CHAPITRE XI RÉCAPITULATION DES PRINCIPAUX RÉSUMÉS
Résumé du chapitre IV (Induction statistique - cas de la variance) . loi continue tabulée utilisée pour l'estimation dans les petits échantillons.
Echantillonnage et estimation des paramètres
Echantillonnage et estimation des paramètres. Etude Statistique = Etude des caractéristiques (variables statistiques) d'une population.
Estimations et intervalles de confiance
En résumé estimer un paramètre inconnu
Ch. 5 : Echantillonnage estimation
Estimation ponctuelle. Pour estimer un param`etre de C (par exemple la moyenne µ ou l'écart-type ?) on choisit un échantillon particulier
Cours de Statistiques inférentielles
ECHANTILLONNAGE ESTIMATIONS. Théorème 3.1.2 Toute somme de variables aléatoires normales indépendantes est une variable aléatoire normale.
ESTIMATION DE PARAMÈTRES
Définition : Un estimateur est sans biais si la moyenne de sa distribution d'échantillonnage est égale à la valeur ?du paramètre de la population à estimer
Chapitre 1 : LÉCHANTILLONNAGE
L'échantillonnage aléatoire. 1.3. Estimation ponctuelle. 1.4. Distributions d'échantillonnage. 1.5. Intervalles de probabilité
RESUME DE CE QUIL FAUT SAVOIR EN BTS
Recherche dans le cas d'une loi normale quelconque. Technique utilisée dans les sujets d'examen. Echantillonnage. Estimation. Intervalle de fluctuation
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Cette statistique est appelée estimateur Population Échantillon aléatoire simple Observations X l(x m) X1X2
Echantillonnages
et estimations M lle .TOUATES. 1M.AITOUDRA M.
PLAN DU COURS
Introduction générale;
Chapitre I: Rappel sur les différentes lois de probabilité;Chapitre II: Théorie d'échantillonnage;
Chapitre III: Estimation ponctuelle;
Chapitre IV: Estimation par intervalle de confiance;Chapitre V: Théorie des tests
2BIBLIOGRAPHIE INDICATIVE
"Statistiques pour l'économie et la gestion» Anderson,Sweeneyet Williams;
"Eléments de statistique d'aide à la décision: cours et exercices résolus» par M.ELHAFIDI et D.TOUIJAR;
enpopulationsfinies»parYvesTillé; 3 4 statistique consisteàtraiteretinterpréterles informationsrecueillies.Elle comporte deux grands aspects: l'aspect
descriptif ou exploratoire et l'aspect inférentielou décisionnel. 5Introduction générale
Probabilité (S2): théorie mathématique permettant de modéliser des phénomènes où le hasard intervient et d´écrire des expériences aléatoires. 6Introduction générale
échantillon.
7Introduction générale
l'ensembledelapopulation. 8Introduction générale
échantillon).
9Introduction générale
tropimportant(coûtettemps); populationindéfinie) 10Introduction générale
lapopulation(représentatif)dontonva 11Introduction générale
peuvent-ilsêtreestimésàpartirde l'échantillon?(estimation) 12Introduction générale
deconduiredesanalyses.Méthodedesquotas;
Échantillonnagealéatoire;
Échantillonnageauhasardsimple;
Échantillonnagestratifié;
Échantillonnagepargrappe;...
13 (techniquedéchantillonnage,chapitre2) provenantd'unepopulationdeloide surcettepopulation:quelleestsaloi (problèmed'estimation,chapitre3et4), aumieuxlerisquedesetromper(problème detestchapitre5). 14Introduction générale
tirerdesconclusionsausujetd'untouteny examinantunepartie.Ilnouspermetd'estimer descaractéristiquesd'unepopulationen l'ensembledelapopulation. 15CHI:LOIS USUELLES CONTINUES
Loi normale très utilisée en statistique inférentielle; Importante = une loi approchée par de nombreux phénomènes naturels;Dépend de deux paramètres;
Elle est symétrique.
16ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
I.LOI NORMALE
A.Loi normale générale
a. Définition On dit qu'une v.a.rX suit une loi Normale de paramètres et si: 17ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
b. Espérance et Variance: c. Caractéristiques: 18ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
decetaxedesymétriefatteintsonmaximumlorsquex=
19ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
Remarque:La loi Normale générale n'est pasTabulée
B. La loi Normale Centrée et Réduite:
a. Variable Centré et Réduite:Soit X une v.a:
S'appelle Variable Centrée.
