[PDF] Université Paris Descartes Regards sur l'informatique dans

View - Download Université Paris Descartes

Previous PDF

Next PDF

>G A/, i2H@yRN9jNdR ?iiTb,ffi?2b2bX?HXb+B2M+2fi2H@yRN9jNdR am#KBii2/ QM 9 .2+ kyR3 >GBb KmHiB@/Bb+BTHBM`v QT2M ++2bb `+?Bp2 7Q` i?2 /2TQbBi M/ /Bbb2KBMiBQM Q7 b+B@

2MiB}+ `2b2`+? /Q+mK2Mib- r?2i?2` i?2v `2 Tm#@

HBb?2/ Q` MQiX h?2 /Q+mK2Mib Kv +QK2 7`QK

i2+?BM; M/ `2b2`+? BMbiBimiBQMb BM 6`M+2 Q` #`Q/- Q` 7`QK Tm#HB+ Q` T`Bpi2 `2b2`+? +2Mi2`bX /2biBMû2 m /ûT¬i 2i ¨ H /BzmbBQM /2 /Q+mK2Mib b+B2MiB}[m2b /2 MBp2m `2+?2`+?2- Tm#HBûb Qm MQM-

Tm#HB+b Qm T`BpûbX

bTû+B}[m2b 2i mb;2 /Mb /Bzû`2Mib /QKBM2b

Ki?ûKiB[m2b

hQ +Bi2 i?Bb p2`bBQM,

LLh, kyR3laS**yyRX i2H@yRN9jNdR

1

Thèse de doctorat

Préparée ăů'Université Paris Diderot

Ecole doctorale

" Savoirs scientifiques : épistémologie, histoire des sciences, didactique des disciplines » (ED 400)

Laboratoire de didactique André Revuz

de savoirs spécifiques et usage dans différents domaines mathématiques

Par Dominique LAVAL

Thèse de doctorat de Didactique des Mathématiques

Dirigée par Monsieur Alain KUZNIAK

Présentée et soutenue publiquement à Paris le 8 mars 2018

Présidente du jury : OUVRIER-BUFFET Cécile, Professeure des Universités, Université de Reims

Champagne-Ardenne

Rapporteurs : BRONNER Alain, Professeur des Universités, Université de Montpellier RICHARD Philippe R., Professeur des Universités, Université de Montréal (Canada) Examinatrice : ARTIGUE Michèle, Professeure des Universités, Université Paris Diderot Directeur de thèse : KUZNIAK Alain, Professeur des Universités, Université Paris Diderot

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

2

Titre :

domaines mathématiques

Résumé :

Les nouveaux programmes des lycées français, mis en place depuis la rentrée 2010, ont fixé des

cet enseignement, trois objectifs fondamentaux doivent émerger : approfondir les bases de la logique et du raisonnement ;

A la lecture des programmes du lycée (Seconde (Grade 10) et cycle terminal scientifique (Grades 11

donner sens à un certain nombre de notions étudiées. Comment dépasser ce stade pour que

cadre plus général de raisonnement et de preuve, mais aussi de démarches de modélisation en

mathématiques.

vue des apprentissages effectivement réalisés par les élèves et des pratiques des enseignants, et

mathématiques et propose un cadre théorique tenant compte des cadres généraux de la didactique

des mathématiques, en particulier les Espaces de Travail Mathématique (ETM) (Kuzniak, Richard,

2014) associés à des domaines mathématiques spécifiques.

(ETA) (Laval, 2014, 2016), nous précisons ce que peuvent être les plans épistémologique et cognitif

instrumentale et discursive auxquelles ces plans donnent lieu. Nous étudions aussi quels espaces

personnels peuvent se construire chez les élèves des différents niveaux scolaires du lycée, et

comment ils articulent des connaissances sur les algorithmes et les domaines mathématiques

scolaires.

mathématiques spécifiques avec, en particulier, des paradigmes guidant et orientant le travail des

élèves.

modèles ETM/ETA, nous affinons certaines de nos analyses dans le cadre des ETM/ETA sur la base du cycle de modélisation proposé par Blum et Leiss (2005) en relation avec certains domaines spécifiques des mathématiques. Pour cela, nous construisons plusieurs ingénieries didactiques mettant en place des

expérimentations dans divers domaines mathématiques. Nous avons ainsi le domaine de la théorie

pour des nombres entiers compris entre 000 et 999, puis construire deux types de preuves (non

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

3

stratégie " gagnante » et " rapide » qui serait programmable dans un environnement numérique.

Une deuxième dite " dichotomie continue », où les élèves doivent produire une preuve basée sur la

pays si celui-ci met en place une politique des naissances précise, en lien avec la loi géométrique

tronquée.

Ces ingénieries sont expérimentées et analysées dans les trois niveaux du lycée français :

pratiques des enseignants.

Mots clefs :

Mathématiques ; algorithme ; algorithmique ; ingénierie didactique ; Espaces de travail Algorithmique (ETA) ; Espaces de travail Mathématique Spécifique (ETMs) ; paradigmes

algorithmiques ; théorie élémentaire des nombres ; analyse ; statistiques-probabilités ;

modélisation ; preuves ; algorithme de " dichotomie discret » ; algorithme de " dichotomie

continue » ; algorithme de Kaprekar ; politique des naissances

Title:

Algorithmics in High school between development of specific knowledge and use in various mathematical domains

Abstract:

The new programs of French High schools, since 2010, precise objectives in terms of algorithmics.

