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que pour leur contribution a la compilation d’exercices corrig´es du chapitre 10 — Jean-Franc¸ois Delmas pour les emprunts faits au polycopi´e de son cours de premi`ere ann´ee a l’ENSTA : “Introduction aux probabilit´es et a la statistique” — l’´equipe enseignante du cours de statistique de seconde ann´ee pour les emprunts
Qu'est-ce que les statistiques et les probabilités ?
Les statistiques et les probabilités permettent aux mathématiciens dans le domaine des assurances d’évaluer les risques, de calculer les primes en fonction des prestations et de déterminer les provisions requises pour les assurances-vie, assurances-accidents, assurances dommages, caisses de pension, caisses-maladie et institutions de réassurance.
Quels sont les deux premiers ouvrages de calcul des probabilités?
Les deux premiers ouvrages sont des manuel destinés à présenter le calcul des probabilités à un public large sans avoir besoin de connaissances mathématiques élevées.
Qui a inventé les probabilités?
•Abraham de Moivre(1667-1754), De Mensura Sortis, 1712 et The Doctrine of Chances, 1718, 1738 (2e éd.), 1756 (3eéd.). Dans la deuxième moitié du XVIIesiècle, peu de textes ont été publiés sur les probabilités depuis le traité de Huygens.
Quel est l’auteur de la théorie des probabilités?
Mathématicien, philosophe et économiste, Augustin Cournot est l’auteur d’une théorie des probabilités où il fait une part importante au hasard qui est chez lui la rencontre accidentelle et imprévisible entre plusieurs séries de faits ou de causes indépendantes. 18 Statistique économique et sociale
Benjamin JOURDAIN
10 janvier 2018
2 iRemerciements
Je tiens `a remercier
- les membres de l"´equipe enseignante du cours de probabilit´es de premi`ere ann´ee, Aur´elien Alfonsi, Mohamed Ben Alaya, Anne Dutfoy, Michel de Lara, Julien Guyon, Tony Leli`evre, Jean-Michel Marin, Mohamed Sbai et Alain Toubol pour les nom- breuses am´eliorations qu"ils ont apport´e `a ce polycopi´e par leurs remarques ainsi que pour leur contribution `a la compilation d"exercices corrig´es du chapitre 10, - Jean-Fran¸cois Delmas pour les emprunts faits au polycopi´e de son cours de premi`ere ann´ee `a l"ENSTA : "Introduction aux probabilit´es et `a la statistique", - l"´equipe enseignante du cours de statistique de seconde ann´ee pour les emprunts faits au polycopi´e et au recueil d"exercices qu"ils ont r´edig´es sous la direction de Jean-Pierre Raoult puis de Jean-Fran¸cois Delmas. ii Table des mati`eres1 Introduction : probabilit´e sur un espace fini 11.1 Probabilit´e sur un espace fini, ´ev´enements . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1
1.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Probabilit´es uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4
1.2 Probabilit´e conditionnelle et ind´ependance . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Probabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5
1.2.2 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Variables al´eatoires discr`etes11
2.1 Espace de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 11
2.2 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 12
2.2.1 Rappel sur les manipulations de s´eries . . . . . . . . . . . .. . . . 12
2.2.2 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 Lois discr`etes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 14
2.2.5 Loi marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 19
2.3.1 Esp´erance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Fonction g´en´eratrice
des variables al´eatoires enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 242.5 Loi et esp´erance conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Variables al´eatoires `a densit´e37
3.1 Manipulation d"int´egrales multiples . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 37
3.1.1 Th´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Variables al´eatoires r´eelles `a densit´e . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
iii ivTABLE DES MATI`ERES3.2.2 Densit´es r´eelles usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 41
3.2.3 Esp´erance, variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
3.2.4 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44
3.3 Vecteurs al´eatoires `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 44
