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L'enseignement des mathématiques de la classe de seconde est conçu à partir des calculer appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes ;.

Algorithmique et programmation en seconde

Renee De Graeve Bernard Parisse

17 septembre 2017

Table des matieres

1 Avant-propos

2 Types, fonctions

2.1 Types

2.1.1 Les entiers, les rationnels et les nombres approches.

2.1.2 Les listes, les sequences et les cha^nes de caracteres

2.1.3 Les instructions sur les listes les sequences et les cha^nes

de caracteres 15

2.1.4 Les booleens

2.1.5 Expressions, polyn^omes

2.1.6 Conna^tre les types et les sous-types

2.2 Les fonctions

2.2.1 Quelques fonctions algebriques deXcas. . . . . . . . .37

2.2.2 Quelques fonctions aleatoires deXcas. . . . . . . . . .40

2.2.3 Denition d'une fonction algebrique d'une variable

2.2.4 Denition d'une fonction algebrique de 2 variables

2.2.5 Denition d'une fonction algebrique sans lui donner un

nom 45

2.2.6 Denition d'une fonction algebrique par morceaux avec

quand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

3 Les instructions de programmation utilisees sur des exem-

ples 49

3.1 Commentaires et documentation.

3.1.1 Les commentaires dans un programme.

3.1.2 Documenter une fonction pour la commandehelp. . .49

3.1.3 Exemple

3.2 Stocker une valeur dans une variable avec:=. . . . . . . . . .50

3.3 Enlever une valeur stockee dans une variable avecpurge. . .50

3.4 Suite d'instructions avec;ou:;. . . . . . . . . . . . . . . .51

3.5 L'instructionretourneoureturn. . . . . . . . . . . . . . . .52

4TABLE DES MATIERES

3.6 L'instructionlocal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

3.7 L'instructionpour. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

3.8 L'instructionpouravec unpas. . . . . . . . . . . . . . . . .56

3.9 L'instructionsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

3.10 Utiliser une fonction utilisateur dans un programme

3.11 L'instructiontantque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

3.12 Interruption d'une boucle

3.13 Exemple 9 : autre exemple de boucletantque. . . . . . . . .66

3.14 Exemple 10 : encore un autre exemple de boucletantque. .69

3.15 Exercice : Algorithme de trace de courbe

3.16 Mettre au point un programme

4 Resolution d'equations

4.1 Encadrer une racine d'une equation par dichotomie

4.2 Resoudre dansRune equation se ramenant au premier degre

ou au degre 2 81

4.3 Resoudre un systeme de deux equations du premier degre a

deux inconnues. 83

5 Les gures en geometrie plane avecXcas91

5.1 Le point :pointet le segment :segment. . . . . . . . . . . .91

5.2 Les coordonnees d'un point :coordonnees. . . . . . . . . . .92

5.3 La droite et son equation :droiteetequation. . . . . . . .92

5.4 Ligne brisee :polygoneouvert. . . . . . . . . . . . . . . . .93

5.5 Les polygones :triangle, carre, polygone. . . . . . . . .94

5.6 Le cercle et son equation :cercleetequation. . . . . . . .97

5.7 Les tangentes a un cercle passant par un point et leurs equations

5.8 Exercice : les lunules d'Hippocrate

5.8.1 Exercice 1

100

5.8.2 Exercice 2

101

5.8.3 Exercice 3

102

5.8.4 Exercice 4

105

6 La geometrie analytique

109

6.1 Les segments

109

6.1.1 Calculer la distance de deux points connaissant leurs

coordonnees 109

6.1.2 Calculer les coordonnees du milieu d'un segment

110

6.2 Les droites

111

6.2.1Equation d'une droite denie par 2 points ou par sa

pente et un point 111

TABLE DES MATI

ERES5

6.2.2 Coecients (a,b,c) de la droite d'equation ax+by+c=0

114

6.2.3 Point d'intersection de 2 droites secantes

115

6.3 Triangles et quadrilateres denis par les coordonnees des som-

mets 118

6.4 Les vecteurs

119

6.4.1 Les coordonnees d'un vecteur deni par 2 points

119

6.4.2 Calculer les coordonnees de la somme de deux vecteurs

dans un repere 121

6.4.3 Coordonnees deDextremite du vecteur d'origineC

equipollent au vecteurAB. . . . . . . . . . . . . . . .122

6.4.4 Norme d'un vecteur

124

6.5 Changement de reperes

125

6.5.1 Le probleme

125

6.5.2 Le programmeChangexy2XY(cM,cI,cU). . . . . . . .125

6.5.3 Le programmeChangeXY2xy(CM,cI,cU). . . . . . . .127

6.5.4 Exercices

129

6.6 Cercles, Tangentes a un cercle

133
6.6.1 Equation d'un cercle deni par son centre et son rayon133 6.6.2 Equation d'un cercle deni par son diametre. . . . . . 134 6.6.3 Equation d'un cercle deni par son centre et son rayon ou par son diametre 134