According to High schools curricula, algorithmics teaching appears as a tool (in the sense of Douady,

1986) to give meaning to some studied notions. How to go beyond this level so that algorithmic

becomes an object of learning (in the sense of Douady, 1986)? This research work is in the framework of learning of mathematical knowledge in algorithmics at the level of Grade 10 and Scientific Terminal Cycle (Grades 11 and 12) of the French high school. The study and construction of algorithms by students are located in a more general framework of reasoning and proof, but also mathematical modelling. We build three didactic engineerings in High school to study the work of student and to watch specific mathematical domains. framework taking into account the general frameworks of mathematics didactics, in particular the Mathematical Working Spaces (MWS) (Kuzniak, Richard, 2014) associated with specific mathematical domains. Following the specification of an Algorithmics Working Spaces (AWS) (Laval, 2014, 2016) we specify the possibilities of the epistemological and cognitive plans inside of these spaces increasing their

interactions with their semiotician, instrumental and discursive geneses. We also study which

personal spaces can be built for students at different levels of High school system, and how they articulate knowledge about algorithms and school mathematical domains. The models of MWS/AWS aim at analysing of mathematical work in specific mathematical domains, with in particular, paradigms guiding and directing the work of the student. Moreover, since few studies of modelling tasks have been built on MWS/AWS models, we refined some our analyses in the framework MWS/AWS basing on the modelling cycle proposed by Blum & Leiss (2005) in relation to some specific mathematical domains.

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

4 We build several didactic engineerings that we experimented in various mathematical domains: (1) elementary number theory; (2) mathematical analysis; (3) probabilities and random simulations. These didactic engineerings are experimented and analysed in various French High school's grade: Grade 10 and Scientific Terminal Cycle (Grades 11 and 12). Our research work includes tools for

analysing tasks and activities in different mathematical domains. The methodology obtains

Keywords:

Mathematics; algorithm; algorithmics; didactic engineering; Algorithmics Working Space (AWS); Specific Mathematical Working Space (MWSs); algorithmics paradigms; elementary theory of numbers; analysis; statistics ʹ probabilities; modelling; proof; dichotomy method; Kaprekar's routine; truncated geometric distribution

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

5 A ma femme, mes enfants, mes petits-enfants, mes parents et ma grand-mère

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

6

Remerciements

intense accompagnée de moments de doute, de joie, de questionnements mais surtout de

thèse pendant les cinq premières années. Grace à ta patience, ton soutien, tes précieux

tout au long de ces années, même si certaines fois les échanges pouvaient être un peu délicats.

Je remercie Alain Kuzniak, qui a accepté de remplacer Jean-baptiste, comme directeur de

thèse, pendant la sixième et dernière année de mon travail de thèse consacrée à la mise en

permis de retrouver confiance en moi-même. Je remercie Philippe R. Richard et Alain Bronner pour avoir accepté la charge de rapporteur pensée mathématique. membres de mon jury de thèse.

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

7 Mes remerciements vont aussi à Aline Robert, qui avec Michèle Artigue, lors de mon recherche dans le domaine de la didactique des mathématiques. Votre confiance et votre soutien auront été le déclencheur de ce goût à la recherche. Je remercie aussi Brigitte Grugeon-Allys, Maha Abboud, Laurent Vivier et Fabrice Vandebrouck pour leurs encouragements et leurs conseils à certains moments clés de mon travail de doctorant.

ces années de Master et de Thèse. Je remercie plus particulièrement les différents membres

du groupe ETM. Merci aussi à Sandrine, Evelyne, Laetitia, Jérôme pour leur gentillesse et leur travail. partagé pendant toutes ces années de thèse le bureau 5002. celui des WEJCH.

Merci à Madame Natta, Proviseure, et à mes anciens collègues de mathématiques du lycée

Galois à Sartrouville et plus particulièrement Daniel T. avec qui nous avons eu de longs échanges sur mes travaux de recherches. Merci aussi à Natalie et Pierre L. professeurs de mathématiques au lycée Thibault de Champagne à Provins. Merci à Sophie R. professeure de mathématiques au lycée International de Saint-Germain-en-Laye. Merci à Paul-Emile C.

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

8

gentiment ouvert les portes de vos classes afin que je puisse procéder aux différentes

Denis, collègues de mathématiques et à Madame Laroque responsable pédagogique du site de Saint-Germain-en-Laye pour leur soutien moral. Ich danke Prof. Dr. Gabriele Kaiser. In den Arbeitsgruppen der internationalen Symposien moral lors de ces années de thèse. Je remercie aussi chacun de mes enfants et leurs conjoints Schwiegereltern für ihre Geduld, wenn habe ich in der Stube meine Bücher und Papiere über den ganzen Tisch gestreut habe.

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

9

Table des matières

REMERCIEMENTS ......................................................................................................................... 6

INTRODUCTION .......................................................................................................................... 21

1. LES ORIGINES DE NOTRE TRAVAIL DE RECHERCHE ...................................................................................... 21

2. QUELLES APPROCHES POSSIBLES D'UN ENSEIGNEMENT DES ALGORITHMES EN COURS DE MATHEMATIQUES ? ..... 26

3. DEROULEMENT ET PLAN DE LA THESE ...................................................................................................... 31

PREMIERE PARTIE : CONSTITU' 'UN ENSEIGNEMENT

'N CLASSE DE MATHEMATIQUES AU LYCEE .............................................. 36 CHAPITRE 1 : DES DEFINITIONS ʹ LES PROGRAMMES SCOLAIRES ʹ LES QUESTIONS INITIALES. ...... 38

1. DES DEFINITIONS CLES ............................................................................................................... 38

1.1 UN ALGORITHME .............................................................................................................................. 38

1.2 UN PROGRAMME INFORMATIQUE ........................................................................................................ 40

1.3 LE CONCEPT DE LANGAGE DE PROGRAMMATION ..................................................................................... 41

1.4 'ALGORITHMIQUE ............................................................................................................................ 42

2. LES OBJECTIFS DES PROGRAMMES DE MATHEMATIQUES : SECONDE GENERALE ET CLASSES DU CYCLE TERMINAL DE

LA SERIE SCIENTIFIQUE ..................................................................................................................... 43

3.1 LA CLASSE DE SECONDE. ..................................................................................................................... 43