3.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2 Densit´e marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.4 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.5 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.6 Loi et esp´erance conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 49
3.4 Lois b´eta, gamma, du chi 2,
de Student et de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Simulation61
4.1 Simulation de variables al´eatoires discr`etes . . . . . .. . . . . . . . . . . . 62
4.1.1 Loi de Bernoulli de param`etrep?[0,1] . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.2 Loi binomiale de param`etresn?N?etp?[0,1] . . . . . . . . . . . 62
4.1.3 Loi g´eom´etrique de param`etrep?]0,1] . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.4 Simulation suivant une loi discr`ete quelconque . . . .. . . . . . . . 63
4.2 Simulation de variables al´eatoires `a densit´e . . . . . .. . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Loi uniforme sur [a,b] aveca < b?R. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.2 M´ethode d"inversion de la fonction de r´epartition .. . . . . . . . . 63
4.2.3 M´ethode polaire pour la loi normale centr´ee r´eduite . . . . . . . . . 64
4.2.4 M´ethode du rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Convergence et th´eor`emes limites73
5.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
5.2.1 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
5.2.2 Loi forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
5.3 Fonction caract´eristique et convergence en loi . . . . . .. . . . . . . . . . 81
5.3.1 Fonction caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 81
5.3.2 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 Le th´eor`eme de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 87
5.4.1 Enonc´e et preuve du r´esultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 87
5.4.2 Intervalle de confiance dans la m´ethode de Monte-Carlo . . . . . . . 89
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
TABLE DES MATI`ERESv
5.6 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6 Vecteurs gaussiens97
6.1 D´efinition, construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 97
6.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1.2 Stabilit´e du caract`ere gaussien par transformation lin´eaire . . . . . 98
6.1.3 Construction d"un vecteur gaussien de loiNn(μ,Λ) . . . . . . . . . 99
6.2 Propri´et´es des vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 99
6.2.1 Vecteurs gaussiens et ind´ependance . . . . . . . . . . . . . .. . . . 99
6.2.2 Vecteurs gaussiens et convergence en loi . . . . . . . . . . .. . . . 101
6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7 Estimation de param`etres107
7.1 Mod`ele param´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 107
7.2 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2.2 L"Estimateur du Maximum de Vraisemblance . . . . . . . . . .. . 110
7.2.3 Estimateurs de Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.4 Am´elioration d"estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 116
7.3 Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 119
7.3.1 Approche non asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3.2 Approche asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.5 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8 Tests d"hypoth`eses127
8.1 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.2 Le cas du mod`ele gaussienP={N1(μ,σ2),μ?R,σ2>0}: . . . . . 131
8.2 Le test duχ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2.1 Test d"ad´equation `a une loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 133
8.2.2 Test d"ad´equation `a une famille de lois . . . . . . . . . . .. . . . . 135
8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9 R´egression Lin´eaire141
9.1 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.2 Test de l"utilit´e des r´egresseurs . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 143
9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
viTABLE DES MATI`ERES10 Corrig´es d"exercices et probl`emes149
10.1 Probabilit´e sur un espace fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 149
10.2 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 149
10.3 Variables al´eatoires `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 157
