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MATHÉMATIQUES

Le polycopié regroupe les documents distribués aux élèves de TleSTI2D en cours d"année.

Janson de Sailly (année 2016-2017)

A. YALLOUZ

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017TleSTI2D

A. YALLOUZ(MATH@ES)2

TABLE DES MATIÈRES

1 Limites5

I Notion de limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

II Limites de fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

III Règles opératoires sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2 Dérivation, étude de fonctions15

I Tangente à une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

II Dérivées des fonctions de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

III Dérivées et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

IV Dérivée et variations d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

3 Compléments sur les suites géométriques21

I Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

II Limite d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

4 Primitives33

Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

I Primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

II Calculs de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

5 Fonction logarithme41

Activité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

I Fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

II Propriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

III Étude de la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

IV Étude d"une fonctionln(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

6 Fonction exponentielle57

I Définition et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

II Propriétés algébriques de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

III Étude de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

IV Exponentielle d"une fonction :exp(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

7 Trigonométrie (compléments)68

8 Nombres complexes69

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

A. YALLOUZ(MATH@ES)3

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017TABLE DES MATIÈRESTleSTI2D

9 Calcul intégral73

I Intégrale et aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

II Intégrale d"une fonction continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

III Propriétés de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

IV Intégrale et moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

10 Lois de probabilité à densité94

I Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

II Densité de probabilité et loi de probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

III Loi uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

IV Loi exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

V Loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

VI application à la prise de décision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

11 Équations différentielles118

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

Contrôles125

Contrôle du 23 septembre 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

Contrôle du 14 octobre 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

Contrôle du 7 novembre 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

Contrôle du 21 novembre 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

Contrôle du 16 décembre 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

Contrôle du 16 janvier 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

Bac blanc du 21 février 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

Contrôle du 31 mars 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

Contrôle du 12 mai 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141

Contrôle du 22 mai 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

A. YALLOUZ(MATH@ES)4

Chapitre 1

LIMITES

I NOTION DE LIMITE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Limite finie d"une fonction en un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Limite infinie d"une fonction en un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Limite finie d"une fonction en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Limite infinie d"une fonction en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II LIMITES DE FONCTIONS USUELLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

III RÈGLES OPÉRATOIRES SUR LES LIMITES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Limite d"une somme de deux fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Limite d"un produit de deux fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Limite d"un quotient de deux fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Limite de la fonction composéeun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Fonctions polynômes ou rationnelles au voisinage de+∞ou de-∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

EXERCICES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

A. YALLOUZ(MATH@ES)5

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017

LIMITESTleSTI2D

La notion intuitive de limite permet de mettre en évidence lecomportement d"une fonction dans les cas

suivants : — Que se passe-t-il lorsque la variablexest proche d"une valeura, sans pour cela l"atteindre?

— Que se passe-t-il lorsque la variablexs"éloigne infiniment de 0 (limites en+∞ou en-∞)?

I NOTION DE LIMITE

1LIMITE FINIE D"UNE FONCTION EN UN RÉEL

Soitfune fonction définie au " voisinage » d"un réela. Dire que la fonctionfa pour limite le réel?enasignifie que tout intervalle ouvert contenant?contient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment proche dea.

On note : limx→af(x) =?

Oxy a?

2LIMITE INFINIE D"UNE FONCTION EN UN RÉEL

DÉFINITIONS

Soitfune fonction définie au " voisinage » d"un réelaà droite dea(resp. à gauche dea).

Dire que la fonctionftend vers+∞quandxtend versaavecx>a(resp. avecxintervalle]M;+∞[, oùMest un réel, contient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment proche dea

avecx>a(resp. avecxOn note : limx→ax>af(x) = +∞ou limx→a+f(x) = +∞(resp. limx→ax On a des définitions analogues lorsque la limite defenaest-∞

Soitfune fonction définie au " voisinage » d"un réelaà droite dea(resp. à gauche dea).

Dire que la fonctionftend vers-∞quandxtend versaavecx>a(resp. avecxintervalle]-∞;M[, oùMest un réel, contient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment proche dea

avecx>a(resp. avecxOn note : limx→ax>af(x) =-∞ou limx→a+f(x) =-∞(resp. limx→ax

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE:ASYMPTOTE VERTICALE

Dans un repère orthogonal du plan, si limx→a+f(x) = +∞ou limx→a-f(x) = +∞ou limx→a+f(x) =-∞ou

lim

x→a-f(x) =-∞, on dit alors, que la droite d"équationx=aest une asymptote verticale à la courbe

représentative de la fonctionf.

