Nombres complexes. Écriture algébrique. Conjugué.
On pose j=?. 1. 2. +i. ?3. 2 . 1. (a) Donner j2 et j3 sous forme algébrique. (b) En déduire l'écriture algébrique de j12 et de j29 .
J 3-1 - Etablissements secondaires
Poitiers Pensionnat des Frères des écoles chrétiennes J 3-1 boîte 8 Saint-Maixent
VECTEURS ET REPÉRAGE
O ?. Repère quelconque. ?. ?. I. J. O. Page 2. 2 sur 7. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Les coordonnées de HHHHH? se
SOMMAIRE DES ANNEXES A-0- Lettre aux parents de troisième A
J-2-9-Fiche de candidature au dispositif Euro+ de Jeanne d'Arc Nancy · J-3-0-Dossier d'affectation post 3eme · J-3-1-Familles de métiers en 2cde
Considérons les matrices `a coefficients réels : A = - ( 2 1
Exercice 6 – Tij(?) étant la matrice élémentaire qui correspond `a ajouter `a 3) Montrer que nous avons aussi M = T2
Calcul littéral Préparation à la rentrée en classe de troisième
J= a(–a+5). Réponses: A= 12a – 24 C= –10 + 20a. Dans l'autre sens maintenant. Retrouvez le produit (= factoriser). A= 6a + 8. B= 15+25z. C= 12a+ 8b +16.
Nombres complexes
Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1 j
les matrices sur Exo7
Le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne est noté aij. Si possible calculer l'inverse des matrices : 3 1. 7 2
3ème Révisions – Fonctions linéaires et affines
j(x) = 3x × 5 k(x) = 6 l(x) = 6(4x – 2) m(x) = 6x + 5 – 6x n(x) = 5x(2x – 1) f(3) = 1 et f(5) = 9. • g(3) = 9 et g(-2) = -11. • h(2) = -5 et h(5) = -14.
Partie 1 : Intervalles de ?
a) - On représente les intervalles I et J sur un même axe gradué. Les nombres de l'intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
(On dit que j est une racine cubique de 1) On peut en déduire j3 = j x j2 = j x j = j2 = 1 b) Argument Définition 3 = 1 donc AC = AB
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Exercices de mathématiques
Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1 j j2 3) 1 2 (-1-i / 3) • L'équation z2 -(1+2i)z+i-1 = 0 a pour solutions : 1+i i
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Cours de mathématiques
Écrire sous la forme a + i b les nombres complexes (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)4 (1 + i)8 3 En déduire 1 + (1 + i)+(1 + i)2 + ··· + (1 + i)7
[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1
3 = 1 (donner les solutions sous forme algébrique et trigonométrique) Si j'ai mis 64 en facteur c'est que maintenant il suffit de trouver une racine
[PDF] 1 Corps des nombres complexes
Introduction : Au paragraphe 1 1 nous rappelons la définition de l'ensemble des nombres complexes muni de leurs opérations d'addition et de multiplication
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
A l'origine de l'apparition des nombres complexes se trouvent les recherches menées sur la résolution des équations du troisième degré
[PDF] 1 Nombres complexes - LAMA - Univ Savoie
3 1• Groupe U des nombres complexes de module 1 L'ensemble U des nombres complexes de module 1 muni du produit défini sur
[PDF] Nombres complexes Écriture algébrique Conjugué
On pose j=? 1 2 +i ?3 2 1 (a) Donner j2 et j3 sous forme algébrique (b) En déduire l'écriture algébrique de j12 et de j29
[PDF] NOMBRES COMPLEXES - AlloSchool
1 2 2 3 1 2 2 D z i i i i = + + - - - = - Exercice 4 : soient dans le plan complexe les points :A ; B ; C ; D ; E d'affixes respectivement :
Comment comparer deux nombres complexes ?
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Le conjugué de z est le complexe ¯z défini par ¯z = a ? ib. On utilise fréquemment les propriétés z = ¯z ? z ? R, et z = ?¯z ? z ? iR (c'est `a dire z imaginaire pur).Comment déterminer l'ensemble des nombres complexes ?
On désigne par ? l'ensemble des nombres complexes et par « i » un élément de ? tel que i 2 = ?1. Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique : z = a + ib avec a ? ? et b ? ?.Quelle est la formule mathématique la plus complexe ?
Appellé «le dernier théorème de Fermat», cette équation avait été posé en 1637 par le mathématicien fran?is Pierre Fermat. Il l'avait formulée ainsi : «il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que : xn + yn = zn, dès que n est un entier strictement supérieur à 2».- On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d'un nombre complexe z = (x, y) l'expression z = x +jy. si x = 0, alors z = jy est un nombre imaginaire pur: z ?I L'ensemble des nombres imaginaires purs se note I.
Exercices Corriges
Matrices
Exercice 1{Considerons les matrices a coecients reels :A= 2 1
2 1! ; B= 1 2 24!C=0 B @1 1 2 1 0 1 11 01 C
A; D=0
B @11 1 1 0 10 1 01
CA; E= 11 1
1 0 1!
Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,CD,DC,AE,CE.Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)
On considere les matrices a coecients reels :
A= 1 1
1 1!B= 431
2 1 1!
C= 1 2
12! Calculer, s'ils ont un sens, les produitsAB;BA;AC;CA;B2. Exercice 3{On considere les matrices a coecients reels :A= 1 3
2 4!B= 431
2 1 1!
C= 43 2 1!1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.
2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.
