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Si vous bloquez sur une question d"un exercice, vous pouvez essayer d"admettre le résultat et de passer

aux questions suivantes.

Exercice1.

Donner les définitions des classes de complexitéBPP,RPetZPP. Indiquer toutes les inclusions connues entre ces classes, ainsi qu"entre ces classes etP,NPet EXP(on ne demande pas ici de démontrer ces inclusions).

Exercice2.

1.Donner la définition d"une machine de Turing alternante et d"un langage décidé par une

machine de Turing alternante.

2.Énoncer le théorème caractérisant la classePSPACEà l"aide des machines de Turing

alternantes, et le démontrer.

Exercice3.

1.Donner la définition deP/poly(à l"aide de circuits) et deDTIME(T(n))/a(n), oùTeta

sont deux fonctions deNversN.

2.Donner la démonstration du théorème :P/poly=[c,dDTIME(nc)/nd.

Exercice4.Réduction des erreurs pourRP

SoitL f0,1gtel qu"il existe une machine de Turing probabiliste (MTP)Mde temps polynomial et unc>0 tels que pour toutxdef0,1g:

1.Si x2L, alorsPr[M(x) =1]nc, et

2.Si x/2L, alorsPr[M(x) =1] =0.

Montrer alors que pour toutd>0 il existe une MTPM0de temps polynomial telle que pour toutxdef0,1g:

1.Si x2L, alorsPr[M0(x) =1]12nd, et

2.Si x/2L, alorsPr[M0(x) =1] =0.

Remarque : attention, on demande ici de démontrer ce résultat, pas de le déduire d"un résultat du cours.

Exercice5.

On dit qu"un graphe orientéGestfortement connexessi pour tous sommetsv1,v2distincts deGil existe un chemin orienté dev1àv2et un chemin orienté dev2àv1. On considère le langageFCsuivant :

FC=f/Ggraphe orienté fortement connexeg.

1.Montrer que le langageFCappartient àNL.

2.Montrer que ce langage estNL-complet.

Exercice6.

On note

1E=S cDTIME(2cn)etESPACE=S cSPACE(2cn). On rappelle queAp

TBsignifie

qu"il existe une machine de Turing déterministe en temps polynomial avec oracleBqui décide A.

1.Montrer queE6=ESPACE=)P6=PSPACE.

Indication : on pourra utiliser une technique de padding.

2.Raffiner l"argument précédent pour montrer queE6=ESPACE=)P6=PSPACE\

P/poly.Indication : on pourra utiliser le fait que tout langage unaire est dansP/poly.

3.Le but de cette question est de montrer la réciproque de la question précédente.

(a)SoitL2P/polydécidé par une machine de TuringMavec conseil polynomial(an)n.

Montrer que le langage

U=f1hn,i,an,ii:an,iest lei-ème bit deang

vérifieLp TU. (b)(attention, cette question est plus difficile) Supposons de plus queL2PSPACE. Montrer que sur l"entréen, on peut calculer en espace polynomial enn(et non en la longueur den) un motbnvérifiant la même propriété quean: la machineMavec conseil polynomial(bn)ndécideL. (c)Montrer qu"il existe alors un langage unaireU02PSPACEtel queLp TU0. (d)Supposons enfin queL/2P. Montrer qu"il existe un langage unaire dansPSPACEnP. (e)Conclure.

4.Montrer queBPPPSPACE.

5.En utilisant les questions précédentes, montrer queP6=BPP=)E6=ESPACE.1. Attention à ne pas confondre avecEXPetEXPSPACE.

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