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l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation le choix risqué introduction aux sciences de la décision séance 2

M. Cozic

M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation le risque I situation d"incertitude lato sensu : l"agent ne sait pas quelle ser a la conséquencec2Cqui adviendra s"il choisit l"actiona2A Isituation der isque: situation où le décideur a connaissance de relations probabilistes entre actions et conséquences. Il sait pour toute actionaet pour toute conséquencecavec quelle probabilité l"actionaproduit la conséquencec.

Ideux tickets de loterie:

L1 L2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation le risque I en théorie du choix risqué, on identifie les actions aux distributions de probabilités qu"elles induisent (par hypothèse) sur les conséquences. I siCest fini, on peut voir une actionPcomme une fonction

P:C![0;1]telle queP

c2CP(c) =1. I remarques: I les conséquencesc2Cdoivent se concevoir comme mutuellement exclusives Iles conséquencesc2Cne sont pas nécessairement monétaires ; dans le cas particulier où elles le sont toutes, on parlera de " loterie monétaire M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation

1. l"espérance de gain

M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation la logique de Port-Royal d"Arnauld et Nicole (1662) M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation I Q: comment déterminer la valeur d"une action risquée ? comment choisir entre différentes actions risquées ? I proposition fondamentale: (dans le cas de loteries monétaires) pondérer les différents gains possibles par la probabilité qu"ils arrivent .Arnauld & Nicole,Logique de Port-Royal(1662) : "...pour juger de ce que l"on doit faire pour obtenir un bien ou pour éviter un mal, il ne faut pas seulement considérer le bien ou le mal en soi, mais aussi la probabilité qu"il arrive ou n"arrive pas, et regarder géométriquement la proportion que toutes ces choses ont ensembles" M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation exemple L1 L2

EG(L2) = (0:110) + (0:92) =2:8M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2

l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation l"espérance de gain I

évaluation des options

: l"espérance de gain d"une action identifiée à la loterie monétairePdéfinie surCest

EG(P) =P

x2CP(x):x I règle de décision : choisir l"action dont l"espérance de gain est maximum. M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation le paradoxe de Saint-Petersbourg Une pièce non-biaisée est lancée de manière répétée jusqu"à ce qu"elle tombe sur face (F). Les paiements (et probabilités induites) sont comme suit :sérieFPFPPF...P...PF... proba.1/21/41/8...1=2n... gain248...2 n... Question : quelle est la valeur du pari de St-Petersbourg?

Selon le (MEG),EG(StP) =1+1+1+::::=1!M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2

l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation le paradoxe de Saint-Petersbourg I prop de Daniel Bernouilli (1738): distinguer le gain monétaire (la conséquence, disonsx) et la satisfaction que l"agent en retire ou l" utilité (disons u(x)). On peut alors substitueru(x)àxdans l"espérance de gain pour obtenir l" espérance d"utilité

EU(P) =P

x2CP(x):u(x) I comment est-ce cela permet de résoudre le Paradoxe de Saint-Petersbourg ? En imposant certaines conditions sur u(:): on suppose que l"argent a une utilité marginale décroissante. .exempleu(x) =log(x). Dans ce cas, l"espérance d"utilité EU(StP) =log(4)et la valeur monétaire du Pari est (environ) 4 euros. M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation remarque sur l"utilité I la notion d"utilité change de signification par rapport à celle qui servait simplement à représenter les préférences; elle reflète désormais l" intensité de ces préférences (mais v oir discussion séance 3) .exemple L

1= (5$;0:6;3$;0:4)vs.L2= (10$;0:1;2$;0:9)

L

1= (5$;0:6;3$;0:4)vs.L3= (10000$;0:1;2$;0:9)

les deux situations de choix partagent la même structure du point de vue du classement ; mais (pour une partie d"entre

nous),L1est préférable àL2mais pas àL3.M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2

l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation

2. l"espérance d"utilité

M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation notations I options = loteries. Si l"on supposeCfini, alors l"ensemble Pdes loteries se ramène à l"ensemble des fonctions

P:C![0;1]telles queP

x2CP(x) =1 I i l"on numérote les conséquencesC=fc1;:::;cng, alors on peut écrire une loteriePde la manière suivante :

P= (c1;p1;:::;cn;pn)ouP= (P(c1);:::;P(cn))ou

P= (p1;:::;pn)M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation le triangle Marschak-Machina représentation géométrique de l"ensemblePdes loteries pour jCj=3. Les trois extrémités sont les loteries dégénérées1= (1;0),

2= (0;0)et3= (0;1).p3est en ordonnée etp1en abscice.

