Rappels sur les suites - Algorithme - Lycée dAdultes
14 sept. 2015 La suite (vn) est géométrique de raison 3 et de premier terme v0 = 4. PAUL MILAN. 7. TERMINALE S. Page 8 ...
Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale
L'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale générale calculer appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes ;.
Programme denseignement optionnel de mathématiques
- Continuité et dérivation. - Probabilités. Exemples d'algorithmes. - Calcul d'un terme de rang donné d'une suite
Programme de mathématiques de première générale
préparer au choix des enseignements de la classe de terminale : notamment choix calculer appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes ;.
Programme de mathématiques de terminale technologique
La pratique de l'algorithmique et de la programmation se poursuit en classe terminale en continuité avec la classe de première. On peut utiliser le langage
Chapitre 9 ALGORITHMES ALGORITHMES EXIGIBLES
Programme 1 (suite croissante explicite de limite +? ) mathématiques par exemple ?
EXERCICE RESOLU : SUITES ET ALGORITHMES
Terminale S -. © Marilyn Zago 2014 – www.cours-maths-avignon.com On souhaite écrire un algorithme affichant pour un entier naturel n donné
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Terminale Générale
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Sujet 2 – Exemples d'algorithmes (probabilités étude de suites
Rappels sur les suites - Algorithme
Table des matières
1 Suite : généralités2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Exemples de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variation ou monotonie d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Comment montrer la monotonie d"une suite. . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Visualisation d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Suite arithmétique (rappels)6
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Comment la reconnaît-on?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Expression du terme général en fonction den. . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Somme des premiers termes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Suite géométrique (rappels)7
3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Comment la reconnaît-on?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Expression du terme général en fonction den. . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Somme des premiers termes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Limite d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Algorithme9
4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Conventions pour écrire un algorithme. . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Les variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3.2 Déclaration des variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Affectation d"une variable numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.5 Lecture et écriture d"une variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.6 Les tests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.7 Les boucles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.7.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.7.2 La boucle conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.7.3 Boucler en comptant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1 Suite : généralités
1.1 Définition
Définition 1 :Une suite(un)est une fonction définie deN(ou éventuellement N-[[0,k]]) dansR. À un rang donnén, on associe un nombre réel notéun. (un):NouN-[[0,k]]-→R n?-→unRemarque :
N-[[0,k]]est l"ensembleNprivé des premiers naturels jusqu"àk unest appelé le terme général de la suite(un). Bien faire la différence entre la suite noté(un)et le terme général notéun Si une suite est définie à partir du rangp, on la note(un)n?pExemples :
(un): 2; 5; 8; 11; 14; 17; ... suite arithmétique (vn): 3; 6; 12; 24; 48; 96; ... suite géométrique1.2 Exemples de suites
a) On peut définir une suite defaçon explicite:un=f(n) u n=1 nn?N?,vn=⎷n-3n?3 b) On peut aussi définir une suite defaçon récurrenteà un ou plusieurs termes :À un terme :un+1=f(un)?u
0=4 u n+1=0,75un+2 (un): 4; 5; 5,75; 6,3125; ...Pour calculerun,nétant donné
Variables:N,Ientiers
Uréel
Entrées et initialisation
LireN4→U on rentre u0
Traitement
pourIvariant de 1 àNfaire0,75U+2→U relation
finSorties: AfficherU
N5102030
U7,050 87,774 77,987 37,999 9
La suite semble croissante et converger
vers 8Àdeuxtermes:un+2=f(un+1,un)?u
0=1,u1=1
u n+2=un+1+un (un): 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ...Pour calculerun,nétant donné
Variables:N,Ientiers
U,V,Wréels
Entrées et initialisation
LireN1→V on rentre u0
1→U on rentre u1
Traitement
pourIvariant de 2 àNfaireU+V→W relation
V→U
W→V?