10.4 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.5 Convergence et th´eor`emes limites . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 164
10.6 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 170
10.7 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.8 Tests d"hypoth`eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 174
10.9 R´egression lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 175
11 Tables statistiques179
11.1 Quantiles de la loiN1(0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.2 Fonction de r´epartition de la loiN1(0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11.3 Quantiles de la loi duχ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.4 Quantiles de la loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 182
11.5 Quantiles de la loi de Fisher (ou Fisher-Snedecor) . . . .. . . . . . . . . . 183
Chapitre 1Introduction : probabilit´e sur unespace finiHistoriquement, le calcul des probabilit´es s"est d´evelopp´e `a partir du XVIIesi`ecle autour
des probl`emes de jeux dans des situations o`u le nombre de cas possibles est fini. Lesd´eveloppements plus r´ecents concernant des espaces non n´ecessairement finis n´ecessitent
les outils techniques de la th´eorie de la mesure. Mais on peut introduire simplement sur les espaces finis toutes les notions importantes de probabilit´es sans avoir besoin de cet outillage.1.1 Probabilit´e sur un espace fini, ´ev´enements
1.1.1 D´efinitions
On s"int´eresse `a une exp´erience al´eatoire qui conduit `a la r´ealisation d"un seul r´esultat
parmi un nombre fini de r´esultats possiblesω1,ω2,...,ωn. On note Ω ={ω1,ω2,...,ωn}
l"ensemble de ces r´esultats. Exemple 1.1.1.- Jet d"une pi`ece `a pile o`u face : Ω ={P,F}. - Jet d"un d´e : Ω ={1,2,3,4,5,6}. Si on mesure la fr´equence d"apparition du r´esultatωkau cours d"un grand nombre de r´ep´etitions de l"exp´erience i.e. on calcule le rapportFk=NkNdu nombreNkd"exp´eriences
dont le r´esultat estωksur le nombre total d"exp´eriencesN, on constate qu"elle fluctue de moins en moins. La limitepk≥0 deFklorsqueN→+∞correspond `a la notion intuitive de probabilit´e. On appelle ´ev´enement une partieAde Ω. La fr´equence deAc"est-`a-dire la proportion d"exp´eriences dont le r´esultat est dansAest ´egale `a? k:ωk?AFk. On est donc amen´e `a associer la probabilit´e? k:ωk?Apk`a l"´ev´enementA. Comme la fr´equence de Ω vaut 1, en passant `a la limite, on obtient?nk=1pk= 1. D´efinition 1.1.2.Une probabilit´ePsur un ensemble finiΩ ={ω1,ω2,...,ωn}est une pond´erationp1,p2,...,pndes ´el´ements de cet ensemble t.q. k=1p k= 1. 12CHAPITRE 1. INTRODUCTION : PROBABILIT´E SUR UN ESPACE FINI
On attribue `a tout ´ev´enementA?Ωle nombreP(A) =?
k:ωk?Ap k qui est appel´e probabilit´e de l"´ev´enementA. valeur de la face sup´erieure du premier d´e etjcelle du second.Pour des raisons de sym´etrie (si les d´es ne sont pas pip´es), on munit Ω de la pond´eration
suivante : 36.SoitAl"´ev´enement : les valeurs des deux d´es sont identiques.
A={(1,1),(2,2),...,(6,6)}etP(A) =6?
i=1p (i,i)=636=16.
On noteSla somme des deux d´es et{S=k}l"´ev´enement{(i,j) :S(i,j) =k}. On aS(i,j) =i+j. Donc
{S= 2}={(1,1)}P(S= 2) = 1/36 {S= 3}={(1,2),(2,1)}P(S= 3) = 1/18 {S= 4}={(1,3),(2,2),(3,1)}P(S= 4) = 1/12 {S= 5}={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}P(S= 5) = 1/9 {S= 6}={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}P(S= 6) = 5/36 {S= 7}={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}P(S= 7) = 1/6 {S= 8}={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}P(S= 8) = 5/36 {S= 9}={(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}P(S= 9) = 1/9 {S= 10}={(4,6),(5,5),(6,4)}P(S= 10) = 1/12 {S= 11}={(5,6),(6,5)}P(S= 11) = 1/18 {S= 12}={(6,6)}P(S= 12) = 1/36Terminologie concernant les ´ev´enements :
- SiP(A) = 0, l"´ev´enementAest dit n´egligeable. - SiP(A) = 1, il est dit presque sˆur. - On appelle ´ev´enement contraire deAet on noteAcl"´ev´enement Ω\A. - SiA,B?Ω, l"´ev´enementAetB(r´ealis´e lorsqueAetBle sont) est not´eA∩B. - L"´ev´enementAouB(r´ealis´e lorsqueAouBle sont) est not´eA?B.Probabilit´e de l"´ev´enementA?B:
Par d´efinition,P(A?B) =?
k:ωk?A?Bpk.CommeA?Best ´egal `a l"union disjointe1.1. PROBABILIT´E SUR UN ESPACE FINI,´EV´ENEMENTS3
BA UA BUUA BB A
CC (A∩Bc)?(A∩B)?(Ac∩B),P(A?B) =?
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