[PDF] Quelques méthodes mathématiques pour le traitement dimage

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Quelquesm´ ethodesmath´ematiquespourletraitement d'image

2janvier2009

Cecoursest uneintroduction `alath ´eoriemath´ematiquedetraitement del'image. Ilestdonc incompletcarles m´ethodesdansce domainesontnombr eusesetvari ´ees.Onse polariserasur lesm´ethodesvariationnelles.

M.Bergounioux Master2-2008-2009

2

Chapitre1

Introduction

1.1Qu'est-ce qu'uneimagenum ´erique?

chacununeportion del'image.Une imageestd ´efiniepar: -lenombre depixelsquilacomposeen largeuret enhauteur(qui peutvarierpr esque`a l'infini), -l'´etenduedes teintesdegris oudescouleurs quepeutpr endrechaque pixel(onparle de dynamiquedel'image).

1.Lesimagesbinair es(noirou blanc)

Exemple,images lesplussimples, unpixelpeut prendre uniquementlesvaleurs noirou blanc.C'esttypiquement letyped'image quel'onutilise pourscannerdu textequand celuiciest compos´ed'uneseule couleur.

2.Lesimagesen teintesdegris

Eng´en´eral,lesimages enniveauxde grisrenferment 256teintesde gris.Image`a256 couleurs,simplement chacunedeces 256couleursest d´efiniedans lagammedes gris. Parconventionla valeurz´erorepr´esentelenoir (intensit´elumineusenulle) etlavaleur

255leblanc (intensit´elumineusemaximale).

3.Lesimagescouleurs

S'ilexisteplusieurs modesder epr´esentationde lacouleur, leplusutilis ´epourle manie- mentdesimages num´eriquesestl'espace couleurRouge,V ert,Bleu(R,V ,B). Cetespacecouleur estbas´esurla synth`eseadditivedes couleurs,c'est `adire quele m´elangedes troiscomposantes (R,V,B)donneune couleur. 3

4CHAPITRE1.INTRODUCTION

1.1.1Quelquesd ´efinitions

Pixelsetniveaux degris

Echantillonnageetquantification

1.1.QU'EST -CEQU'UNEIMAGENUM

ERIQUE?5

L'´echantillonnageestlepr oc´ed´edediscr ´etisationspatialed'une imageconsistant `aasso- cier`achaquezone rectangulair eR(x,y)d'uneimagecontinue uneunique valeurI(x,y).On

parlede sous-´echantillonnagelorsquel'imageest d´ej`adiscr´etis´eeetqu'on diminuelenombr e

d'´echantillons. lalimitation dunombre devaleursdif f´erentesquepeutpr endreI(x,y). L'´echantillonnageestune ´etapefondamentalequi doittenircompte ducontenuinforma- tionnelpertinentde l'image`aanalyser. Surl'exempleci-dessous,en1d, lesignal´echantillonn´e "ressemble»`aunesinuso ¨ıdedefr ´equence8fois plusfaible:

6CHAPITRE1.INTRODUCTION

Ceph´enom`eneappel´ealiasingestencore pireen2D,car ilaffectelafr´equenceetla direction desstructur esp´eriodiques.Imaginonspar exemplequ'onsouhaite ´echantillonnerl'image cor- respondantauxbandesnoires ci-dessous:

Avecun´echantillonnageadapt´e,l'imagenum ´eriquefaitappara ˆıtredesstructures conformes`a

l'informationpr´esentedansl'image :

Maisenconsid ´erantseulement1 ´echantillonsur 2,unestr ucturedif f´erenteapparaˆıt,dontl'ana-

lyse(ici desbandesverticales, plus´epaisses)nesera pasconforme`alar ´ealit´edel'objet :