3.2 LES CLASSES DU CYCLE TERMINAL DE LA SERIE SCIENTIFIQUE. .................................................................... 48

3. ETAT DE L'ART SUR LES RECHERCHES EN DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES DANS LES DOMAINES DE LA

PROGRAMMATION ET DE L'ALGORITHMIQUE ......................................................................................... 52

3.1 UN RETOUR SUR LA RECHERCHE EN DIDACTIQUE AUTOUR DE LA PROGRAMMATION A LA FIN DES ANNEES 80 .... 52

3.2 UNE PREMIERE APPROCHE DU FONCTIONNEMENT DES MEMOIRES ET DES VARIABLES DANS LE CADRE DE

L'ALGORITHMIQUE ET DE LA PROGRAMMATION ............................................................................................... 53

4. UNE VISION DE LA RECHERCHE EN DIDACTIQUE SUR UNE INTRODUCTION DE L'ALGORITHMIQUE DANS

L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES AU LYCEE .................................................................................. 53

5. LES ASPECTS " OUTIL » ET " OBJET » DES ALGORITHMES.................................................................... 56

6. PLACE ET ROLE DES ALGORITHMES DANS LES PROGRAMMES ET LES MANUELS DEPUIS 2010 ........................ 57

7. 'ALGORITHMIQUE ET SON MODE DE PENSEE SPECIFIQUE ................................................................... 58

8. UN POINT SUR LES TRAVAUX EN DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES AUTOUR DE L'INFORMATIQUE ET DE

L'ALGORITHMIQUE .......................................................................................................................... 59

8.1 UN CADRE THEORIQUE BASE SUR UNE MODELISATION THEORIQUE PAR LES CONCEPTIONS ET LA DIALECTIQUE

OUTIL-OBJET POUR CARACTERISER L'OBJET " ALGORITHME » ............................................................................. 59

8.2 LE CADRE DE LA TRANSPOSITION DIDACTIQUE POUR ETUDIER LES APPORTS DE L'ALGORITHMIQUE A

L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES AU LYCEE ........................................................................................... 61

8.3 PRESENTATION DES ETUDES DE RECHERCHE FAITES EN PSYCHOLOGIE DE LA PROGRAMMATION ....................... 63

9. CONCLUSION DU CHAPITRE 1 : CONSEQUENCES DES OBSERVATIONS FAITES SUR LES DIFFICULTES OBSERVEES CHEZ

L'ELEVE DEBUTANT EN INFORMATIQUE ................................................................................................. 67

9.1 'ALGORITHME COMME " OBJET » D'APPRENTISSAGE EN MATHEMATIQUES................................................ 67

9.2 VERS L'ELABORATION D'UN NOUVEAU CADRE THEORIQUE ........................................................................ 68

CHAPITRE 2 : CONSTRU'ORIQUE .............................................................. 70

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

10

1. DEVELOPPEMENT THEORIQUE ET QUESTION .................................................................................... 70

2. VERS UN NOUVEAU CADRE THEORIQUE. POURQUOI ? ....................................................................... 72

3. LES ESPACES DE TRAVAIL MATHEMATIQUE ..................................................................................... 74

3.1 LES ESPACES DE TRAVAIL GEOMETRIQUE ET LES PARADIGMES GEOMETRIQUES ............................................ 74

3.2 LES ESPACES DE TRAVAIL MATHEMATIQUE ............................................................................................ 77

3.3 LES ESPACES DE TRAVAIL MATHEMATIQUE SPECIFIQUES .......................................................................... 85

4. LES ESPACES DE TRAVAIL ALGORITHMIQUE (ETA) ............................................................................ 86

4.1 LE PLAN EPISTEMOLOGIQUE ET SES COMPOSANTES ................................................................................. 86

4.2 LE PLAN COGNITIF ............................................................................................................................. 89

4.3 LES PARADIGMES ALGORITHMIQUES ..................................................................................................... 91

5. ESPACES DE TRAVAIL MATHEMATIQUE DE REFERENCE ....................................................................... 92

6. UNE APPROCHE " ALGORITHMIQUE » DU CONCEPT DE MODELISATION SELON BLUM ET LEISS ..................... 93

7. CONCLUSION DU CHAPITRE 2 : UN RETOUR SUR NOS CHOIX DE CADRES THEORIQUES ................................ 94

CHAPITRE 3 : PROBLEMATIQUE ET METHODOLOGIE DE RECHERCHE. ........................................... 97

1. SPECIFICITES DES ETA ET ETM PERMETTANT D'AFFINER L'ETUDE DU TRAVAIL DE L'ELEVE DANS CERTAINS

DOMAINES MATHEMATIQUES ............................................................................................................ 98

1.1 QUELLES INTERACTIONS ENTRE ETA ET ETM DANS DIVERS DOMAINES DES MATHEMATIQUES SCOLAIRES ? ...... 98

1.2 HYPOTHESES DE TRAVAIL SUR LES ETA-ETM IDOINES ........................................................................... 101

2. METHODOLOGIE POUR LA CONCEPTION ET LA MIS'INGENIERIES DIDACTIQUES ...................... 103

2.1 NOTRE METHODOLOGIE ................................................................................................................... 103

2.2 NOS INGENIERIES ............................................................................................................................ 104

3. CONCLUSION DU CHAPITRE 3 : DES ETA-ETM IDOINES ET PERSONNELS ............................................... 111

CONCLUSION DE LA PARTIE 1. .................................................................................................... 113

PARTIE 2 : LES INGENIERIES DIDACTIQUES .................................................................................. 117

CHAPITRE 1 : DES INGENIERIES DIDACTIQUES ............................................................................. 118

1. LES DIFFERENTES PHASES DE LA METHODOLOGIE ............................................................................. 118

2. NOS CHOIX GENERAUX ............................................................................................................. 119