hypothèse:321M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation courbes d"indifférence dans le triangle MM lescourbes d"indifférencesont les loteries entre lesquelles l"agent est indifférent. Deux distributions de probabilités(p1;p3)et(p01;p03) appartiennent à la même courbe d"indifférence ssi l"agent est indifférent entre elles ssiEU(p1;p3) =EU(p01;p03). Une courbe d"indifférence est l"ensemble des distributions de probabilités qui ont la même espérance d"utilité (disons

u) - si l"agent obéit au MEU !M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2

l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation linéarité des courbes d"indifférence les courbes d"indifférence sont données par des équations de la forme : u=P3 i=1u(ci):pi=u(c1)p1+u(c2)(1p1p3) +u(c3):p3 Toutes les courbes d"indifférence sont des droites de pente u(c2)u(c1)=u(c3)u(c2)

En effet,

(u(c2)u(c1)):p1+u= (u(c3)u(c2)):p3 p

3=u(c2)u(c1)=u(c3)u(c2):p1+u=u(c3)u(c2)M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2

l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation mixage de loteries I

Définition

SoitPetQdeux distributions de probabilités surC; pour a2[0;1], on appelle-mixagede PetQla distribution de probabilité notéeP(1)Qet définie ainsi :

8x2C,P(1)Q(x) =P(x) + (1)Q(x).

I on peut concevoir les-mixages de distributions de probabilité comme des loter iescomposées où la loter ieP est tirée avec probabiltiéet la loterieQavec probabilité (1). Voici par exemple une manière de représenter l"-mixage P

0dePet de la loterie dégénérée qui donne 10 euros

avec probabilité 1 M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation mixage de loteries et loteries composées, exemple exemple: une manière de représenter l"-mixageP0dePet de la loterie dégénérée qui donne 10 euros avec probabilité 1 ??S???T?? (1-α l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation mixage de loteries et triangle MM l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation mixage de loteries et triangle MM I chaque loterie peut être conçue comme un mixage de loteries dégénérées, i.e. de loteries qui produisent l"une des conséquencesx2Cavec certitude. On note génériquement une telle loteriex. I soitP2Pune loterie. Alors on peut vérifier que P=P x2CP(x):x où la "somme" se comprend comme un mixage àjCj arguments. M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation la préservation par mixage I

Proposition

EU satisfait la propriété de

préser vationpar mixage (ou linéarité):

EU(P+ (1)Q) =EU(P) + (1)EU(Q)

in french: l"espérance d"utilité d"un-mixage dePetQest la somme pondérée (paret(1)) de l"espérance d"utilité dePet de celle deQ.

Preuve.

EU(P+ (1)Q) =P

x2C[P(x) + (1)Q(x)]u(x) =P x2CP(x):u(x) +P x2C(1)Q(x):u(x) =EU(P) + (1)EU(Q).M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation I la réciproque est vraie : siV:P!Rest une fonction d"utilité qui satisfait la préservation par mixage, alorsV(:)a une forme d"utilité espérée.

Preuve:

- on peut voir toute loteriePcommeP x2CP(x):x, - si l"on applique ensuite la préservation par mixage on obtientV(P) =P x2CP(x):V(x) - il suffit alors de prendre comme fonction d"utilité

v:C!Rla fonctionv(x) =V(x).M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2

l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation utilité espérée et préservation par mixage I

Définition

Une fonction d"utilitéU:P!Ra unef ormed"utilité espérée (ou est une f onctiond"utilité VN-M ) s"il existe une fonction d"utilité sur les conséquences (ou f onctiond"utilité de Bernouilli )u:C!Rtelle que pour toute loterieP,

U(P) =P

x2Cu(x):P(x) I

Proposition

Une fonction d"utilitéU:P!Ra une forme d"utilité espérée ssi elle satisfait la préservation par mixage. M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation unicité à une transformation affine croissante près I

Proposition

SoitU:P!Rune fonction d"utilité vNM qui représente une relation de préférencesurP. AlorsV:P!Rest également une fonction d"utilité v.N-M qui représentessi il existea>0 etbtels que pour toutP2P,

V(P) =aU(P) +a

I rem]1: siVest une transformation croissante mais non affine deU,Vreprésente (quand même) la relation de préférence mais n"est pas une fonction d"utilité vNM I rem]2: on peut reformuler la Proposition en termes de fonction d"utilité de Bernouilli M. Cozicle choix risquéintroduction aux sciences de la décision séance 2 l"espérance de gainl"espér anced"utilité attitudes par r apportau r isqueaxiomatisation unicité à une transformation affine croissante près I

Définition

Une fonction d"utilité de Bernoulliu:C!REU-représente la relation de préférencessurPssi l"espérance d"utilité EU udéfinie suru(:)représente. Iquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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