ImageoriginaleImage

sous-´echantillonn´ee

1.1.QU'EST -CEQU'UNEIMAGENUM

ERIQUE?7

Laquantificationpeut ´egalementfaire apparaˆıtredesdistortionsdansles images.Commepour l'´echantillonnage,il existedesr `eglespourd ´eterminerlabonne quantification(lebon nombre debits)pour coderlesimages num´eriques.L 'uned´ependducapteur,etde sacapacit´eeffective `aobserverdes signauxdevaleurs diff´erentes:lerapportsignalsur bruit. Lerapportsignal surbruit estd´efini`apartirdu rapportentre l'amplitudedesniveaux de grismesurablespar lecapteurn max -n min etleniveau dubruit, engr osl'´ecart-typeσ n dela perturbational ´eatoirequiaffecte lesniveauxde gris.Enprenantlelogarithme, onale nombre debitsutile aucapteurpour coderlesimages. Outrelescapacit´esducapteur ,lenombr edebitsr´eellementn ´ecessairespourcoderune imagevaried'une image`al'autre, enfonctiondeleurcontenuinformationnel. Cenombre d´ependdel'entropie,d´efinie`apartirde ladistributiondes niveauxdegris del'image(statis- tique). E=- p i log 2 (p i o`uNestle nombrede niveauxdegrispr´esents,p i estlapr oportion(0

8CHAPITRE1.INTRODUCTION

Profil-Histogramme

Ilestpossible detracerun traitsurle flancduz `ebredel'imageenniveaux degrisci-dessous etobtenirle profilcorr espondant,c'est`adire leniveaudegrisdechaque pointoupixel travers´e parlaligne : entrelesdonn´eesnum´eriquescodant lanuancede grisetla positiondespixels del'image.

1.2Qu'est-ceque letraitementd'image ?

Lespagesqui suiventsontextraites descoursen ligne[BMT,M].

1.2.QU'EST -CEQUELETRAITEMENTD'IMAGE? 9

1.2.1Quelquesaspects duTraitement d'Image

-Filtrage/d ´econvolution(oufiltrage inverse) -Compression -Segmentation -Restauration/ reconnaissance -Reconstructiontomographique

10CHAPITRE1.INTRODUCTION

1.2.QU'EST -CEQUELETRAITEMENTD'IMAGE? 11

Danscecours nous´evoqueronssuccessivementtroisaspects fondamentaux: -Filtrage L'outilmath´ematiqueessentielpour lefiltrageest latransformationde Fourier(outoute autretransformationdumˆemetypecomme latransformationen ondelettes) -Segmentation Lasegmentationfait intervenirdesnotions d'optimisation,desoutils g´eom´etriqueset des

´equationsaux d´eriv´eespartielles

-Restauration Lesmod`elesvariationnels enrestauration utilisentdel'optimisation etdel'analysefonc- tionnellefine (Banach,th´eoriedela mesure).

12CHAPITRE1.INTRODUCTION

1.2.2Applications

-Robotique-Industrie -Assemblage,reconnaissance depi`eces -Contrˆoledequalit ´e -V´ehiculeautonome -etc... -T´el´ed´etection -M´et´eo -Cartographie -Analysedesr essourcesterr estres -Astronomie -Restauration -etc... -Applicationsmilitaires -Guidagede missile -Reconnaissance(a´erienne,sous-marine,etc ...) -etc... -Imageriem ´edicale -Tomographie -Aideaudiagnostic -Comptage(nombre decellules) -Suivideformes anatomiques

1.2.QU'EST -CEQUELETRAITEMENTD'IMAGE? 13

-Restauration -etc... -S´ecurit´e -Reconnaissance(d'empreintes, visages,signatures) -D´etectiondemouvement -etc...

14CHAPITRE1.INTRODUCTION

Chapitre2

Traitementponctueldesimages

num´eriques Ons'int´eressed'abordauxtraitements ponctuelsquiconsistent`afaire subir`achaquepixel unecorrection ned´ependantquede savaleur. Ontrouve danscettecat ´egorie,lesfonctions de recadrageoud'´egalisationdedynamique, debinarisation... Saufmention particuli`ere,noussupposeronsdans cequisuit desimagescomportantN 2 pixelscod ´essur 256niveauxde grisdiff ´erents.

2.1Correctionponctuelle d'uneimage -Recadragededynamique

Ils'agitd'une transformationdutype f

=t(f)quipermetde modifierladynamique des niveauxde grisdansle butd'am´eliorerl'aspectvisueldel'image.

