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Echantillonnages

et estimations M lle .TOUATES. 1

M.AITOUDRA M.

PLAN DU COURS

Introduction générale;

Chapitre I: Rappel sur les différentes lois de probabilité;

Chapitre II: Théorie d'échantillonnage;

Chapitre III: Estimation ponctuelle;

Chapitre IV: Estimation par intervalle de confiance;

Chapitre V: Théorie des tests

BIBLIOGRAPHIE INDICATIVE

"Statistiques pour l'économie et la gestion» Anderson,

Sweeneyet Williams;

"Eléments de statistique d'aide à la décision: cours et exercices résolus» par M.ELHAFIDI et D.TOUIJAR;

enpopulationsfinies»parYvesTillé; 3 4 statistique consisteàtraiteretinterpréterles informationsrecueillies.

Elle comporte deux grands aspects: l'aspect

descriptif ou exploratoire et l'aspect inférentielou décisionnel. 5

Introduction générale

Probabilité (S2): théorie mathématique permettant de modéliser des phénomènes où le hasard intervient et d´écrire des expériences aléatoires. 6

Introduction générale

échantillon.

Introduction générale

l'ensembledelapopulation. 8

Introduction générale

échantillon).

Introduction générale

tropimportant(coûtettemps); populationindéfinie) 10

Introduction générale

lapopulation(représentatif)dontonva 11

Introduction générale

peuvent-ilsêtreestimésàpartirde l'échantillon?(estimation) 12

Introduction générale

deconduiredesanalyses.

Méthodedesquotas;

Échantillonnagealéatoire;

Échantillonnageauhasardsimple;

Échantillonnagestratifié;

Échantillonnagepargrappe;...

13 (techniquedéchantillonnage,chapitre2) provenantd'unepopulationdeloide surcettepopulation:quelleestsaloi (problèmed'estimation,chapitre3et4), aumieuxlerisquedesetromper(problème detestchapitre5). 14

Introduction générale

tirerdesconclusionsausujetd'untouteny examinantunepartie.Ilnouspermetd'estimer descaractéristiquesd'unepopulationen l'ensembledelapopulation. 15

CHI:LOIS USUELLES CONTINUES

Loi normale très utilisée en statistique inférentielle; Importante = une loi approchée par de nombreux phénomènes naturels;

Dépend de deux paramètres;

Elle est symétrique.

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

I.LOI NORMALE

A.Loi normale générale

a. Définition On dit qu'une v.a.rX suit une loi Normale de paramètres et si: 17

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

b. Espérance et Variance: c. Caractéristiques: 18

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

decetaxedesymétrie

fatteintsonmaximumlorsquex=

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

Remarque:La loi Normale générale n'est pas

Tabulée

B. La loi Normale Centrée et Réduite:

a. Variable Centré et Réduite:

Soit X une v.a:

S'appelle Variable Centrée.

S'appelle Variable Centrée et Réduite.

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

Si une V.A suit une loi normale générale, il est difficile de calculer sa fonction de répartition F(x).

Pour tous les calculs, on se ramène à la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite (une loi TABULEE).

Centrer et réduire une variable, c'est raisonner en nombre d'écart type par rapport à la moyenne.

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

type1

E(U)= 0

V(U)= 1

centréeréduite: 22

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

b. Théorèmes si

Quelle est la loi de Y=a X+b?

ALORS 23

Chapitre I (suite)

Sachant que X1 et X2 sont indépendant,

quelle est la loi de X= aX1+bX2 ?

Conclusion

Chapitre I (suite)

Exercice

Soit . Donner la loi de probabilité de Soit .Donner la loi de probabilité de X

1 et X2 sont indépendantes

Chapitre I (suite)

C.ThéorémeCentral Limit(T.C.L)

LeTCLseratrèsprécieuxpuisqu'ilnous

expliquentquesionfaitlasommed'untrès quelquonque,cettesommesuit approximativementuneloinormale. 26

Chapitre I (suite)

Soit avec (n) variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes.