6.6.4 Centre et rayon d'un cercle donne par son equation

136

6.6.5 Construire la tangente a un cercle en l'un de ses points

137

6.6.6 Construire les tangentes a un cercle passant par un point

139

6.6.7 Solution analytique des tangentes a un cercle

146

7 Quelques tests geometriques

149

7.1 Test d'alignement de 3 points

149

7.2 Test de parallelisme de 2 droites

151

7.3 Caracteriser alignement et parallelisme par la colinearite

153

8 Statistiques

155

8.1 Calcul de moyenne et ecart-type

155

8.2 Simulation d'un echantillon

160

8.3 Intervalle de

uctuation 1 61 8.4 Evolution d'une frequence.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.5 Triangles de spaghettis

166

8.6 Les aiguilles de Buon

168

8.7 Marche aleatoire a 1 dimension.

172

8.8 Les urnes de Polya

1 75

6TABLE DES MATIERES

9 Les algorithmes du document ressource Python d'eduscol

181

9.1 Arithmetique

181

9.1.1 Euclide

181

9.1.2Ecriture en base 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

9.1.3 Test naf de primalite

183

9.1.4 Factorisation nave

183

9.2 Longueur d'un arc de courbe

185

9.3 Refraction et recherche de minimas

187

9.3.1 Minimum d'une fonction

187

9.3.2 Application a la refraction

189

9.3.3 Discussion

190

9.3.4 Autre methode de recherche de minimum

191

9.4 Solveur de triangle

192

10 Aide

195

10.1 Les fonctions usuelles avecXcas. . . . . . . . . . . . . . . . .195

10.2 Les fonctionsXcasde calcul formel utilisees. . . . . . . . . . 196

10.3 Les fonctionsXcasde geometrie utilisees. . . . . . . . . . . . 196

10.4 Les fonctionsXcasde programmation utilisees. . . . . . . . . 197

10.5 Les fonctionsXcasutilisees en statistiques. . . . . . . . . . . 198

A Xcas, Python et Javascript.

199

A.1 Le mode de compatibilite Python de Xcas

199

A.2 Xcas et Javascript

201

A.3 Xcas et Python

203

A.4 Comparaison rapide

203

B Les biais des langages interpretes

205
Index 13 45
51
:=,50 51
43
27
12 14 12 14 28
15 28
28
28
28
append, 15 Buon, 168
carre, 94
cercle, 97
choice, 40
coe, 30
114
concat, 15 coordonnees, 92
debug, 73
degree, 30
dim, 15 droit, 15 114
droite, 92
equation, 92
97
erreur d'execution,

73 erreur de syntaxe,73

evalf, 11 execution, erreur de, 73
expression, 32
onction, 36
,42 fonction, 36
,42 fpour,54 fsi,57 ftantque,58 func, 32
gauche, 15 114
gcd, 53
help,49 identier, 32
integer, 32
iquo, 43
iquorem, 43
irem, 43

Javascript,

201
lambda, 45
len, 15 local, 3 6 ,53 makelist, 12 14 marche aleatoire, 172
normal, 29
op, 14 pas,56 7

8INDEX

plotfunc, 43
point, 71
91
poly2symb, 30

Polya,

175
polygone, 94
polygoneouvert,93 pour,54 prepend, 15 purge, 50

Python,

203
quand, 46
rand, 40
randint, 40
random, 40

RandSeed,

40
randseed, 40
range, 12 14 rational, 32
real, 32
retourne, 36
,52,64 reverse, 15 revlist, 15 rotate, 15 sample, 40
segment, 71
91
shift, 15 shue, 40
si,57 simplify, 29
spaghetti, 166
srand, 40
string, 32
subtype, 32
suppress, 15 symb2poly, 30
syntaxe, erreur de, 73
tantque,58 triangle,

94 type,32

vector, 32

Chapitre 1

Avant-propos

Ce document est principalement destine aux enseignants qui souhaitent utiliser Xcas pour enseigner l'algorithmique au lycee. Nous esperons qu'il sera aussi consulte par des eleves. Dans sa version HTML

1consultable depuis

un navigateur, certains champs de saisies peuvent ^etre modies et testes directement, y compris sur une tablette ou un smartphone, ce qui devrait ^etre un plus par rapport a un cours de programmation papier ou PDF (les fonctions \utilitaires" qui sont appelees plusieurs fois par d'autres fonctions n'ont pas besoin d'^etre validees par l'utilisateur, elles sont interpretees au chargement). L'utilisation deXcaspeut se faire depuis un terminal mobile (smartphone ou tablette) sans installation, il sut d'ouvrir un navigateur (Firefox recom- mande) et de suivre ce lien : http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~ parisse/xcasfr.html (L'acces reseau est necessaire uniquement lors de la premiere consultation). Il n'est donc pas indispensable d'aller en salle informatique pour faire un exer- cice d'algorithmique pendant un cours de mathematiques, on peut utiliser les smartphones (en mode avion) ou les tablettes des eleves comme des super- calculatrices (formelles, graphiques, 3d, ... il ne manque que le mode exa- men...). C'est une raison supplementaire pour ecrire ce document, car faire programmer les algorithmes par les eleves nous parait indispensable pour les motiver par la satisfaction de faire tourner son programme puis de le modier et de l'ameliorer. On peut d'ailleurs regretter le nombre important d'exercices de bac- calaureat qui demandent de comprendre ce que fait un algorithme non com- mente. Dans ce type d'exercices, l'eleve n'a aucun r^ole createur (il ne concoit

pas l'algorithme), il a un r^ole analogue a celui d'un professeur corrigeant des1.http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/%7eparisse/irem/algoseconde.html