3. LES INGENIERIES DIDACTIQUES : LES DOMAINES, LES TACHES ET LES PHASES ........................................... 119

3.1 LES DOMAINES MATHEMATIQUES SPECIFIQUES ..................................................................................... 119

3.2 LES TACHES .................................................................................................................................... 122

3.3 LES PHASES .................................................................................................................................... 123

4. LES DEUX PRINCIPAUX ENVIRONNEMENTS NUMERIQUES UTILISES DANS LE CADRE DE NOS INGENIERIES ......... 125

4.1 PRESENTATION DU LOGICIEL ALGOBOX ............................................................................................... 125

4.2 PRESENTATION DU LOGICIEL LARP ..................................................................................................... 126

5. CONCLUSION DU CHAPITRE 1 ..................................................................................................... 127

CHAPITRE 2 : ARTICULATION ESPACE DE TRAVAIL ALGORITHMIQUE ET ESPACE DE TRAVAIL MATHEMATIQUE SPECIFIQUE A LA THEORIE ELEMENTAIRE DES NOMBRES ................................. 128

1. POURQUOI PARLER DE THEORIE ELEMENTAIRE DES NOMBRES ET NON D'ARITHMETIQUE ? ......................... 128

1.1 LA THEORIE DES NOMBRES ................................................................................................................ 128

1.2 'ARITHMETIQUE ............................................................................................................................ 129

1.3 LA THEORIE ELEMENTAIRE DES NOMBRES ............................................................................................ 129

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

11

2. CHOIX PRINCIPAUX POUR UNE INGENIERIE DANS LE DOMAINE DE LA THEORIE ELEMENTAIRE DES NOMBRES .... 129

3. PRESENTATION DE L'ALGORITHME DE KAPREKAR ............................................................................ 130

3.1 DESCRIPTION DU PROCESSUS DE CALCUL ............................................................................................. 130

3.2 ÉTUDE SELON LE NOMBRE ENTIER INITIAL CHOISI - CHOIX DU NOMBRE DE CHIFFRES DU NOMBRE ENTIER INITIAL

POUR NOTRE INGENIERIE ........................................................................................................................... 131

3.3 UN ALGORITHME QUI TROUVE SA PLACE A TOUS LES NIVEAUX SCOLAIRES DE L'ELEMENTAIRE AU SUPERIEUR ʹ LE

CHOIX DU NIVEAU .................................................................................................................................... 132

4. ANALYSE DES PROGRAMMES ET DE DEUX MANUELS EN LIEN AVEC L'ALGORITHME DE KAPREKAR ................. 135

4.1 LE PROGRAMME SUR " NOMBRES ET CALCULS » EN CLASSE TROISIEME .................................................... 135

4.2 LE PROGRAMME SUR L'ARITHMETIQUE EN TERMINALE SCIENTIFIQUE ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE ............. 139

4.3 ETUDE DE DEUX MANUELS SCOLAIRES DE TERMINALE PROPOSANT DES TACHES EN LIEN AVEC L'ALGORITHME DE

KAPREKAR .............................................................................................................................................. 142

4.4 QUE RETENIR DES ANALYSES DES PROGRAMMES EN LIEN AVEC LE DOMAINE DE L'ARITHMETIQUE ET DES DEUX

MANUELS PROPOSANT DES TACHES SUR L'ALGORITHME DE KAPREKAR, VOIRE DE L'ALGORITHME D'UCLIDE, DANS LA

PERSPECTIVE DES ANALYSES CONCERNANT NOTRE INGENIERIE, EN FONCTION DE NOTRE CADRE THEORIQUE ? .......... 156

5. 'INGENIERIE.......................................................................................................................... 156

5.1 'ͨ INGENIERIE-GUY »..................................................................................................................... 157

5.2 NOTRE INGENIERIE .......................................................................................................................... 159

6. CONCLUSION DU CHAPITRE 2 ..................................................................................................... 210

CHAPITRE 3 : VERS UNE INGENIERIE DIDACTI'ALGORITHME DE DICHOTOMIE .. 212

1. INTRODUCTION ...................................................................................................................... 212

2. ANALYSE DES PROGRAMMES DE LA SECONDE ET DES CLASSES DU CYCLE TERMINAL SCIENTIFIQUE EN LIEN AVEC

NOTRE RECHERCHE ......................................................................................................................... 214

2.1 LES FONCTIONS ............................................................................................................................... 214

2.2 LES SUITES ..................................................................................................................................... 216

2.3 'ALGORITHMIQUE DANS LE DOMAINE DE L'NALYSE ............................................................................ 216

2.4 VERS UNE PREUVE ALGORITHMIQUE DU THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES EN TERMINALE SCIENTIFIQUE

219

3. ETUDE DE MANUELS SCOLAIRES ET D'AUTRES RESSOURCES ................................................................. 219

3.1 AU NIVEAU DE LA SECONDE .............................................................................................................. 220

3.2 AU NIVEAU DE LA PREMIERE SCIENTIFIQUE .......................................................................................... 245

3.3 AU NIVEAU DE LA TERMINALE SCIENTIFIQUE ........................................................................................ 254

4. SYNTHESE SUR L'ANALYSE DES PROGRAMMES ET L'ETUDE DE MANUELS ET DOCUMENTS RESSOURCES DE SECONDE

ET DU CYCLE SCIENTIFIQUE TERMINAL .................................................................................................. 269

4.1 AU NIVEAU DE LA SECONDE .............................................................................................................. 269

4.2 AU NIVEAU DE LA PREMIERE SCIENTIFIQUE .......................................................................................... 270

4.3 AU NIVEAU DE LA TERMINALE SCIENTIFIQUE ........................................................................................ 272

4.4 SYNTHESE GLOBALE ......................................................................................................................... 274

5. NOS MOTIVATIONS .................................................................................................................. 275