Alors:

suit une loi Normale de paramètres

Chapitre I (suite)

D. Calcul des probabilités

a. fonction de répartition de

Soit et

Alors la fonction de répartition est notée Avec

Cette fonction est Tabulée

Chapitre I (suite)

La lecture de la table

•Elle donne la valeur deconnue •Elle donne la valeur de (u) pour connue

EXEMPLE

•Pour les valeurs négatives •Pour les valeurs inférieures à 0,5, on utilise la symétrie de la distribution 30

Chapitre I (suite)

Pour certaines valeurs qui ne figurent pas sur la table, on utilise l'intérpolationlinéaire 31

Chapitre I (suite)

Exercices d'applications

Exercice1

Soit

Calculer

d'Ecarttype100. 650
,plusde746,moinsde500,entre550et600 32

Chapitre I (suite)

Exercice II

variablenormale(X).Onconsidèredeux ouvriersAetBtravaillentindépendamment l'unedel'autre. •PourA •PourB 33

Chapitre I (suite)

avantB,lapremièreunitéproduite?

ExerciceIII

Calculer

DéterminerlavaleurdeU

34
Expliquer les caractéristiques d'une loi NORMALE; 35

Chapitre I (suite)

II. Loi de khi-deux(Loi de Karl Pearçon)

a. Théorème SoitU 1 ,U 2 ...,U v unesuitede(v)variablesNormales

Xsuituneloidechideux

x 2

à(v)dégréedeliberté.

Chapitre I (suite)

(v représente le paramètre) X= x 2 (v) b.Caractéristiquesde la distribution de x 2 (v)

La distribution x

2(v) est dissymétrique pour les petites valeurs de (v)

La distribution x

2(v) commence à devenir symétrique à partir v=30 37

Chapitre I (suite)

c. L'espérance et la variance X=x 2 (v)

E(X)= v

V(X)= 2v

Exemple

X=x 2 (10) E(x 2 (10) )= 10 V(x 2 (10) )= 2 ×10 X= x 2 (5) E(x 2 (5) )= 5 V(x 2 (5) )= 2 ×5 38

Chapitre I (suite)

d. Comportement asymétrique (Approximation) •Approximation de Fisher: •Approximation générale:

Si ǀш101 alors:

Chapitre I (suite)

e. Lecture de table de x 2 (v)

Latablex

2 (v) donnelesvaleursdelaV.Ax 2 (v)

Elledonne:

-Laprobabilitéɲsix 2 (v) et(v)sontconnus -Lavaleurdex 2(v) siɲet(v)sontconnus. 40

Chapitre I (suite)

Exercices d'application

ExerciceI

Détermineralavaleurde(k)danschacundes

cassuivants: •P(x 2 (17) >k)=0,25 •P(x 2 (24) >k)=0,01 •P(x 2 (29)

Chapitre I (suite)

Exercice 2:

1-Calculer le quantile d'ordre 10% pour la V.A x

2 (10)

2-Déterminer la médiane de x

2 (15)

Exercice 3:

Déterminer les valeurs k

1 etk 2 dans chacune d des eux cas suivants:

P(k

1 P(k 1

Chapitre I (suite)

estnoté(q )avec:P(XAutrement dit: 43

Chapitre I (suite)

Exercice

4 En utilisant l'approximation de Fisher. Calculer la valeur de k 1 telle que: P( x 2 (60) 0,8413

Exercice

Soit X= x

2 (200)

Calculer la valeur de k telle que:

P(X>k)=0,0708

Chapitre I (suite)

III. Loi de Student(William SealyGosset)

a.Définition

Soit U=N(

0,1) et X= x

2 (v)

Avec Uet X sont indépendantes

Alors:

Suit une loi studentà (v)degré de liberté.

Notation:T = stud

(v) 45

Chapitre I (suite)

b. Espérance mathématique et variance

Soit T = stud

(v)

E(T)= 0 (existe si v>1)

V(T)=(existe si v>2)

c. Comportement asymétrique

Soit T = stud

(v)

Si (v) tend vers l'infinialors T tend vers N(0,1)

Chapitre I (suite)

Remarque

La loi de Studentest généralement utilisée pour les petits échantillons lorsque la variance de la population est inconnue. 47

Chapitre I (suite)

IV. Loi de Fisher-Snédécor

a.Définition X 1 = x 2 (v1) et X 2 = x 2 (v2) X 1 et X 2 deux variables indépendantes

Alors la variable:

Suit une loi de Fisher de paramètres v

1 et v 2 notée 48

Chapitre I (suite)

Remarque

La distribution de Fisher, comme celle de x

2 n'est pas symétrique. b. Règle empirique de Fisher

Avecest telle que:

Chapitre I (suite)

LatabledonnelesvaleursdeFpouravecla

règleempirique: 50

CHII:ECHANTILLONNAGE

I-Définitions

a-Population 51

CHII (suite)

-Paramètresdelapopulation:Cesontles statistique

Moyennedelapopulation(µ)=E(X);

Variancedelapopulation(ʍ

2 )=V(X);

Proportiondelapopulation=P

Echantillon

ou"populationéchantillonnée» 52

àunequestionconcernantunepopulation.

