[PDF] D-TdS-Echantillonnage.pdf Signal numérique filtré. Algorithmes

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TNSH. Garnier1Hugues GARNIERhugues.garnier@univ-lorraine.frRappels sur la théorie de l'échantillonnageDe l'analogique au numérique

TNSH. Garnier2Image du jour•Le 4 octobre 1957, Spoutnik-1, premier satellite artificiel (forme sphérique de 83 cm de diamètre équipé de 4 antennes) est mis en orbite autour de la Terre par les Russes•1958 : la NASA est créée

TNSH. Garnier3Signal du jour : "Bip-bip» émis par Spoutnik Premier signal extra-terrestre créé par l'hommeSource: https://soundcloud.com/nasa/sputnik-beepS'il est invisible depuis la terre, Spoutnik-1 se fait par contre entendre!Ses "bip-bip» stridents, diffusés par deux émetteurs dans les 20 et 40 MHz, ont pu être captés par les radio-amateursdu monde entier

TNSH. Garnier4Spectre du signal envoyé par Sputnik TNSH. Garnier5Spectre du "bip» envoyé par Sputnik

TNSH. Garnier6Etapes principales pour effectuer un traitement numérique sur un signal analogiqueSignal numériqueoriginalAnalyse spectraleConception de filtres numériquesSignal numériquefiltréAlgorithmes de traitement numérique du signalSignal analogiqueoriginalNumérisationQuantification-échantillonnage

TNSH. Garnier7Numérisation des signaux dans votre vie quotidienne ... sans le savoir

TNSH. Garnier8•La conversion est caractérisée par deux discrétisations-la1èreconcerneletempsetportelenomd'échantillonnage:celaconsisteàprendredeséchantillonsdusignalanalogiqueàdesinstantsrégulièrementespacés-La2econcernel'amplitudeetportelenomdequantification:celaconsisteàcoderl'amplitudedusignalsurunnombrefinid'élémentsbinaires:CANConversion d'un signal analogique en signal numériqueSignal échantillonnése(t)

e T t

0 1 2 3 4 5 Signal quantifié0 1 2 3 4 5

e T t

76543210sq(t)

TNSH. Garnier9Synoptique d'une chaîne de numérisation d'un signal analogiqueTeSignalnumériqueFiltre anti-repliementCANSignalanalogiqueEchantillonneurSignal échantillonnése(t)

e T t

0 1 2 3 4 5 Signal quantifié0 1 2 3 4 5

e T t

76543210sq(t)0 1 2 3 4 5

e T t a0a1a2 e T t e T t

0 1 2 3 4 5 s(t)

e T t

TNSH. Garnier10•Précisiondenumérisationvialechoixdupasdequantification-CeproblèmepeutêtreassezfacilementtraitéenaugmentantlenombredebitsduCAN-Pluslenombredebitsestélevé,pluslenombredevaleurspossiblesestimportant,pluslaplagedynamiqueestgrandeetmeilleureestlaprécisiondenumérisationChoix à effectuer lors de la numérisation d'un signal analogique

TNSH. Garnier11•Précisiondediscrétisationvialechoixdelafréquenced'échantillonnage-fedoit être suffisamment élevée si l'on ne veut pas perdre trop d'informations sur le signal-Cependant plus feest élevée (Tefaible), plus le temps disponible pour effectuer les traitements numériques sera court et plus le nombre d'échantillons à traiter sera important-le signal analogique devra pouvoir être reconstitué (interpolé) à partir des échantillons (il existe une infinité de signaux qui passent par ces échantillons)Comment choisir la fréquence d'échantillonnage fe?Choix à effectuer lors de la numérisation d'un signal analogique

TNSH. Garnier12Hypothèse : le signal s(t)est à bande limitée•Soits(t)unsignalàtempscontinuetS(f)sonspectreS(f)estsupposéàsupportborné:S(f)=0pour |f|>fmaxt0s(t)f0fmax-fmax

S(f)1

TNSH. Garnier13Théorème d'échantillonnage (Shannon 1949)Un signal à bande limitée dans l'intervalle de fréquence [-fmax; +fmax] peut être reconstruit (interpolé) exactement à partir de ses échantillons sife