on passe au rang supérieur finSorties: AfficherV
N10152030
V8998710 9461 346 269
PAULMILAN2 TERMINALES
1. SUITE : GÉNÉRALITÉS
c) On peut encore définir une suite par l"intermédiaire d"une autre suiteou par une somme de termes, etc... (un)étant définie, on définit la suite(vn)par :vn=un-4 w n=n∑ i=11 i=1+12+13+···+1n Si on veut déterminer une valeur approchée d"un terme particulier de(wn), on peut écrire le programme suivant :Par exemple, on trouve les valeurs
suivantes pourw5,w10,w50.Si l"on veut trouver le résultat exact en
fraction avec la TI 82, écrire : "Disp W?Frac"On trouve les valeurs suivantes :
w5=13760?2,283
w10?2,923,w50?4,499
Variables:N,Ientiers
Wréel
Entrées et initialisation
LireN0→W
Traitement
pourIvariant de 1 àNfaireW+1I→W
finSorties: AfficherW
d) On peut aussi définir une suite par une assertion explicite sans pour autant être capable de préciser la valeur d"un terme quelconque. Par exemple la suite(dn)qui au rangn?1 associednlanième décimale du nombreπ=3,141 592... :d1=1,d2=4,d3=1,d4=5,d5=9,d6=2 ...1.3 Variation ou monotonie d"une suite
Définition 2 :Soit(un)une suite numérique. On dit que : la suite(un)est strictementcroissante(à partir d"un certain rangk) lorsque u n+1>unpour tout entiern?k la suite(un)est strictementdécroissante(à partir d"un certain rangk) lorsque u n+1PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1.4 Comment montrer la monotonie d"une suite
Règle 1 :Pour montrer la monotonie d"une suite, on étudie le signe de la quantitéun+1-un si la quantité est positive (resp négative) à partir d"un certain rangk, la suite est croissante (resp décroissante) pourn?k si tous les termes de la suite sont strictement positifs à partir d"un certain rang k, on compare la quantitéun+1 unà 1si la quantité est supérieure à 1 (resp inférieure à 1) à partir d"un certain rangk,
la suite est croissante (resp décroissante) pourn?k si la suite est définie de façon explicite, on étudie les variations de la fonctionf surR+ (voir chapitre suivant) on utilise un raisonnement par récurrenceExemples :
Montrer que la suite(un)définie pour toutnpar :un=n2-nest croissante.Étudions le signe de la quantité :un+1-un
u n+1-un= (n+1)2-(n+1)-(n2-n) =n2+2n+1-n-1-n2+n =2n Or pour toutn?N, on a 2n?0, doncun+1-un?0. La suite(un)est croissante à partir du rang 0. Montrer que la suite(un)définie pour toutn?N?par :un=2nnest croissante.Comme pour toutn?N?un>0, comparons le rapportun+1
unà 1 : u n+1 un=2 n+1 n+1 2n n= 2n+1 n+1×n2n=2nn+1 Orn?1, en ajoutantnde chaque côté de l"inégalité, 2n?n+1, donc : 2n n+1?1Comme?n?1un+1
un?1, la suite(un)est croissante à partir du rang 1. Montrer que la suite(un)définie pour toutn?2 par :un=2n+1n-1est décrois- sante. On étudie la fonction associéefdéfinie surI= [2;+∞[parf(x) =2x+1 x-1.Cette fonction est dérivable surI, donc
f ?(x) =2(x-1)-(2x+1) (x-1)2=-3(x-1)2doncf?(x)<0x?I La fonctionfest donc décroissante surI, donc la suite(un)est décroissantePAULMILAN4 TERMINALES
1. SUITE : GÉNÉRALITÉS
1.5 Visualisation d"une suite
Pour visualiser une suite définie par récurrenceun+1=f(un), il suffit de tracer la courbe de la fonction associéefet la droitey=x. La droite sert à reporter les termes de la suite sur l"axe des abscisses.Soit la suite(un)définie par :
?u 0=0,1 u n+1=2un(1-un)On obtient alors le graphe suivant,
après avoir tracé la courbeCfde la fonctionfdéfinie par : f(x) =2x(1-x) 0.5 0.5Ou0u1u2u3u
4u 1u 2u 3u 4 y=x CfExemple :Soit(un)la suite définie par :
?u 0=5 u n+1=4un-1 un+2?n?N fest la fonction définie sur l"intervalle]-2 ;+∞[parf(x) =4x-1 x+2. u0sur l"axe des abscisses, construireu1,u2etu3en laissant apparents les traits de
construction. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite (un)? 123-1 -21 2 3 4 5 6-1-2
Ou0u1u2u3
y=xCfD"après ce graphique, on peut conjectu-rer :
que la suite est décroissante
qu"elle semble converger vers 1 quiest l"abscisse du point d"intersectionentre la droite et la courbe
Pour la représentation avec la TI 82, selectionner le mode "Suit" etle format "'Esc". Rentrer la suite puis règler la fenêtre. appuyer sur "graphe" puis sur "trace". rentrer la suite avec la touche "f(x)" n min=0 u(n) = (4u(n-1)-1)/(u(n-1) +2) u(nmin) =5Pour la fenêtre : n min=0,nmax=3,PremPoint = 1, pas = 1,
X min=-2,Xmax=6,Xgrad=1 Y min=-2,Ymax=4,Ygrad=1PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
2 Suite arithmétique (rappels)
2.1 Définition
Définition 3 :Une suite arithmétique(un)est définie par :un premier termeu0ouup
une relation de récurrence :un+1=un+r rétant la raison de la suite Remarque :Une suite arithmétique correspond à une progression linéaireExemple :(un):?u
0=2 u n+1=un+3(un): 2; 5; 8; 11; 14; 17; ...2.2 Comment la reconnaît-on?