6. CONCLUSION DU CHAPITRE 3 : LA STRUCTURE DE L'INGENIERIE ........................................................... 276

CHAPITRE 4 : UNE INGENIERIE ARTICULANT ETA ET ETM SPECIFIQUE (PARTIE 1) : ALGORITHME DE

DICHOTOMIE " DISCRETE » ʹ UNE STRATEGIE " RAPIDE » ET " GAGNANTE » .............................. 278

1. NOS OBJECTIFS ET NOS CHOIX ..................................................................................................... 278

1.1 LES OBJECTIFS ................................................................................................................................. 278

1.2 LES CHOIX ...................................................................................................................................... 279

2. LES PHASES ............................................................................................................................ 290

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

12

2.1 PHASE 1 (ALGORITHME DU JOUEUR A ʹ CONCEPTION GENERALE)............................................................ 290

2.2 PHASE 2 (ALGORITHME DE JOUEUR B ʹ CONCEPTION GENERALE ET ECRITURE D'UN ORGANIGRAMME PAPIER-

CRAYON) ................................................................................................................................................ 291

2.3 PHASE 3 (ALGORITHME DE JOUEUR B ʹ FORMALISATION SOUS FORMES " TEXTUELLE » ET " SPATIALE » ʹ

IMPLEMENTATION DANS UN ENVIRONNEMENT NUMERIQUE DE L'ALGORITHME) ................................................. 292

3. ANALYSE A PRIORI ................................................................................................................... 292

3.1 PHASE 1 (ALGORITHME DU JOUEUR A ʹ CONCEPTION GENERALE)............................................................ 292

3.2 PHASE 2 (ALGORITHME DE JOUEUR B ʹ CONCEPTION GENERALE ET ECRITURE D'UN ORGANIGRAMME " PAPIER-

CRAYON ») ............................................................................................................................................. 293

3.3 PHASE 3 (ALGORITHME DE JOUEUR B ʹ FORMALISATION SOUS FORMES " TEXTUELLE » ET " SPATIALE » ʹ

IMPLEMENTATION DE L'ALGORITHME DANS L'ENVIRONNEMENT NUMERIQUE) .................................................... 294

4. MISE EN PLACE DE L'EXPERIMENTATION, DEROULEMENT ET ANALYSE A POSTERIORI ................................. 295

4.1 LES CLASSES, LES SUPPORTS D'OBSERVATIONS ...................................................................................... 295

4.2 PHASE 1 (ALGORITHME DU JOUEUR A ʹ CONCEPTION GENERALE. DUREE : 20 MINUTES EN SECONDE ʹ 15

MINUTES EN PREMIERE ET TERMINALE SCIENTIFIQUE) .................................................................................... 296

4.3 PHASE 2 (ALGORITHME DE JOUEUR B ʹ CONCEPTION GENERALE ET ECRITURE D'UN ORGANIGRAMME PAPIER-

CRAYON. DUREE : 70 MINUTES EN SECONDE ʹ 40 MINUTES EN PREMIERE ET TERMINALE SCIENTIFIQUE) ............... 307

4.4 PHASE 3 (ALGORITHME DE JOUEUR B ʹ FORMALISATION SOUS FORMES " TEXTUELLE » ET " SPATIALE » ʹ

IMPLEMENTATION DANS UN ENVIRONNEMENT NUMERIQUE DE L'ALGORITHME. DUREE : 30 MINUTES EN CLASSE QUI SE

TERMINE A LA MAISON POUR LA CLASSE DE SECONDE ʹ 40 MINUTES EN PREMIERE ET TERMINALE SCIENTIFIQUE) .... 325

5. SYNTHESE DE LA SOUS-INGENIERIE " ALGORITHME DE DICHOTOMIE DISCRETE » ...................................... 345

5.1 LES STRUCTURES ............................................................................................................................. 345

5.2 LES VARIABLES ................................................................................................................................ 346

5.3 LES MODES D'EXPRESSION ................................................................................................................ 347

6. LES PERSPECTIVES POUR LA SOUS-INGENIERIE " ALGORITHME DE DICHOTOMIE CONTINUE » : ARTICULATION ETA

ʹ ETM ; NIVEAUX DE PARADIGMES ................................................................................................... 349

6.1 PRESENTATION ............................................................................................................................... 349

6.2 LES TABLEAUX ................................................................................................................................ 349

7. CONCLUSION DU CHAPITRE 4 ..................................................................................................... 356

CHAPITRE 5 : UNE INGENIERIE ARTICULANT ETA ET ETM SPECIFIQUES (PARTIE2) : ALGORITHME DE

DICHOTOMIE " CONTINU » ʹ VERS UNE PREUVE DU TVI ............................................................. 357

1. UNE SOUS-INGENIERIE .............................................................................................................. 357

1.1 PRESENTATION ............................................................................................................................... 357

1.2 LES PREMIERES PROBLEMATIQUES DE LA SOUS-INGENIERIE ..................................................................... 357

1.3 ARRIERE-PLAN MATHEMATIQUE ET INSTITUTIONNEL ............................................................................. 359

2. PREMIERE PARTIE DE LA SOUS-INGENIERIE " DICHOTOMIE CONTINUE » ................................................ 361

2.1 LES OBJECTIFS ET LES ATTENTES ......................................................................................................... 361

2.2 LES CHOIX POUR CHAQUE PHASE ........................................................................................................ 362

2.3 LES TACHES ET LE MODE DE TRAVAIL ................................................................................................... 368

2.4 LES ANALYSES A PRIORI .................................................................................................................... 372

2.5 MISE EN PLACE DE L'EXPERIMENTATION, DEROULEMENTS ET ANALYSES A POSTERIORI ................................. 377

2.6 SYNTHESE DE LA PREMIERE PARTIE DE LA SOUS-INGENIERIE " DICHOTOMIE CONTINUE » ............................. 437

3. DEUXIEME PARTIE DE LA SOUS-INGENIERIE " DICHOTOMIE CONTINUE »................................................ 438

3.1 LES OBJECTIFS ET LES ATTENTES ......................................................................................................... 439