2 fmaxLa fréquence limite fe/ 2est appelée fréquence de Nyquist

TNSH. Garnier14Claude Shannon•Ingénieuretmathématicienaméricain,néen1916•Pèredelathéoriedel'information,c.a.ddelathéoriemathématiquedelacommunicationdel'information•Inventeurdubit•Futle1eràcomprendrequelemondepouvaitsedécrireavecdes0etdes1•Visiterlesite:centenaire-shannon.cnrs.fr

TNSH. Garnier15Signal analogique Signal échantillonnétxa(t)Echantillonneur Représentationthéorique"idéale»à temps continuReprésentationpratiqueà temps discretEchantillonnage -Notationskx(kTe)=x(k)1 2txe(t)TeTe2Te

TNSH. Garnier16•L'opérationd'échantillonnageidéald'unsignalanalogiquerevientàmultipliercedernierparunpeignedeDiracLesignaléchantillonnéidéalse(t)estunsignalàtempscontinu•Ilconsisteenuntraind'impulsionsdeDiracéquidistantespondéréeeàchaqueinstantt=kTeparl'amplitudedes(kTe)àcetinstantModélisation mathématique de l'échantillonnage idéal

set()= s(t) × δTe(t)set()=s(t)×δ(t-kTe)k=-∞+∞∑set()=s(t)δ(t-kTe)k=-∞+∞∑se(t)=s(kTe)δ(t-kTe)k=-∞+∞∑s(t)dTe(t)peigne de Diracse(t)

TNSH. Garnier17Illustration graphique de l'échantillonnage idéaldans le domaine temporels(t)t0Signal à temps continudTe(t)0Tet1Peigne de Diract0signal échantillonnéidéalTekTe

TNSH. Garnier18Effet de l'échantillonnage idéal dans le domaine fréquentiel•Soits(t)unsignalàtempscontinuetS(f)sonspectre-S(f)est supposé à support borné : S(f)=0pour |f|>fmax•Lesignaléchantillonnéidéalements'écrit:•D'aprèslespropriétésdelatransforméedeFourier:t0s(t)f0fmax-fmax

S(f)1 se(t)=s(t)×δTe(t)Fse(t)()=Fs(t) × δTe(t)()=S(f) * FδTe(t)()Produit de convolution TNSH. Garnier19Effet de l'échantillonnage idéaldans le domaine fréquentiel

Se(f)=S(f) *1Teδ(f-kfe)k=-∞+∞∑Se(f)=1TeS(f) *δ(f-kfe)k=-∞+∞∑Se(f)=1TeS(f-kfe)k=-∞+∞∑=!+1TeS(f+fe)+1TeS(f)+1TeS(f-fe)+!S(f) *δ(f-kfe)=S(f-kfe)fe=1Te1Teδ(f-kfe)k=-∞+∞∑1TeSe(f)=Fs(t) × δTe(t)()=S(f) * FδTe(t)()Le spectre d'un signal échantillonné est périodiqueIl correspond au spectre du signal à temps continu périodiséà la période "fréquentielle» et pondéré par

TNSH. Garnier20Rappel-Illustration graphique de la convolution d'un signal par une impulsion de Dirac•Convoluerunsignals(t)paruneimpulsiondeDiracretardéedetorevientàdécalerlesignaldeto

s(t)∗δ(t-to)=s(t-to)t 0 t 0 1 )tt( 0 t 0 s(t) t 0 t 0 )tt(*)t(s)tt(s 00

TNSH. Garnier21Illustration graphique de l'échantillonnage idéal dans le domaine fréquentielDomaine temporelDomaine fréquentielfe ³2 fmaxt0s(t)t0

δTe(t)1Tet

s(t)×δTe(t)0Tef0fmax-fmaxf0

δfe(f)fe-fe

e T 1 f0fmax-fmax-fefe

S(f)*δfe(f)e

T 1 S(f)1

TNSH. Garnier22Condition de non-repliement spectralfe³2 fmaxPour éviter le repliement spectral, il faut B > A:fe-fmax ³fmaxd

où fe³2 fmaxfe+fmaxf0fe

S(f)*δfe(f)fmax-fmax-fe

1Tefe-fmaxAB

TNSH. Garnier23Illustration du repliement spectralfDomaine temporelDomaine fréquentielfe < 2 fmaxt0s(t)t0