Une suite(un)est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est alors la raison. ?n?p un+1-un=r?(un)est une suite arithmétique de raisonr Exemple :Soit la suite(un)définie parun=4n-1. Montrer que la suite(un) est arithmétique. ?n?N,un+1-un=4(n+1)-1-(4n-1) =4. La suite(un)est arithmé- tique.2.3 Expression du terme général en fonction den
Règle 2 :Soit(un)une suite arithmétique de raisonrSi le premier terme estu0, alors :un=u0+nr
Si le premier terme estup, alors :un=up+ (n-p)r2.4 Somme des premiers termes
Théorème 1 :D"une façon générale, la somme des premiers termes d"une suite arithmétique obéit à : S n=Nbre de termes×Σtermes extrêmes 2Sn=1+2+3+···+nalorsSn=n(n+1)2
S n=u0+u1+u2+···+unalorsSn= (n+1)?u0+un 2?PAULMILAN6 TERMINALES
3. SUITE GÉOMÉTRIQUE (RAPPELS)
Exemple :Calculer la somme des termes suivants :
S=8+13+18+···+2008+2013
Il s"agit de la somme des termes d"une suite arithmétique de raison 5 et de termes extrêmes 8 et 2013.Le nombre de termes est :2013-8
5+1=402. (Règle des piquets et des inter-
valles)S=402×8+2013
2=406 221
Algorithme :Vérification
On écrit l"algorithme suivant permettant de cal- culer la sommeS.Comme la suite arithmétique est croissante,
on peut proposer la boucle conditionnelle ci- contre. On remarquera que le critère d"arrêt est u?2008 et nonu?2013 car quand on finit la boucle avec ce critère on calcule le terme sui- vant soit 2013 que l"on ajoute à la sommeS.On retrouve bien le résultat calculé.
Variables:IentierU,Sréels
Entrées et initialisation
8→U
8→S
Traitement
tant queU?2008faireU+5→U
S+U→S
finSorties: AfficherS
3 Suite géométrique (rappels)
3.1 Définition
Définition 4 :Une suite géométrique(un)est définie par :un premier termeu0ouup
une relation de récurrence :un+1=q×unqétant la raison de la suite Remarque :Une suite géométrique correspond à une progression exponentielle.Exemple :(un):?u
0=3 u n+1=2un(un): 3; 6; 12; 24; 48; 96; ...3.2 Comment la reconnaît-on?
Cette constante est alors la raison.
?n?pun+1 un=q?(un)est une suite géométrique de raisonqExemple :Soit la suite(un):?u
0=5 u n+1=3un-2 On pose la suitevn=un-1. Montrer que la suite(vn)est géométrique. v n+1=un+1-1=3un-2-1=3(un-1) =3vndonc?n?N,vn+1 vn=3 La suite(vn)est géométrique de raison 3 et de premier termev0=4.PAULMILAN7 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3.3 Expression du terme général en fonction den
Règle 3 :Soit(un)une suite géométrique de raisonqSi le premier terme estu0, alors :un=qn×u0
Si le premier terme estup, alors :un=qn-p×up3.4 Somme des premiers termes
Théorème 2 :D"une façon générale, la somme des premiers termes d"une suite géométrique (q?=1) obéit à : S n=1erterme×1-qnbre termes 1-qExemple :Calculer la somme des termes suivants :
S=0,02-0,1+0,5-2,5+···+312,5
Il s"agit de la somme des termes d"une suite géométrique(un)de raisonq=-5 de premier termeu0=0,02.On doit avoir :un=0,02(-5)n=312,5?(-5)n=312,5
0,02=15 625=56.
