Nombres réels et nombres complexes 1 Propriétés de R
2 propriétés : j3 = 1 j2 = ¯j
Nombres complexes
Exercice 9. 1. Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1 j
NOMBRES COMPLEXES
i = j. On peut en déduire j3 = j x j2 = j x j =
NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
Soient x et y deux nombres réels et soit j un nombre appelé "imaginaire" tel que j2 = -1. On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d'un nombre complexe
ÉTS
du nombre complexe. En électricité on utilise j pour désigner l'unité imaginaire; donc z = a + jb . page D.2. Annexe D : Les nombres complexes.
cours nombres complexes.pdf
Page 2/14. 2- Partie réelle et partie imaginaire. Un nombre complexe possède une partie réelle et une partie imaginaire : {. { j. 3. 2. Z imaginaire partie.
Exercice 1 On donne le nombre complexe: j =? 1 2 +i· ? 3 2 1
Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation : z2 + z +1=0. 2. Démontrer les égalités suivantes: a. j3 = 1 b. j2 = ?1 ? j.
Chapitre 1: Revue des notions de base
?1+j. ?. 3. 2. 1.2 Calcul avec des nombres complexes. Soit deux nombres z1 et z2. z1 = a1 +jb1 z2 = a2 +jb2. Addition : La somme des deux nombres est la
Asie-Juin-2015.
2. Déterminer le module et un argument du nombre complexe j On note P
Nombres complexes 1 Forme cartésienne forme polaire
Quotient du nombre complexe de module 2 et d'argument ?/3 par le nombre complexe Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1 j
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
i = j On peut en déduire j3 = j x j2 = j x j = j2 = 1 b) Argument Définition Soit le nombre complexe non nul z de forme algébrique a + ib et soit M le
[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) - maths et tiques
Ecrire le nombre complexe z = 3 + i sous sa forme trigonométrique - On commence par calculer le module de z : z = 3+1 = 2 - En calculant z
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
A l'origine de l'apparition des nombres complexes se trouvent les recherches menées sur la résolution des équations du troisième degré
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Cours de mathématiques
Par exemple pour z = 1 on obtient les n racines n-ièmes de l'unité e2i k?/n k = 0 n ? 1 qui forment un groupe multiplicatif 0 1 = e0 i j = e2i?/3 j2 =
[PDF] NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
I DEFINITIONS D'UN NOMBRE COMPLEXE 1 Forme algébrique 2 Représentation graphique 3 Forme polaire 4 Forme trigonométrique
[PDF] 1 Nombres complexes - LAMA - Univ Savoie
U3 = {1 j j2} et 1 + j + j2 = 0 6 2• Racines n -ièmes d'un nombre complexe quelconque Soit Z un nombre complexe quelconque et n
[PDF] LES NOMBRES COMPLEXES
La forme algébrique est une façon de représenter un nombre complexe : j)32 ou( j32Z ×+ += Z se lit « Z complexe » ou « nombre complexe Z » 2 + 3j se
[PDF] 1 Corps des nombres complexes
Définition 1 1 2 Un nombre complexe est dit réel si sa partie imaginaire est nulle et Exemples : C1 = {1} C2 = {1?1} C3 = {1 j j2} o`u j = ei2?
[PDF] Nombres complexes
La formule de Moivre est vraie aussi pour entier relatif 2 Notation exponentielle d'un nombre complexe Exemple d'utilisation : Calcul du module et
[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1
NOMBRES COMPLEXES Exercice 1 : On donne 0 un réel tel que : cos( 0) = 2 ?5 et sin( 0) = 1 ?5 Calculer le module et l'argument de chacun des
NOMBRES COMPLEXES
1NOMBRES
COMPLEXES
CoursNOMBRES COMPLEXES
2I. DEFINITIONS D"UN NOMBRE COMPLEXE
1. Forme algébrique
2. Représentation graphique
3. Forme polaire
4. Forme trigonométrique
5. Relations fondamentales entre les différentes définitions
6. Exemples
II. PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS
1. Nombre complexe nul
2. Egalité de deux nombres complexes
3. Nombres complexes opposés
4. Nombres complexes conjugués
5. Propriétés importantes
III. OPERATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES
1. Somme et différence de deux nombres complexes
2. Multiplication de deux nombres complexes
3. Quotient de deux nombres complexes
4. Conclusions générales
IV. FORMULES D"EULER - FORMULE DE MOIVRE
1. Formules d"Euler
2. Généralisation aux nombres complexes de module quelconque
3. Linéarisation d"un polynôme trigonométrique
4. Formule de Moivre
5. Formule du binôme - triangle de Pascal
V. RACINE n
ième D"UN NOMBRE COMPLEXE1. Sous forme polaire
2. Sous forme algébrique
VI. EQUATION DU SECOND DEGRE À COEFFICIENTS COMPLEXESVII. APPLICATION A L"ELECTRICITE
1. Les lois de l"électricité
2. Impédances
3. Construction de Fresnel
4. Utilisation des nombres complexes
NOMBRES COMPLEXES
3I. DEFINITIONS D"UN NOMBRE COMPLEXE
1. Forme algébrique
Soient x et y deux nombres réels, et soit j un nombre appelé "imaginaire" tel que j2 = -1.