3.2 LES CHOIX POUR CHACUNE DES DEUX PHASES ....................................................................................... 440

3.3 LES TACHES ET LE MODE DE TRAVAIL ................................................................................................... 442

3.4 LES ANALYSES A PRIORI .................................................................................................................... 444

3.5 MISE EN PLACE DE L'EXPERIMENTATION, DEROULEMENT ET ANALYSES A POSTERIORI .................................. 449

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

13

3.6 SYNTHESE EN TERMES D'ANALYSE EN LIEN AVEC LES ESPACES DE TRAVAIL MATHEMATIQUE ET ALGORITHMIQUE

DES PHASES 5 ET 6 DE LA SOUS-INGENIERIE " DICHOTOMIE CONTINUE » ........................................................... 462

4. CONCLUSION DU CHAPITRE 5 ʹ SYNTHESE DE L'INGENIERIE COMPLETE " ALGORITHME DE DICHOTOMIE » ..... 464

CHAPITRE 6 : UNE INGENIERIE ARTICULANT ETA ET ETM SPECIFIQUE : UNE POLITIQUE DES

NAISSANCES .............................................................................................................................. 468

1. INTRODUCTION ...................................................................................................................... 469

2. APPROCHE INSTITUTIONNELLE .................................................................................................... 471

2.1 EN SECONDE .................................................................................................................................. 471

2.2 EN PREMIERE SCIENTIFIQUE .............................................................................................................. 481

2.3 CONCLUSION .................................................................................................................................. 488

3. UNE INGENIERIE DIDACTIQUE DANS LE CHAMP DES PROBABILITES ........................................................ 488

3.1 NOS MOTIVATIONS .......................................................................................................................... 488

3.2 NOTRE INGENIERIE DIDACTIQUE ......................................................................................................... 492

4. CONCLUSION DU CHAPITRE 6 ..................................................................................................... 541

4.1 'ASPECT MODELISATION .................................................................................................................. 542

4.2 DONNER DU SENS AUX OBJETS ALGORITHMIQUES ET INFORMATIQUES MIS EN JEU LORS DE CETTE

EXPERIMENTATION ................................................................................................................................... 544

4.3 LES DIFFERENTES APPROCHES DE LA POLITIQUE DES NAISSANCES ............................................................. 545

4.4 UNE SUITE POSSIBLE A CETTE INGENIERIE ............................................................................................. 545

CONCLUSION DE LA PARTIE 2 ..................................................................................................... 546

1. DEUX INGENIERIES SUR ALGORITHMES ET APPRENTISSAGE DE LA PREUVE............................................... 546

1.1 'ALGORITHME DE KAPREKAR ............................................................................................................ 546

1.2 'ALGORITHME DE DICHOTOMIE ........................................................................................................ 548

2. UNE INGENIERIE SUR LA MODELISATION ET UNE DOUBLE APPROCHE : " FREQUENTISTE » ET " PROBABILISTE »,

DANS LE CADRE D'UNE POLITIQUE DES NAISSANCES................................................................................. 551

3. 'INTRODUCTION DE L'ETA : UN REEL BENEFICE POUR FAVORISER L'ACCES A DE NOUVELLES COMPETENCES

MATHEMATIQUES. ......................................................................................................................... 552

CONCLUSION : QUELS ENSEIGNEMENTS TIRONS-NOUS DE CE TRAVAIL DE RECHERCHE ? ............. 554

1. POURQUOI UN NOUVEAU CADRE THEORIQUE ? ............................................................................... 555

2. UN TRAVAIL SPECIFIQUE SUR LA THEORIE ELEMENTAIRE DES NOMBRES ................................................. 560

3. DES TRAVAUX SPECIFIQUES AU DOMAINE D'ANALYSE ....................................................................... 561

4. UN TRAVAIL SPECIFIQUE A UNE SIMULATION ALEATOIRE : UNE POLITIQUE DES NAISSANCES ........................ 564

5. LES INGENIERIES SUR LA DICHOTOMIE ET LA SIMULATION SONT PRATIQUEES DANS LES MEMES CLASSES. QUELLES

SONT LES CONSEQUENCES DE CE CHOIX ? QUELS ENSEIGNEMENTS EN TIRONS-NOUS DE CE CHOIX ? POUR LES ELEVES ?

POUR LES PRATIQUES ENSEIGNANTES ? ............................................................................................... 566

6. PENSEE MATHEMATIQUE / PENSEE ALGORITHMIQUE ....................................................................... 568

7. LES LIMITES OBSERVEES AU COURS DE NOTRE RECHERCHE ʹ QUELLES PERSPECTIVES POUVONS-NOUS

ENVISAGER A CE TRAVAIL DE RECHERCHE ? ........................................................................................... 571

7.1 LES LIMITES OBSERVEES AU COURS DE NOTRE RECHERCHE ...................................................................... 571

7.2 QUELLES PERSPECTIVES POUVONS-NOUS ENVISAGER A CE TRAVAIL DE RECHERCHE ? .................................. 574

8. CONCLUSION ......................................................................................................................... 576

BIBLIOGRAPHIE ......................................................................................................................... 577

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

14

PROGRAMMES SCOLAIRES......................................................................................................... 585

DOCUMENTS RESSOURCES ........................................................................................................ 586

MANUELS SCOLAIRES ................................................................................................................ 587

ANNEXES .................................................................................................................................. 588

ANNEXE 1 ʹ ECRIRE UN ALGORITHME AU FORMAT SPATIAL : LES ORGANIGRAMMES (DOCUMENT DISTRIBUE AUX ELEVES DES CLASSES AYANT PARTICIPE AU MOINS A UNE DES INGENIERIES) ...... 589