Il y a alors 7 termes.S=0,02×1-(-5)7
1-(-5)=57+1300=260,42
3.5 Limite d"une suite géométrique
Théorème 3 :Soit une suite(un)définie par :un=qn(avecq?R) Siq>1 alors(un)est divergente et limn→+∞qn= +∞ Siq=1 alors(un)est constante (donc convergente vers 1) Si-1Exemples : (un)suite géométrique :u0=-2 etq=1,5. La suite(un)converge-t-elle? lim n→+∞1,5n= +∞car 1,5>1. La suite(un)diverge et limn→+∞un=-∞. (vn)suite géométrique :v0=4 etq=34. La suite(vn)converge-t-elle? lim n→+∞? 3 4? n =0 car-1<34<1. La suite(un)converge vers 0.PAULMILAN8 TERMINALES
4. ALGORITHME
4 Algorithme
4.1 Introduction
Définition 5 :Unalgorithmeestunesuited"instructions,quiunefoisexécutée correctement, conduit à un résultat donné. Pour fonctionner, un algorithme doit donc contenir uniquement des instructions compréhensibles par celui qui devra l"exécuter. La maîtrise de l"algorithmique requiert deux qualités : il faut avoir une certaineintuition, car aucune recette ne permet de savoir à priori quelles instructions permettront d"obtenir le résultat voulu. il faut êtreméthodique et rigoureux. En effet, chaque fois qu"on écrit une série d"instructions qu"on croit justes, il faut systématiquement se mettre à la place de la machine qui va les exécuter, pour vérifier si le résultat obtenu est bien celui que l"on voulait. Les ordinateurs, quels qu"ils soient, sont fondamentalement capables de com- pas le terme d"ordre, mais plutôt celui d"instructions). Ces quatre familles d"ins- tructions sont :l"affectation de variables
la lecture / écriture
les tests
les boucles
Un algorithme exprime les instructions résolvant un problème donné indépen- damment des particularités de tel ou tel langage de programmation. Apprendreunalgorithme,c"est apprendreàmanierlastructurelogiqued"unpro- gramme informatique. " Un langage de programmation est une convention pour donner des ordres à un ordinateur.» (Pascal, Fortran, C++, PHP, Mathematica etc.)4.2 Conventions pour écrire un algorithme
Historiquement, plusieurs types de notations ont représenté des algorithmes. Il y a eu notammentune représentation graphique, avec des carrés, des lo- commence à grossir un peu, ce n"est plus pratique. On utilise généralement une série de conventions appelée "pseudo-code», qui ressemble à un langage de programmation authentique dont on aurait évacué la plupart des problèmes de syntaxe. Ce pseudo-code est susceptible de varier légèrement d"un livre (ou d"un enseignant) à un autre. C"est bien normal : le pseudo-code, encore une fois, est purement conventionnel; aucunemachine n"est censée le reconnaître.PAULMILAN9 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
4.3 Les variables
4.3.1 Définition
Définition 6 :Dès que l"on a besoin de stocker une information au cours d"un programme, on utilise unevariable. Pour employer une image, une variable est une boîte, que le programme (l"ordi- nateur) va repérer par une étiquette. Pour avoir accès au contenu de la boîte, il suffit de la désigner par son étiquette.4.3.2 Déclaration des variables
La première chose à faire avant de pouvoir utiliser une variable est de créer la boîte et de lui coller une étiquette. C"est ce qu"on appelle la déclaration des va- riables. Le nom de la variable (l"étiquette de la boîte) obéit à des impératifs changeant selon les langages. Toutefois, une règle absolue est qu"un nom de variable peut comporter des lettres et des chiffres, mais qu"il exclut la plupartdes signes de ponctuation, en particulier les espaces. Un nom de variable correct commence également impérativement par une lettre. Quant au nombre maximalde signes pour un nom de variable, il dépend du langage utilisé.3 types de variable (il y en a d"autres!) :
Type alphanumérique : du texte.
Type numérique : un nombre (entier, décimal, réel).Type liste : ensemble de nombres ordonné.
4.4 Affectation d"une variable numérique
La seule chose qu"on puisse faire avec une variable, c"est l"affecter, c"est-à-dire lui attribuer une valeur. a←24Attribue la valeur 24 à la variablea24→a
a←bAttribue la valeur debà la variablea b→a On peut aussi affecter une variable à l"aide d"une opération : c←a+4 Attribue la valeura+4 à la variablec a+4→a On peut changer la valeur d"une variable avec elle-même : b←b+1 Incrémente (augmente) de 1 la variableb b+1→bLes opérateurs numériques sont :
L"addition+
La soustraction-
La multiplication?
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