Exemple1:

Exemple 2:

Pourestimerlenombremoyendekilomètres

kilomètres .Parconséquent,uneestimationdu kilométragemoyenpourlapopulationdes nouveauxpneusestde36500kilomètres. 54
55

Sélectionner un échantillon:

comment sélectionner un échantillon à partir d'une population finie? comment sélectionner un échantillon à partir d'une population infinie? d'échantillonnageprobabilistes. d'échantillonaléatoiresimple 56

CHII ( suite)

Echantillonaléatoiresimple(E.A.S)

(populationfinie):Laconstructiond'un denindividusdansl'ensembledela population .Ainsi,touslesindividusseront 57

CHII (suite)

Autrement dit, On dit qu'un échantillon (X

1 X 2 X 3 X n ) est aléatoire simple si et seulement si: -Quelque soit i= 1, 2, 3,...,n; la loi de Xquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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Echantillonnages

M.AITOUDRA M.

PLAN DU COURS

Introduction générale;

Chapitre II: Théorie d'échantillonnage;

Chapitre III: Estimation ponctuelle;

Chapitre V: Théorie des tests

BIBLIOGRAPHIE INDICATIVE

Sweeneyet Williams;

Elle comporte deux grands aspects: l'aspect

Introduction générale

Introduction générale

échantillon.

Introduction générale

Introduction générale

échantillon).

Introduction générale

Introduction générale

Introduction générale

Introduction générale

Méthodedesquotas;

Échantillonnagealéatoire;

Échantillonnageauhasardsimple;

Échantillonnagestratifié;

Échantillonnagepargrappe;...

Introduction générale

CHI:LOIS USUELLES CONTINUES

Dépend de deux paramètres;

Elle est symétrique.

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

I.LOI NORMALE

A.Loi normale générale

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

fatteintsonmaximumlorsquex=

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

Tabulée

B. La loi Normale Centrée et Réduite:

Soit X une v.a:

S'appelle Variable Centrée.

S'appelle Variable Centrée et Réduite.

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

E(U)= 0

V(U)= 1

ChI: LOIS USUELLES CONTINUES

Quelle est la loi de Y=a X+b?

Chapitre I (suite)

Sachant que X1 et X2 sont indépendant,

Conclusion

Chapitre I (suite)

Exercice

1 et X2 sont indépendantes

Chapitre I (suite)

C.ThéorémeCentral Limit(T.C.L)

LeTCLseratrèsprécieuxpuisqu'ilnous

Chapitre I (suite)

Alors:

suit une loi Normale de paramètres

Chapitre I (suite)

D. Calcul des probabilités

Soit et

Cette fonction est Tabulée

Chapitre I (suite)

Chapitre I (suite)

La lecture de la table

EXEMPLE

Chapitre I (suite)

Chapitre I (suite)

Exercices d'applications

Exercice1

Soit

Calculer

Chapitre I (suite)

Exercice II

Chapitre I (suite)

ExerciceIII

Calculer

DéterminerlavaleurdeU

Introduction générale;

Chapitre II: Théorie d'échantillonnage;

Chapitre III: Estimation ponctuelle;

Chapitre V: Théorie des tests

Méthodedesquotas;

Échantillonnagealéatoire;

Échantillonnageauhasardsimple;

Échantillonnagestratifié;

Échantillonnagepargrappe;...

Dépend de deux paramètres;

Elle est symétrique.

fatteintsonmaximumlorsquex=

Soit X une v.a:

S'appelle Variable Centrée.

S'appelle Variable Centrée et Réduite.

E(U)= 0

V(U)= 1

Sachant que X1 et X2 sont indépendant,

Conclusion

Exercice

C.ThéorémeCentral Limit(T.C.L)

suit une loi Normale de paramètres

Exercices d'applications

Exercice1

Soit

Calculer

Calculer

DéterminerlavaleurdeU

La distribution x

La distribution x

E(X)= v

V(X)= 2v

Latablex

Elledonne:

P(k