LES FIGURES USUELLES UTILISEES DANS LA CONSTRUCTION D'ORGANIGRAMMES ............................................ 589

TYPES D'ORGANIGRAMMES UTILISABLES POUR REPRESENTER LES STRUCTURES ETUDIEES DANS LES CLASSES DE LYCEE

................................................................................................................................................. 591

ANNEXE 2 ʹ ARTICLE S';EXTRAIT DE LA REVUE " POUR LA SCIENCE N° 400 ʹ

FEVRIER 2011 ») ........................................................................................................................ 594

ANNEXE 3 ʹ ARTICLE " ELEMENTS POUR LA FORMATION INITIALE DES PR' 'ME DE KAPREKAR » DE J.-C. RAUSCHER (EXTRAIT DES ACTES DU XXXIVEME COLLOQUE : EXPERIMENTATION ET MODELISATION DANS L'ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE :

QUELLES MATHEMATIQUE'͍ - TROYES 2007)............................................................. 600

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

15

Table des illustrations

FIGURE 1 (EXTRAIT DU PROGRAMME DE 2NDE : BOUCLE ET ITERATEUR, INSTRUCTION CONDITIONNELLE) 44 FIGURE 2 (EXTRAIT DU PROGRAMME DE 2NDE : RESOLUTION GRAPHI'EQUATIONS) 46 FIGURE 3 (EXTRAIT DU PROGRAMME DE 2NDE : PROPRIETES DES FIGURES PLANES) 46 FIGURE 4 (EXTRAIT DU PROGRAMME DE 2NDE : ECHANTILLONNAGE) 47 FIGURE 5 (SCHEMA DES TRANSPOSITIONS DIDACTIQUE ET INFORMATIQUE ʹ CHEVALLARD (1982) & BALACHEFF (1994)) 61 FIGURE 6 (RESOLUTIONS MATHEMATIQUE, ALGORITHMIQUE ET INFORMATIQUE ʹ BRIANT & BRONNER (2015)) 62
FIGURE 7 (LES PLANS EPISTEMOLOGIQUE ET COGNITIF DES ETG) 76

FIGURE 8 (PLAN EPISTEMOLOGIQUE DES ETM) 80

FIGURE 9 (PLAN COGNITIF DES ETM) 82

FIGURE 10 (LES 3 PLA'ENTIFIES PAR LES GENDANS LES ETM) 83 FIGURE 11 (PLANS EPISTEMOLOGIQUE ET COGNITIF ET LES GENESES DANS LE CAS DES ETM) 83

FIGURE 12 (PLAN EPISTEMOLOGIQUE DES ETA) 86

FIGURE 13 (PLAN COGNITIF DES ETA) 86

FIGURE 14 (PLAN EPISTEMOLOGIQUE DES ETA 'ME DE KAPRKAR) 88 FIGURE 15 (PLAN EPISTEMOLOGIQUE DES ETA ASSOCIE A LA " DICHOTOMIE DISCRETE ») 89 FIGURE 16 (" THE MODELING CYCLE ACCORDING TO BLUM AND LEIß (2006) ») 94 FIGURE 17 (ETM/ETA ASSOCIES AU CYLCE DE MODELISATION DE BLUM ET LEISS (2005)) 95 FIGURE 18 (UN EXEMPLE DE CYCLE DE MODELISATION : " DICHOTOMIE DISCETE » (LAVAL, 2016)) 96 FIGURE 19 (REPRESENT'E FONCTION CONTINUE F SUR [A ; B] AVEC F(A)×F(B)<0) 108

FIGURE 20 (ECRAN ALGOBOX) 125

FIGURE 21 (ECRAN LARP) 127

FIGURE 22 (KAPREKAR ʹ EXTRAIT DU 34E COLLOQUE COPIRELEM) 133 FIGURE 23 (EXTRAIT DU PROGRAMME OBLIGATOIRE ET SPECIALITE DE LA TERMINALE SCIENTIFIQUE) 140 FIGURE 24 (EXTRAIT D'EL HYPERBOLE (ED. 2011) ʹ KAPREKAR) 143 FIGURE 25 (EXTRAIT D'EL HYPERBOLE ʹ ALGOR'Ϳ 148 FIGURE 26 (EXTRAIT D''ʹ LA RECETTE DE KAPREKAR) 151

FIGURE 27 ;' 'ʹ ALG' 'NTIER)

152
FIGURE 28 (EXTRAIT D''ʹ LES CHIFFRES DES UNITES) 153 Ϯϵ;''E CALCUL ʹ TRIS DECROISSANT ET CROISSANT DE TROIS CHIFFRES) 154

FIGURE 30 (NOMBRE DE 'NE DISTANCE DONNEE A LA

CONFIGURATION INITIALE) 169

FIGURES 31 ;'HMES OBTENUS A LA FI' " INGENIERIE-GUY » SUR KAPREKAR) 176 FIGURE 32 ;'LGORITHME SOUS ALGOBOX PERMETTANT DE DETERMINER UNE PREUVE PAR

EXHAUSTION DES CAS DE LA CONJECTURE KAPREKAR) 185

FIGURE 33 (EXTRAIT DES RESULTATS OBTENUS ' 'LGORITHME DE LA

FIGURE 32) 185

FIGURE 34 (SOUS ALGOBOX, UNE PREMIERE MODIFICAT'DE LA FIGURE 32) 186 FIGURE 35 (EXTRAIT DES RESULTATS OBTENUS ''ALGORITHME DE LA