On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d"un nombre complexe z = (x, y) l"expression z = x +jy. ( )jyxzy)(x,z jyx, 2+=Î= -=ή®CR 1 2 x est la partie réelle de z, notée x = Re(z), y est la partie imaginaire de z, notée y = Im (z).L"ensemble des nombres complexes se note
C.Cas particuliers :
si y = 0, alors z = x est un nombre réel: zÎR si x = 0, alors z = jy est un nombre imaginaire pur: zÎIL"ensemble des nombres imaginaires purs se note
I.Î+=®IRC
jyz,0x Sixz,0y Sijyxz2. Représentation graphique
Soit le plan, rapporté à un repère orthonormé {}v,u,Orr, on a alors la figure 1 suivante. A tout nombre complexe z = x + jy, on associe le point M(x, y). La correspondance entre zet M est bijective c"est à dire qu"à tout nombre complexe z = x + jy, on peut faire
correspondre un point du plan, de coordonnées x et y et que réciproquement, tout point M du plan définit par ses coordonnées x et y un nombre complexe z = x + jy. ur vr OM (x,y)
xy qFig. 1
Le point M s"appelle l"image du nombre complexe z. Le vecteurOM s"appelle le vecteur
image du nombre complexe z. Le nombre complexe z s"appelle l"affixe du point M (ou du vecteur OM). Le plan, considéré comme l"ensemble des points M(x, y) est appelé plan complexe, ou plan de Cauchy. L"axe Ox qui correspond aux points tels que y = 0, z = x, est l"axe des réels; l"axe Oy qui correspond aux points tels que x = 0, z = jy est l"axe des imaginaires purs.NOMBRES COMPLEXES
43. Forme polaire
On appelle module du nombre complexe z le module du vecteur imageOM associé à z.
On appelle argument du nombre complexe z l"angle polaire du vecteur image OM associé à z (à 2k p près). p+==q³== k2, )z(0r ;OMzrOMOxArg
On note alors le nombre complexe z sous la forme polaire : []q=,rz4. Forme trigonométrique
Soit un nombre complexe de forme polaire
[]q=,rz.Soit M son image dans le plan complexe (Fig. 2).
Les composantes x et y du vecteur image
OM s"expriment comme suit : q=q=sinrycosrx ur vr OM (x,y)
x = r cosqy = r sinq q rFig. 2
d"où la forme trigonométrique du nombre complexe : z = x + jy z=rcosq+jsinq()5. Relations fondamentales entre les différentes définitions
On verra par la suite que l"on pose habituellement : cosq+jsinq=ejq.Ainsi, la forme polaire
z=r,q[] du nombre complexe z est souvent notée : z=rejq En conclusion, les quatre formes suivantes sont équivalentes pour désigner un nombre complexe z : z=x+jy= r,q[]= rcosq+jsinq() =rejq Inversement, si un nombre complexe est connu sous sa forme cartésienne z=x+jy, on peut calculer son module et son argument.Le module r se calcule facilement par :
r=OM=x2+y2 et son argument, q est calculé, modulo 2p par cosq=x r et sinq=y r ou par x y=qtg, en tenant compte des signes de r xcos=q et r ysin=q.NOMBRES COMPLEXES
56. Exemples
a) 10cossinjcose
j +p=p+p= p b) 12sinj2cose2j=p+p=p c) j2,12sinj2cose2j= p=p+p=p d) j2,12sinj2cose2j-= p-= p-+ p-=p- e) ()( )nnjjn1encosnsinjncose-==p=p+p=ppAinsi, suivant la parité de n:
ejnp=1 si n pair (n=2p) e jnp= -1 si n impair (n=2p+1) f) ( )4je24sinj4cos22j212j12
p p+p= g) ( )4je24sinj4cos22j212j12
p- p-p= h) ( )3je23,23sinj3cos223j2123j1
p p= p+p=II. PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS
1. Nombre complexe nul
Le nombre complexe nul, noté simplement z = 0, est le nombre complexe dont l"image est l"origine du plan complexe c"est à dire le point O(0, 0). Cette définition conduit auxégalités suivantes:
Sous forme cartésienne:
==Û=+=0y0x 0jyxzSous forme polaire:
[ ]q=Û=q=quelconque 0r 0,r z2. Egalité de deux nombres complexes
Deux nombres complexes z et z" sont dits égaux si leurs images respectives M et M" dans le plan complexe sont confondues. Cette identité entraîne l"égalité des composantes (x, y) et (x", y") des vecteurs images OM et "OM correspondants.Soit :
==⇒+==+="yy"xx "jy"x"zjyxzNOMBRES COMPLEXES
6Deux nombres complexes égaux ont des parties réelles égales ET des parties imaginaires
égales.
Sous forme polaire l"égalité des deux nombres complexes z et z" se traduit par : p+q=q=⇒q==q=k2""rr ","r "z,r z Les modules sont égaux et les arguments sont égaux à 2k p près (modulo 2p).3. Nombres complexes opposés
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