[PDF] Approfondissement du questionnement didactique autour du

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B+b- J` kyRe- JQMiT2HHB2`- 6`M+2X ?H@yRjjdNjR

Approfondissement du questionnement didactique autour du concept

Faïza Chellougui

Ce travail sslogique dans un raisonnement mathématique dans une perspective didactique. définition des objets et des structures qui illustrent un problème majeur dans le

INTRODUCTION

De nombreux travaux de recherche en didactique des mathématiques (Selden & scientifiques de première année universitaire maîtrisent la plupart des raisonnements permet de proposer une formalisation logique des objet résultats obtenus avec des étentretien.

FORMALISATION DE LA

D total exemple, et de propriété de structure

être une partie majorée de E.

objetsêtre un majorant (resp. minorant) de A être un plus petit élément (resp. plus paadmettre un plus grand élément être une partie cheminement vers une définition de la notion de borne supérieure, en adoptant La borne supérieure, un objet mathématique complexe Schwartz (1991) propose la définition suivante de la structure "admet une borne " donnée entièrement dans un langage admet un minimum, et ce minimum est appelé borne supérieure de la partie considérée.

Dans cette admet

" majorant"plus petit élément" nouvelle structure ensemble "

ces différents éléments est une marque de la complexité de cette notion, qui se

définition de la notion de borne supérieure est un indicateur de complexité pour la

Schéma.

Ce schéma révèle une complexité de la structuration logique du fait que la définition

énoncés et à quel niveau on se situe

Formalisation des objets et des structures

majorant minorant Étant donnés un élément y de E et une partie A de E, dire que "y est un majorant de E. bornée1x (xA x (xA x (xA propriété ne M(y,A).

1 -

Objet plus grand / plus petit élément

A yA

AxAxy) (5) AxAxy)

maximum de A" (resp. "

Structure être une partie majorée

élément majorant

être une partie majorée

moins. On désigne par M(A) l Structure admettre un plus grand élément un plus petit élément

Cette propriété permet de définir, dans le calcul des prédicats, la propriété de

admet un plus grand élément admet un plus petit élément) y [yA x(xAx y [yA x(xA plit les conditions suivantes En m x(xA D)] y[( y< x (xA coordonnésx (xA )y [(y< x (xA majorant de A". Cette reformulation permet de ne pas introduire dans le formalisme e des majorants I admet un minimum, alors il existe un élément unique x (xA )H>0 x (xA RESULTATS DES ENTRET A 3

J xA MIR x 4

J J J

être soumise à aucun

2 une es symboles quantificateurs (Chellougui, 2000).

3 Pour toutil existe Il existe.

4

Binôme Etudiante Etudiant

2.J 1.T 3.T 2.C 4.C 1.K 3.K F N 2.M 1.B 3.B 2.S 4.S 1.A 3.A

Tableau : T

Difficultés dans la mobilisation de l

mobilisation de la définition. je suis

MIR xA x

illustr 1 nt : J T étudiants ont répondu à cette intervention de la manière suivante 5 J T réaction ni sur la dépendance entre x et M ni sur la structure de A. Par contre, il y a 7

Cette affirmation est correcteI

I nsidérée. J xA x

Principaux résultats

La nature de nos analyses reflète sans doute notre perplexité devant les résultats imbrication entre le vocabulaire, les notations et les concepts, en particulier les définition

objet majorant a fait ressortir des phénomènes didactiques saillants qui sont liés

autre part, à un recours aux représentations graphiques qui cachent souvent la structure complexe de la notion de borne supérieure et le jeu entre objet et structure.

CONCLUSION

Le présent travail a essentiellement porté sur le raisonnement mathématique, la question fondamentale étant le traitement de la logique opératoire dans le formalisme permet de considérer la synthèse logique et mathém La formalisation logique complète, dans le calcul des prédicats, de la notion de borne supérieure a mis en évidence la complexité de la structure logique. Cette analyse a montré une imbri tend à masquer (Chellougui, 2004). étude mise en place, centrée sur la manière dont les étudiants défi

" être un élément majorant » et la structure " être une partie majorée », consiste à

entretien. Les résultats didactiques obtenus confirment que la complexité de la

langagiers et des difficultés à manipuler les définitions et les propriétés. Ces résultats

mettent en évidence des difficultés pour les étudiants à mobiliser de manière

rigoureuse les énoncés quantifiés. Il s'agit principalement de la non prise en compte ernance des quantificateurs, de la tendance à mobiliser prioritairement les énoncés sous la forme " » plutôt que les énoncés " » et de la pratique courante selon laquelle

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