(t) e T d 1Te0

δfe(f)2fe-2fe

e T 1

S(f)*δfe(f)e

T 1 f0fmax-fmax1t0Te s(t)×δTe(t)S(f)

TNSH. Garnier24Restitution idéale du signal analogiqueDomaine fréquentielDomaine temporelfe ³2 fmaxf0fmax-fmax-fefe

Se(f)e

T 1 01t0 sincfet()tse(t)0Tef0 e f 1

Terectfe(f)2

e f 2 e f- ffmax-fmax1

Sr(f)=Se(f)×1ferectfe(f)t0

sr(t)=se(t)*sinc(fet)

TNSH. Garnier25Théorème d'échantillonnage•Formuled'interpolationidéale(oureconstructionidéaledusignald'aprèsseséchantillons)-correspond à une convolution avec un sinus cardinal qui n'est pas causal-le filtre théorique n'est pas réalisable (ce n'est qu'une relation théorique)-en pratique, l'interpolateur idéal est approché par des bloqueurs•Bloqueur d'ordre 0, bloqueur d'ordre 1, etc•Lorsquefe<2fmax-lareconstruction exacte n'est plus possible-il y a repliement de spectre-les fréquences > fe / 2sont ramenées dans la bande [-fe / 2 ; fe / 2]

sr(t)=se(t)*sinc(fet)

TNSH. Garnier26Chaîne pratique de numérisation d'un signal analogique •Enpratique:-indispensabledefaireprécéderl'opérationd'échantillonnageparunfiltrepasse-basappeléfiltreanti-repliementdefréquencedecoupurefcunpeuinférieureàlafréquencedeNyquistfe/2•Lachaînepratiquedenumérisationd'unsignalanalogiqueestdoncconstituéedesélémentssuivants:s(t)se(kTe)TeSignalnumériqueFiltre anti-repliementSignaléchantillonnés(k)CANSignalanalogiqueSignalanalogiqueANALOGIQUENUMERIQUE

TNSH. Garnier27Exemple -Enregistrement d'un signal sur mon iPhoneAtténuation franche :caractéristique de l'effetdu filtre anti-repliement

TNSH. Garnier28Effets spectaculaires du repliement spectral•Hélicoptèreenlévitation-www.youtube.com/watch?v=yr3ngmRuGUc•Palesd'unavionquitournentàl'envers-www.youtube.com/watch?v=ByTsISFXUoY•Roued'unvéloquitourneàl'envers-www.youtube.com/watch?v=bI8lrqBBAXQ

TNSH. Garnier29Quelques valeurs usuelles de fréquences d'échantillonnageDomaine d'applicationsLargeur de bandeFréquence fed'échantillonnageBiomédical< 500 Hz1 kHzParole en téléphonie< 4 kHz8 kHzMusique< 20 kHz44.1 kHzUltrason< 100 kHz250 kHzRadar< 100 Mhz200 Mhz

TNSH. Garnier30A retenir -Caractéristiques des spectres signalpériodiquespectreéchantillonnécontinunonpériodiquesignaléchantillonnéspectrepériodiquenonpériodiquecontinuDomaine temporelDomaine fréquentielf0fefmax-fmax-feIS(f)IkTes(kTe)Te2Te

f o IS(f) I -f o A 2 f A 2 t s(t) 0 T o

TNSH. Garnier31Objectifs à l'issue du cours sur l'échantillonnage•Connaître la chaîne de traitement numérique d'un signal•Connaîtrelescaractéristiquesduspectred'unsignaléchantillonnéparrapportàceluidusignaloriginalàtempscontinu•Connaîtrelamodélisationmathématiquedel'échantillonnageidéal•Connaîtrelethéorèmed'échantillonnagedeShannon•Comprendrelephénomènederepliementdespectresetsavoircommentl'éviter•Etrecapabled'appliquerlethéorèmed'échantillonnageafindechoisirlafréquenced'échantillonnaged'unsignal

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