Exercice 4{SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2;3(R) denies par :A= 4 3
1 1! ; B= 1 0 2 1 11! Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A2,B2etA+ 2Id2.Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :
A= 22 0
4 22!2M2;3(R); B=0
B @1 1 1 2 131C
A2M3;2(R); C= 11
1 2!2M2;2(R)
Determiner les produits denis 2 a 2 de ces trois matrices. Exercice 6{Ti;j() etant la matrice elementaire qui correspond a ajouter a la ligneile produit parde la ligne j, preciser la matriceT2;1(12 ) deM2;2(R), puis la matriceT1;2(2)T2;1(12 1 Exercice 7{1) Preciser les matrices elementaires deM3;3(R) : D2(2); T3;2(3); T2;1(2):
2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).
3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.
Exercice 8{Appliquer avec precision aux matricesMetNsuivantes l'algorithme du cours qui determine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 23 11!2M2;2(R)et N= 23
46!2M2;2(R):
Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)
1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser
son inverse :A= 1 2
3 4!2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 10{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 11 23!2M2;2(R):
2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 11{) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice :M= 2 1
3 2!2M2;2(R):
Preciser une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires. Exercice 12{SoitAetBdeux matrices carrees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d'inverse la matriceC. Montrer alors queBest inversible et preciserA1.Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)
SoitXetYdeux matrices carrees non nulles de m^eme taille a coecients reels, montrer que siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles.Exercice 14{SoitM=0
B @2 4 1 2 5 11 2 11
C A.1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice
M1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.
22) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).
4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.
5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee
dans le cours.Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)
1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 20 4 61
CA2M3;3(R):
Quelle est la valeur deM1?
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :
2XM=0 B @1 0 0 0 1 0 02 11 C A: Exercice 16{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverse M1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 10 2 31
CA2M3;3(R):
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.
Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :
M=0 B @1 01 2 3 40 1 11
C A:1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.
2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme
produit de matrices elementaires.3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :
(m)2 6 4x 1x3=m2x1+ 3x2+ 4x3= 1
+x2+x3= 2m: 3Correction de l'exercice ?? :
Le lecteur veriera que :
AB= 0 0
0 0! ; BA= 6 3 126!CD=0 B @0 1 2 1 0 1 21 01
C
A; DC=0
B @123 2 0 21 0 11
CA; AE= 12 3
12 3! Le produitCEn'a pas de sens car la taille des colonnes (a savoir 2) deEest dierent de la taille des lignes (a savoir 3) deC.Correction de l'exercice ?? :
On trouve :
AB= 22 0
22 0!AC= 0 0
2 0!CA= 3 3
33!Les deux autres produitsB2etBAn'ont pas de sens.
Correction de l'exercice ?? :
1)AB= 2 0 2
02 2! BAn'a pas de sens car la taille des lignes deBn'est pas egale a celle des colonnes deA.AC= 2 0
02! =2Id2:CA= 2 0
02! =2Id2:CB= 22157
10 7 3!
BCn'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deC. B2n'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deB.
2) Nous avons :AC=CA=2Id2, nous en deduisons :
A(12C) = (12
C)A= Id2:
Il en resulte que la matriceAest inversible, d'inverse : A 1=12C= 232
1124
De m^eme :
(12A)C=C(12
A) = Id2:
Il en resulte que la matriceCest inversible, d'inverse : C 1=12 A= 12 3212!
Correction de l'exercice ?? :
AB= 7 311
2 13!La matriceBAn'a pas de sens.
A2=AA= 139
32!La matriceB2n'a pas de sens.
A+ 2Id2= 4 3
1 1! + 2 1 0 0 1! = 2 3 1 3!Correction de l'exercice ?? :
AB= 02
4 14! ; BA=0 B @6 02 10 24108 61
CA; CA= 24 2
10 24!
BC=0 B @2 1 3 3 271C
A; C2= 03
3 3!Les matricesAC,CB,A2etB2ne sont pas denis.
Correction de l'exercice ?? :
T2;1(12
) =T2;1(12 )I2=T2;1(12 ) 1 0 0 1! = 1 0 12 1! De m^eme, en utilisant les proprietes des actions a gauche par les matrices elementaires, on obtient : T1;2(2)T2;1(12
) =T1;2(2) 1 0 12 1! = 02 12 1!Correction de l'exercice ?? :
1.1) 5 D2(2) =D2(2)I3=D2(2)0
B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A=0 B @1 0 0 02 00 0 11
C A: T3;2(3) =T3;2(3)I3=T3;2(3)0
B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A=0 B @1 0 0 0 1 00 3 11
C A: T2;1(2) =T2;1(2)I3=T2;1(2)0
B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A=0 B @1 0 0 2 1 00 0 11
C A: 1.2)A=T3;2(3)D2(2)T2;1(2) =T3;2(3)D2(2)0
B @1 0 0 2 1 00 0 11
C A:A=T3;2(3)0
B @1 0 0 42 00 0 11
C A: A=0 B @1 0 0 42 0126 11
C A: 1.3) 6 A1= (T3;2(3)D2(2)T2;1(2))1
=T2;1(2)1D2(2)1T3;2(3)1 =T2;1(2)D2((1=2))T3;2(3) =T2;1(2)D2((1=2))T3;2(3)0 B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A =T2;1(2)D2((1=2))0 B @1 0 0 0 1 0 03 11 C A =T2;1(2)0 B @1 0 00(1=2) 0
03 11 C A 0 B @1 0 02(1=2) 0
03 11 C A:Correction de l'exercice ?? :
a) Les deux lignes deMsont d'ordre 1. Donc,Mest ordonnee. M1=T2;1(12
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