Aunniveau degrisfde

l'imageoriginale correspondle niveaut(f)dansl'imagetransform ´ee.On faitsubir`achaque pixeluntraitement ned´ependantquede savaleur. Latransformationt(f)peutˆetrer´ealis´ee entemps r´eelsurl'image encoursd'acquisition `al'aided'une tabledetranscodage dansla- quellelesvaleurs dela transformationsontm ´emoris´ees.Unadr essagedecette m´emoirepar unedonn´eeffournitdirectement lavaleurt(f).

2.1.1Transformation derecadrage

Onsupposeune imagede d´epartpr´esentantun histogrammeconcentr´edansl'intervalle recadragededynamiqueconsiste`a´etendreladynamiquedel'image transform´ee`al'´etendue totale[0,255].Latransformation derecadrage estdonc uneapplicationaf finequis'´ecrit: 15

16CHAPITRE2.TRAITEMENT PONCTUELDES IMAGESNUM

ERIQUES

OriginalRecadrage: a=30,b=200

Variantespourlerehaussement descontrastes

Lestypesde correctiondonn ´esci-dessouspermettent d'accentuerlecontraste dansune plagepr´ecisedeniveau. Dilatationdela dynamiquedeszones sombresDilatation deladynamique deszonesclair es

Fonctionder ehaussementde contraste.

2.1.CORRECTION PONCTUELLED'UNEIMAGE -RECADRAGEDEDYNAMIQUE 17

t(f)= b a (255-b)f+255(b-a) 255-a

OriginalHistogramme

Dilatationdela dynamiquedeszones claires

Dilatationdela dynamiquedeszones sombres

18CHAPITRE2.TRAITEMENT PONCTUELDES IMAGESNUM

ERIQUES

2.1.2

Egalisationde l'histogramme

L'histogrammed'uneimageestrar ementplatce quitraduitune entropie nonmaximale.La transformationd'´egalisationestconstr uitede tellefac¸onquel'histogramme del'imagetrans- form´eesoitle plusplatpossible. Cettetechniqueam ´eliorelecontrasteetpermet d'augmenter

artificiellementlaclart ´ed'uneimage grˆace`aunemeilleur er´epartitiondesintensit ´esrelatives.

Fonctiond'aplatissementcontinue

Consid´eronsl'histogrammecontinuh(f)donn´eci-dessous.En notantf =t(f),l'histo- gramme´egalis´eh(f )doits'approcher delaformeid´ealed´ecriteci-dessous. Deuxsurfaces´el´ementairesencorrespondance dansleshistogrammes initiauxet´egalis´es, pr´esententlem ˆemenombre depointscequipermetd' ´ecrire: f =t(f)= 256
N 2 f 0 h(s)ds.

Histogrammed'origineHistogramme platid ´eal

Fonctionid ´ealed'´egalisationd'unhistogramme

Fonctiond'aplatissementdiscr `ete

discr`etesuivante: f =t(f)= 256
N 2 f i=0 h(i).

2.1.CORRECTION PONCTUELLED'UNEIMAGE -RECADRAGEDEDYNAMIQUE 19

OriginalHistogramme

2.1.3Binarisation

Lebutde labinarisation d'uneimageest d'affecterun niveauuniformeau pixelspertinents etd'´eliminerlesautr es.

Seuillage

Leseuillageconsiste `aaffecter leniveau255auxpixels dontlavaleur estsup´erieure`aun seuilSet0le niveauauxautr es.Legraphe delatransformation correspondanteest lesuivant

Fonction"seuillage»

20CHAPITRE2.TRAITEMENT PONCTUELDES IMAGESNUM

ERIQUES

Seuillage`a70

Extractiond'une fenˆetr ed'intensit´e

Aveclatransformationd ´ecriteci-dessous,la nouvelleimagene visualisequeles pixelsdont leeniveau d'intensit´eappartient `al'intervalle[a,b].Sousr ´eserved'uneconnaissance apriori deladistribution desniveauxde grisdesobjets del'imageoriginale, cettetechnique permet unesegmentationd'objets particuliersdel'image.