FIGURE 34) 186

FIGURE 36 (SOUS ALGOBOX, UNE 'GORITHME DE LA FIGURE 34) 187

FIGURE 37 (EXTRAIT D'KAR SOUS ALGOBOX) 188

FIGURE 38 (EXTRAIT 'EKAR SOUS ALGOBOX) 188

FIGURE 39 (SOUS ALGOBOX, UN ALGORITHME AUTOMATISE PERMETTANT UNE PREUVE PAR EXHAUSTION DES CAS DE LA CONJECTURE KAPREKAR, POUR TOUS LES ENTIERS NATURELS INFERIEURS A 999) 190 FIGURE 40 (SOUS ALGOBOX, UN ALGORITHME AUTOMATISE AVEC UTILI'͕PERMETTANT UNE PREUVE PAR EXHAUSTION DES CAS DE LA CONJECTURE KAPREKAR, POUR TOUS LES ENTIERS

NATURELS INFERIEURS A 999) 191

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

16 FIGURE 41 (SOUS ALGOBOX, UN ALGORITHME AUTOMATISE AVEC UTILISATION DE DEUX LISTES, PERMETTANT UNE PREUVE PAR EXHAUSTION DES CAS DE LA CONJECTURE KAPREKAR, POUR TOUS LES ENTIERS

NATURELS INFERIEURS A 999) 192

FIGURE 42 (EXTRAIT D''RMINALE SCIENTIFIQUE) 194

FIGURE 43 ;' 'LEVE DE TERMINALE SCIENTIFIQUE) 195 FIGURE 44 (EXTRAIT ' K'E TERMINALE SCIENTIFIQUE) 196

FIGURE 45 (EXTRAIT D''RMINALE SCIENTIFIQUE) 197

FIGURE 46 (DIVERS AL'UR KAPREKAR IMPLEMENTES DANS ALGOBOX) 202 ϰϳ;'ALGORITHME KAPREKAR " AUTOMATISE » SOUS ALGOBOX AVEC UTILISA' LISTE DE SIX ENTIERS DE LA FORME 99 K, OU K EST UN ENTIER ALLANT DE 0 A 5) 203 ϰϴ;'ALGORITHME KAPREKAR " AUTOMATISE » SOUS ALGOBOX AVEC UNE UTILISATION DE DEUX LISTE POUR OBTENIR UNE PREUVE " EXPLICATIVE » DE LA CONJECTURE) 204 ϰϵ;'ALGORITHME KAPREKAR " AUTOMATISE » SOUS ALGOBOX AVEC UTILISA' LISTE COMPLETEE AVAN'EFERENCE AUX MULTIPLES DE 99) 205 FIGURE 50 (EXTRAIT D'EL HYPERBOLE DE 2NDE : UN ALGORITHME DE DICHOTOMIE) 222 FIGURE 51 (EXTRAIT 'NUEL HYPERBOLE DE 2NDE : UN ALGORITHME POUR ENCADRER) 222 FIGURE 52 (EXTRAIT D'EL HYPERBOLE DE 2NDE ͗'EQUATION) 223 FIGURE 53 (EXTRAIT D'EL DE 2NDE MATHS-REPERES : METHODE DE DICHOTOMIE) 229 FIGURE 54 (EXTRAIT D'EL DE 2NDE MATHS-REPERES : PAR DICHOTOMIE ET ALGOBOX) 230
FIGURE 55 (EXTRAIT D'ͨ ACTIVITE DE RECHERCHE » DU MANUEL DE 2NDE MATHS-REPERES : ECRITURE

DECIMALE DU NOMBRE REEL ʹ) 232

FIGURE 56 (UN ALGORITHME ECRIT EN LANGAGE NATUREL) 240 FIGURE 57 (UN ALGORITHME DE " DICHOTOMIE CONTINUE ») 240 FIGURE 58 (UN ALGORI'OMBRE FINI DE POINTS DE LA REPRESENTATION GRAPHIQUE 'IQUE) 242 FIGURE 59 ('NE SOLUTION 'UNE EQUATION DE LA FORME F(X) = 0 PAR LA METHODE

DE DICHOTOMIE) 243

FIGURE 60 ;'CHOTOMIE (ROLAND, 20ϭϬͿ'ENT IREM) 244 FIGURE 61 (EXTRAIT D'EL ODYSSEE DE 1ERE SCIENTIFIQUE : RESO'

EQUATION PAR DICHOTOMIE) 247

FIGURE 62 (EXTRAIT D'EL ODYSSEE DE 1ERE SCIENTIFIQUE : METHODE DE NEWTON) 249 FIGURE 63 (EXTRAIT D'EL SYMBOLE DE 1ERE SCIENTIFIQUE : PRINCIPE DE DICHOTOMIE) 251
FIGURE 64 (EXTRAIT D''LE SCIENTIFIQUE : COMPARAISON DE

DEUX ALGORITHMES) 256

FIGURE 65 (EXTRAIT D''ES DU MANUEL MA'IENTIFIQUE :

EQUATIONS DE LA FORME F(X) = K) 257

FIGURE 66 (EXTRAIT D''ENTIFIQUE ͗'THME DE

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] Algorithmique, suites et propriétés 1ère Mathématiques

[PDF] algoritme 2nde Mathématiques

[PDF] Algoritme D'Euclide et tableur 3ème Mathématiques

[PDF] algoritme help 2nde Mathématiques

[PDF] Algoritme pour classer des inconnus 2nde Mathématiques

[PDF] Algoritme, fontcion carré 2nde Mathématiques

[PDF] algoritmique devoir maison de maths Terminale Mathématiques

[PDF] algortihme et boucle itérative 3ème Mathématiques

[PDF] Algortihme sur calculatriche 2nde Mathématiques

[PDF] Algorythme 1ère Mathématiques

[PDF] algorythme 2nde Mathématiques

[PDF] Algorythme ( fonction) 2nde Mathématiques

[PDF] ALgotithmique 1 ere S svp svp aide !!!!!!!!!!! 1ère Mathématiques

[PDF] ALGOTRITHME FACILE niveau 2ND 3ème Mathématiques

[PDF] algues vertes algues rouges et photosynthèse PDF Cours,Exercices ,Examens