A. YALLOUZ(MATH@ES)6

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017

LIMITESTleSTI2D

Limite "à droite dea»

Oxy f(x)+∞ M a a+h limx→ax>af(x) = +∞Limite "à gauche dea» Oxy f(x)+∞ M a a-h limx→axaf(x) =-∞ Oxy f(x) Ma a-h limx→ax3LIMITE FINIE D"UNE FONCTION EN L"INFINI

DÉFINITION

Soitfune fonction définie sur un intervalle de la forme[A;+∞[ou]-∞:A], oùAest un réel.

1. Dire que la fonctionfa pour limite le réel?en+∞signifie que tout intervalle ouvert contenant?

contient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment grand.

On note : lim

x→+∞f(x) =?

2. Dire que la fonctionfa pour limite le réel?en-∞signifie que tout intervalle ouvert contenant?

contient toutes les valeurs def(x)pourx<0 suffisamment éloigné de 0.

On note : lim

x→-∞f(x) =?

A. YALLOUZ(MATH@ES)7

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017

LIMITESTleSTI2D

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE:ASYMPTOTE HORIZONTALE

Dans un repère orthogonal du plan, si limx→+∞f(x) =?(resp. limx→-∞f(x) =?), on dit alors, que la droite

d"équationy=?est une asymptote horizontale de la courbe représentative de la fonctionfen+∞(resp.

en-∞). Oxy f(x)+∞ ?m limx→+∞f(x) =?:f(x)est aussi proche que l"on veut de?à condition de choisirx>m Oxy f(x) m limx→-∞f(x) =?:f(x)est aussi proche que l"on veut de?à condition de choisirxREMARQUE

Pour déterminer la position relative de la courbe représentative de la fonctionfpar rapport à une asymptoteD

d"équationy=?, il suffit d"étudier le signe def(x)-?

A. YALLOUZ(MATH@ES)8

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017

LIMITESTleSTI2D

4LIMITE INFINIE D"UNE FONCTION EN L"INFINI

Soitfune fonction définie sur un intervalle de la forme[A;+∞[, oùAest un réel.

1. Dire que la fonctionfa pour limite+∞en+∞signifie que tout intervalle

ouvert de la forme]M;+∞[contient toutes les valeurs def(x)pourx suffisamment grand.

On note : limx→+∞f(x) = +∞

Oxy M m

2. Dire que la fonctionfa pour limite-∞en+∞signifie que tout intervalle

ouvert de la forme]-∞;M[contient toutes les valeurs def(x)pourx suffisamment grand.

On note : limx→+∞f(x) =-∞

Oxy Mm Soitfune fonction définie sur un intervalle de la forme]-∞;A], oùAest un réel.

1. Dire que la fonctionfa pour limite+∞en-∞signifie que tout intervalle

ouvert de la forme]M;+∞[contient toutes les valeurs def(x)pourx<0 suffisamment éloigné de 0.

On note : limx→-∞f(x) = +∞

Oxy M m

2. Dire que la fonctionfa pour limite-∞en-∞signifie que tout intervalle

ouvert de la forme]-∞;M[contient toutes les valeurs def(x)pourx<0 suffisamment éloigné de 0.

On note : limx→-∞f(x) =-∞

Oxy Mm

ASYMPTOTE OBLIQUE

Soitfune fonction définie sur un intervalle de borne+∞ou-∞, etDune droite d"équationy=ax+b.

Si limx→+∞[f(x)-(ax+b)] =0 (ou limx→-∞[f(x)-(ax+b)] =0), on dit alors que la droite d"équationy=

ax+best une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonctionfen+∞(ou en-∞).

lim x→+∞f(x) = +∞ Oxy y=ax+b limx→+∞f(x) =-∞ Oxy y=ax+b limx→-∞f(x) = +∞ Oxy y=ax+b limx→-∞f(x) =-∞ Oxy y=ax+b

REMARQUE

Pour étudier la position relative de la courbe représentative de la fonctionfpar rapport à une asymptoteD

d"équationy=ax+b, il suffit d"étudier le signe de la différencef(x)-(ax+b)

A. YALLOUZ(MATH@ES)9

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017

LIMITESTleSTI2D

II LIMITES DE FONCTIONS USUELLES

FONCTION CARRÉ

lim x→-∞x2= +∞; limx→+∞x2= +∞ Oxy

FONCTION CUBE

lim x→-∞x3= +∞; limx→+∞x3= +∞ Oxy

FONCTION INVERSE

lim x→-∞1 x=0; limx→0-1x= +∞ lim x→0+1 x= +∞; limx→+∞1x=0 Oxy

FONCTION RACINE CARRÉE

lim x→0⎷ x=0; limx→+∞⎷x= +∞ Oxy

III RÈGLES OPÉRATOIRES SUR LES LIMITES

Dans tout ce paragraphe,uetvdésignent deux fonctions,?et??désignent deux nombres réels, etαdésigne

+∞ou-∞ou un nombre réel.