Fonction"fenˆetred'intensit´e»

OriginalHistogramme

2.2.ANA YSEDELANETTET

ED'UNEIMAGE NUM

ERIQUE21

Seuillageavec fenˆetred'intensit´eentre 30et100

2.2Anaysede lanettet´ ed'uneimage num´erique

Lafocalisationautomatique, oumise aupoint,des syst`emesdeprise devue traditionnels

(appareilsphoto,,graphiquescam´erasanalogiques... )exploite g´en´eralementunt ´el´em`etrequi

mesureavecpr´ecisionladistance appareil-planobjet. Lessyst`emesde visionnum´eriquesac- tuels(appareils etcam´erasnum´eriques... )r´ealisentautomatiquementleur miseaupoint `apar-

tird'uneanalyse del'image restitu´ee.Pourcela uncrit`eredenettet´edel'image estd´etermin´e

`apartirdes valeursf(i,.j):= f ij del'intensit´e(luminance)des pixels.

Ungrandnombr edecrit `eresa´et´epropos ´e.Parmiles plusutilis´esfigurent lescrit`eresbas´es

surl'analyse deladistribution desniveauxd'intensit ´epixel etceuxmesurant lecontenuspec- traldel'image. Lapremi `erecat´egorierepose surlefaitquelad ´efocalisationengendr el'uniformisationdes niveauxdegris, oucequi revientau mˆeme,quel'imagenettepr ´esentel'histogramme leplus large. Lasecondecat ´egorierepose surleprincipesimilairequ'une imagefocalis´ eecontientplus defr ´equencesspatiales´elev´eesqu'uneimage floue. Danstoutesces m´ethodes,onr echerchela distancedemiseaupointquiassurela majora- tionducrit `ere

2.2.1Exemplesde crit`eres denettet´ e

Crit`eresdenettet´ebas´ essurl'analyse del'histogrammedel'image

Onnoteh

k ladistributionstatistique (histogramme)des niveauxkd'intensit´edes pixels.

22CHAPITRE2.TRAITEMENT PONCTUELDES IMAGESNUM

ERIQUES

Crit`eremath´ematique

M´ethodedeF=

k>T kh k

MendelsohnTestunparam `etrechoisi

etMayallprocheduniveaudegris moyendel'image

M´ethodedeF=

k>T (k-T)h k etT= i j f ij ij i j ij

MasonetGreen Δ

ij =2 (f i,j+1 -f i,j-1 2 +(f i+1,j -f i-1,j 2 +(f i-1,j-1 -f i+1,j+1 2 +(f i-1,j+1 -f i+1,j-1 2

VariancedesF=

i j f 2 ij N 2 i j f ij 2 N 4 niveauxdegris Crit`eresdenettet´ebas´ essurl'analyse spectraledel'image

Crit`eremath´ematique

Norme?

1 dugradient 1 F= i,j (|f i,j -f i,j-1 |+|f i,j+1 -f i,j

Norme?

2 dugradientF= i,j (f i+1,j -f i,j 2 +(f i,j+1 -f i,j 2

Remarquesg´ en´erales

queleursperformances d´ependentdutype etducontenu del'imageanalys ´ee; -Enr `egleg´en´erale,l'extremum descrit`eresestpeuprononc ´elorsquel'image contientpeu ded´etails

2.3.CORR

ELATIOND'IMAGESNUM

ERIQUES23

-L'algorithmedeBrennerest souventutilis´ecaril pr´esenteg´en´eralementunebonne sen- sibilit´eet lacharge decalculsqu'il n´ecessiteestraisonnable.

2.3Corr´ elationd'imagesnum´eriques

N. Cesfonctionssont repr´esentativesdedeux imagesnum´eriquesmonochromes comportant N 2 pixels.Leursversions centr´eesetr ´eduitessontd ´efiniesrespectivement par f c (i,j)= f(i,j)-µ f f etg c (i,j)= g(i,j)-µ g g o`uµetσsontrespectivement lamoyenneetl'´ecarttypede chaquefonction.

Lafonctiond'intercorr´elationentref

c etg c estd´efiniepar larelation : fg (k,l)= 1 N 2 i,j f c (i,j)g c (i-k,j-l).(2.3.1) Ilestsouvent pluspratiquede travaillersurdes imagesdontles valeurssontcentr ´eeset r´eduites.Cecipermet d'unepart d'´eliminerde? fg (k,l)lecarr ´edesmoyennes desimages, d'autrepartdenormaliserles fonctionsdecorr ´elation. Pour´eviterlesef fetsdebor dquiintroduisentunbiais danslecalcul de? fg (k,l)ilconvient:quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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