10CHAPITRE 1. AVANT-PROPOS

copies ce qui n'est pas du tout motivantquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] Algorithmique et programmation en seconde

Algorithmique et programmation en seconde

Renee De Graeve Bernard Parisse

17 septembre 2017

Table des matieres

1 Avant-propos

2 Types, fonctions

2.1 Types

2.1.1 Les entiers, les rationnels et les nombres approches.

2.1.2 Les listes, les sequences et les cha^nes de caracteres

2.1.3 Les instructions sur les listes les sequences et les cha^nes

2.1.4 Les booleens

2.1.5 Expressions, polyn^omes

2.1.6 Conna^tre les types et les sous-types

2.2 Les fonctions

2.2.1 Quelques fonctions algebriques deXcas. . . . . . . . .37

2.2.2 Quelques fonctions aleatoires deXcas. . . . . . . . . .40

2.2.3 Denition d'une fonction algebrique d'une variable

2.2.4 Denition d'une fonction algebrique de 2 variables

2.2.5 Denition d'une fonction algebrique sans lui donner un

2.2.6 Denition d'une fonction algebrique par morceaux avec

3 Les instructions de programmation utilisees sur des exem-

3.1 Commentaires et documentation.

3.1.1 Les commentaires dans un programme.

3.1.2 Documenter une fonction pour la commandehelp. . .49

3.1.3 Exemple

3.2 Stocker une valeur dans une variable avec:=. . . . . . . . . .50

3.3 Enlever une valeur stockee dans une variable avecpurge. . .50

3.4 Suite d'instructions avec;ou:;. . . . . . . . . . . . . . . .51

3.5 L'instructionretourneoureturn. . . . . . . . . . . . . . . .52

4TABLE DES MATIERES

3.6 L'instructionlocal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

3.7 L'instructionpour. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

3.8 L'instructionpouravec unpas. . . . . . . . . . . . . . . . .56

3.9 L'instructionsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

3.10 Utiliser une fonction utilisateur dans un programme

3.11 L'instructiontantque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

3.12 Interruption d'une boucle

3.13 Exemple 9 : autre exemple de boucletantque. . . . . . . . .66

3.14 Exemple 10 : encore un autre exemple de boucletantque. .69

3.15 Exercice : Algorithme de trace de courbe

3.16 Mettre au point un programme

4 Resolution d'equations

4.1 Encadrer une racine d'une equation par dichotomie

4.2 Resoudre dansRune equation se ramenant au premier degre

4.3 Resoudre un systeme de deux equations du premier degre a

5 Les gures en geometrie plane avecXcas91

5.1 Le point :pointet le segment :segment. . . . . . . . . . . .91

5.2 Les coordonnees d'un point :coordonnees. . . . . . . . . . .92

5.3 La droite et son equation :droiteetequation. . . . . . . .92

5.4 Ligne brisee :polygoneouvert. . . . . . . . . . . . . . . . .93

5.5 Les polygones :triangle, carre, polygone. . . . . . . . .94

5.6 Le cercle et son equation :cercleetequation. . . . . . . .97

5.7 Les tangentes a un cercle passant par un point et leurs equations

5.8 Exercice : les lunules d'Hippocrate

5.8.1 Exercice 1

5.8.2 Exercice 2

5.8.3 Exercice 3

5.8.4 Exercice 4

6 La geometrie analytique

6.1 Les segments

6.1.1 Calculer la distance de deux points connaissant leurs

6.1.2 Calculer les coordonnees du milieu d'un segment

6.2 Les droites

6.2.1Equation d'une droite denie par 2 points ou par sa

TABLE DES MATI

6.2.2 Coecients (a,b,c) de la droite d'equation ax+by+c=0

6.2.3 Point d'intersection de 2 droites secantes

6.3 Triangles et quadrilateres denis par les coordonnees des som-

6.4 Les vecteurs

6.4.1 Les coordonnees d'un vecteur deni par 2 points

6.4.2 Calculer les coordonnees de la somme de deux vecteurs

6.4.3 Coordonnees deDextremite du vecteur d'origineC

6.4.4 Norme d'un vecteur

6.5 Changement de reperes

6.5.1 Le probleme

6.5.2 Le programmeChangexy2XY(cM,cI,cU). . . . . . . .125

6.5.3 Le programmeChangeXY2xy(CM,cI,cU). . . . . . . .127

6.5.4 Exercices

6.6 Cercles, Tangentes a un cercle