S'appelle Variable Centrée et Réduite.
20ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
Si une V.A suit une loi normale générale, il est difficile de calculer sa fonction de répartition F(x).Pour tous les calculs, on se ramène à la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite (une loi TABULEE).
Centrer et réduire une variable, c'est raisonner en nombre d'écart type par rapport à la moyenne.
21ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
type1E(U)= 0
V(U)= 1
centréeréduite: 22ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
b. Théorèmes siQuelle est la loi de Y=a X+b?
ALORS 23Chapitre I (suite)
Sachant que X1 et X2 sont indépendant,
quelle est la loi de X= aX1+bX2 ?Conclusion
24Chapitre I (suite)
Exercice
Soit . Donner la loi de probabilité de Soit .Donner la loi de probabilité de X1 et X2 sont indépendantes
25Chapitre I (suite)
C.ThéorémeCentral Limit(T.C.L)
LeTCLseratrèsprécieuxpuisqu'ilnous
expliquentquesionfaitlasommed'untrès quelquonque,cettesommesuit approximativementuneloinormale. 26Chapitre I (suite)
Soit avec (n) variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes.Alors:
suit une loi Normale de paramètres
27Chapitre I (suite)
D. Calcul des probabilités
a. fonction de répartition deSoit et
Alors la fonction de répartition est notée AvecCette fonction est Tabulée
28Chapitre I (suite)
29Chapitre I (suite)
La lecture de la table
•Elle donne la valeur deconnue •Elle donne la valeur de (u) pour connueEXEMPLE
•Pour les valeurs négatives •Pour les valeurs inférieures à 0,5, on utilise la symétrie de la distribution 30Chapitre I (suite)
Pour certaines valeurs qui ne figurent pas sur la table, on utilise l'intérpolationlinéaire 31Chapitre I (suite)
Exercices d'applications
Exercice1
Soit
Calculer
d'Ecarttype100. 650,plusde746,moinsde500,entre550et600 32
Chapitre I (suite)
Exercice II
variablenormale(X).Onconsidèredeux ouvriersAetBtravaillentindépendamment l'unedel'autre. •PourA •PourB 33Chapitre I (suite)
avantB,lapremièreunitéproduite?ExerciceIII
Calculer
DéterminerlavaleurdeU
34Expliquer les caractéristiques d'une loi NORMALE; 35
Chapitre I (suite)
II. Loi de khi-deux(Loi de Karl Pearçon)
a. Théorème SoitU 1 ,U 2 ...,U v unesuitede(v)variablesNormalesXsuituneloidechideux
x 2à(v)dégréedeliberté.
36Chapitre I (suite)
(v représente le paramètre) X= x 2 (v) b.Caractéristiquesde la distribution de x 2 (v)La distribution x
2(v) est dissymétrique pour les petites valeurs de (v)La distribution x
2(v) commence à devenir symétrique à partir v=30 37Chapitre I (suite)
c. L'espérance et la variance X=x 2 (v)E(X)= v
V(X)= 2v
Exemple
X=x 2 (10) E(x 2 (10) )= 10 V(x 2 (10) )= 2 ×10 X= x 2 (5) E(x 2 (5) )= 5 V(x 2 (5) )= 2 ×5 38Chapitre I (suite)
d. Comportement asymétrique (Approximation) •Approximation de Fisher: •Approximation générale:Si ǀш101 alors:
39Chapitre I (suite)
e. Lecture de table de x 2 (v)Latablex
2 (v) donnelesvaleursdelaV.Ax 2 (v)Elledonne:
-Laprobabilitéɲsix 2 (v) et(v)sontconnus -Lavaleurdex 2(v) siɲet(v)sontconnus. 40Chapitre I (suite)
Exercices d'application
ExerciceI
Détermineralavaleurde(k)danschacundes
cassuivants: •P(x 2 (17) >k)=0,25 •P(x 2 (24) >k)=0,01 •P(x 2 (29)Chapitre I (suite)
Exercice 2:
1-Calculer le quantile d'ordre 10% pour la V.A x
2 (10)2-Déterminer la médiane de x
2 (15)Exercice 3:
Déterminer les valeurs k
1 etk 2 dans chacune d des eux cas suivants:P(k
1Chapitre I (suite)
estnoté(q )avec:P(XAutrement dit: 43
Chapitre I (suite)
Exercice
4 En utilisant l'approximation de Fisher. Calculer la valeur de k 1 telle que: P( x 2 (60)0,8413 Exercice
5:Soit X= x
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