1LIMITE D"UNE SOMME DE DEUX FONCTIONS

Si limx→αu(x) =???+∞-∞+∞

et limx→αv(x) =??+∞-∞+∞-∞-∞ alors par somme limx→ α(u+v)(x) =?+??+∞-∞+∞-∞À ÉTUDIER

EXEMPLE

Soitfla fonction définie sur]0;+∞[parf(x) =x2-1+1 x. Étudions les limites de la fonctionfaux bornes de son intervalle de définition.

— lim

x→0x>0x

2-1=-1 et limx→0x>01

x= +∞donc, par somme, limx→0x>0f(x) = +∞. La courbe représentative de la fonction fadmet pour asymtote l"axe des ordonnées.

— lim

x→+∞x2-1= +∞et limx→+∞1 x=0 donc, par somme, limx→+∞f(x) = +∞

A. YALLOUZ(MATH@ES)10

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017

LIMITESTleSTI2D

2LIMITE D"UN PRODUIT DE DEUX FONCTIONS

Si limx→αu(x) =???=0+∞ou-∞0

et limx→αv(x) =??+∞ou-∞+∞ou-∞+∞ou-∞ alors par produit limx→ α(u×v)(x) =?×??±∞*±∞*À ÉTUDIER

(*) Lorsque la limite du produit est infinie, c"est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat+∞ou-∞.

EXEMPLE

Soitfla fonction définie sur]0;+∞[parf(x) =x2×?1 x-1? Étudions les limites de la fonctionfaux bornes de son intervalle de définition.

— lim

x→0x>0x

2=0 et limx→0x>01

x-1= +∞. Nous sommes en présence de la forme indéterminée "0×∞».

Or pour tout réelxnon nul,x2×?1

x-1? =x-x2et limx→0x>0x-x2=0. Donc, limx→0x>0f(x) =0

— lim

x→+∞x2= +∞et limx→+∞1 x-1=-1 donc, par produit, limx→0x>0f(x) =-∞

3LIMITE D"UN QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS

Si limx→αu(x) =???=0?+∞ou

-∞0+∞ou et limx→αv(x) =???=00+∞ou -∞??0+∞ou alors par quotient lim x→ ?u v? (x) = ??±∞*0±∞*À ÉTUDIERÀ ÉTUDIER

(*) Lorsque la limite du quotient est infinie, c"est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat+∞ou-∞.

EXEMPLE

Soitfla fonction définie sur]1;+∞[parf(x) =x3-1 x2-1. Étudions les limites de la fonctionfaux bornes de son intervalle de définition.

— lim

x→1x3-1=0 et limx→1x2-1=0. Nous sommes en présence de la forme indéterminée "0

0».

Or pour tout réelx?=1,

x 3-1 x2-1=(x-1)(x2+x+1)(x-1)(x+1)=x2+x+1x+1

Comme lim

x→1x 2+x+1 x+1=32, nous pouvons conclure que, limx→1f(x) =32

— lim

x→+∞x3-1= +∞et limx→+∞x2-1= +∞. Nous sommes en présence de la forme indéterminée "∞

Or pour pour tout réelx?=0,

x 3-1 x2-1=x 3? 1-1 x3? x2?

1-1x2?

=x? 1-1 x3? 1-1x2

Comme lim

x→+∞x? 1-1 x3? = +∞et que limx→+∞1-1x2=1, il s"ensuit que limx→+∞f(x) = +∞. La courbe représentative de la fonctionfadmet pour asymptote l"axe des abscisses en+∞.

A. YALLOUZ(MATH@ES)11

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017

LIMITESTleSTI2D

4LIMITE DE LA FONCTION COMPOSÉEun

Soituune fonction définie sur un intervalleIde?.unest la fonction composée deusuivie de la fonction

X?→Xn.

α,betcdésignent des réels ou+∞ou-∞.

Si lim

x→ αu(x) =bet limXn→b=c, alors limx→αun(x) =c

EXEMPLE

Soitfla fonction définie sur]1;+∞[parf(x) =?2 1-x?quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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