltel que 0 ()=(3)(1)

31=21(1)2=11.

Comme 0 ()=3 2

2,leréelest solution de l'équation quadratique3

2

2=11.Lessolutions de

cette équation sont=±p

133. Le réel cherché doit satisfaire l'inégalité13.D'où=p133

20817.

Exemple 3Supposons que()est définie et continue sur l'intervalle[25],diérentiable sur l'inter- valle ouvert]25[et telle que(2) = 3et(5) =4. Montrer qu'il existe un réeldans]25[tel que 0 ()=7 3. Solution:D'après le théorème des accroissementsfinis, il existe un réeltel que(5)(2) = 0 ()(52),etdonc 0 ()=(5)(2)

52=433=73

Noter qu'on ne sait pas la valeur exactement, tout ce qu'on sait c'est qu'il est dans]25[.

8.2.2 Inégalités des accroissementsfinis

A partir du théorème des accroissementsfinis on déduit les deux inégalités, qu'on appelleInégalités

desAccroissementsFinis,suivantes:

Théorème 3(Inégalités des accroissementsfinis)Soitune fonction continue sur l'intervalle fermé

[], dérivable sur l'intervalle ouvert][. On a les inégalités suivantes :

1. Si|

0 ()|sur[]alors|()()|||; 2. Si 0 ()alors|||()()||| Exemple 4Supposons que la fonction()est définie et continue sur l'intervalle[22]et que(1) = 1 et supposons que sa dérivée est telle que| 0 ()|2. Déterminer les bornes des valeurs de()sur l'intervalle[22]. Solution:A partir de l'inégalité des accroissementsfinis, on a |()(1)|=| 0 ()(1)|2|1|6(D'où provient le6?)

Ainsi, on a

6()(1)6ou6(1)()6(1)ou5()7

pour toutdans[22]. Graphiquement la première inégalité (|()(1)|2|1|)nousditplus.

Il nous permet de déduire que le graphe de()est localisée entre les deux droites passant par le point

(11)et qui ont pour pentes±2. x y -6-4-20246 -3 -2 -1 1 2 3 x fx() 4 Exemple 5On considère une fonction()telle que(1) = 2et| 0 ()|1. Montrer que le graphe de()est entre les deux droites=+1et=3. Noter que ces deux droites passent par le point (12).

Solution:On vérifielerésultatpour1, le cas où1est laissé en exercice. On a donc à montrer

que pour tout1on a l'inégalité

3()+1.

Notons que pour1on a bien3+1.L'inégalité3()+1est équivalente à

1()21. Par ailleurs, d'après le théorème des accroissementsfinis, on a

|()2|=|()(1)|=| 0 ()(1)| 0 ()||1|1|1|car| 0 ()|1 On a donc|()2|1, (rappelez-vous que1) ce qui est équivalent à(1)()2

1. En rajoutant2partout on obtient3()+1.

8.2.3 Théorème des accroissementsfinis généralisé

Théorème 4(Théorème des accroissementsfinis généralisé).Soientetdeux fonctions continues sur

[],dérivablessur][.Onsupposedeplus 0 ()6=0pour toutde][.Alors,ilexiste][tel que : 0 0 ()ou 0 0

Preuve.On pose()=()()()

()()().Onvérifie()=()et on remarque que 0 0 0 (), puis l'application du théorème de Rolle permet de conclure.

Remarque 2Le théorème des accroissementsfinis est un cas particulier de théorème généralisé ci-

dessus, il sut de prendre()=. (A faire ne exercice).

Interprétation géométrique: dans ce cas la courbe est définie par=()et=().Cethéorème

arme l'existence d'une tangente à la courbe en un point(()())parallèle à la droite sécante passant

par les points de la courbe(()())et(()()).quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

[PDF] comment le front populaire est arrivé au pouvoir

[PDF] règle de l'hopital forme indéterminée

[PDF] théorème point fixe compact

[PDF] séquence sur le futur ce2

[PDF] exercices futur cm2 ? imprimer

[PDF] le futur proche pdf

[PDF] futur proche cm2 exercice

[PDF] futur proche exercices fle

[PDF] le futur proche exercices

[PDF] exercice futur proche pdf

[PDF] passé récent exercices pdf

[PDF] exposé sur le gaz de schiste pdf

[PDF] le gaz de schiste avantages et inconvénients

[PDF] théorie de l'agence cours pdf

[PDF] théorie de l'agence jensen et meckling pdf