Théorème dEuler
Démonstration. Soit x2 U. f positivement -homogène en x () 8t >0; t¡ f(tx)= f(x) Fonctions c1 de R2 homogènes de degré 0. On se place dans E =R2 et dans le ...
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sont encore des fonctions homogènes de degré k − 1. 15.3.2 Théorème d'Euler. Théorème 16. Théorème d'Euler. Soit f une fonction définie et de classe C1 sur U
Sur quelques formules des fonctions homogènes et sur la
Parmi ces formules nous citons les suivantes. Si Fon pose h== o dans les formules (A')
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Théorème 4.4 Cas d'une fonction de deux variables. Soit f une fonction de R2 dans R On vérifie qu'une fonction de Cobb-Douglas est une fonction homogène de.
Chapitre 8 :Le potentiel chimique
fonction homogène du. 2 ème ordre… ) • Théorème d'Euler : ... • Démonstration : ∑. +. +. −= i i idn. VdP. SdT. dG. µ. et. ∑. = i ii n. G. µ soit. ∑. ∑. +.
La fonction de production dans lanalyse néo-classique
Les fonctions homogènes satisfont le théorème d'Euler: x f'(x) + y f'(y) 193-206] au sujet du retour des techniques. 9 . Pour la démonstration voir Salama [ ...
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La démonstration est identique à celle du théorème d'Euler. Si le nombre de sommets de degré impair est nul la chaîne sera un cycle et le graphe sera en.
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Donnons une application économique qui permettra d'illustrer la notion de fonction homogène : Fonctions homogènes et rendements d'échelle. Considérons une
Théorème dEuler
Théorème d'Euler. Fonctions ?-homogènes Démonstration. Soit x2 U. f positivement -homogène ... () f véri e la condition d'Euler sur Cx :=f tx : t >0 g.
QUELQUES RÉSULTATS THÉORIQUES CONCERNANT LES
fonctions de production homogènes qui sont à élasticité de substi soit par le théorème d'Euler : s = m - Fk = m E1X(F).
Fonctions de plusieurs variables
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Caracteristiques DEuler-Poincare Fonctions Zeta Locales et
(Theoreme (3.2)) dans le cas analytique complexe ainsi que des conjectures sur les p6les de Zf top . Le ?4 est consacre a la demonstration du Theoreme.
Chapitre 8 :Le potentiel chimique
(car G est extensive). (Si on avait 2 ? au lieu de ? on dirait que c'est une fonction homogène du. 2 ème ordre… ) • Théorème d'Euler :.
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ET SUR LA DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME QUI S'Y RATTACHE; Soit F(;37 w) une fonction homogène d'un degré quel- ... connue d'Euler. V. (Ul-^^lC)Pi .
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Théorème d'Euler Fonctions ?-homogènes Démonstration Soit x2 U f positivement -homogène () f véri e la condition d'Euler sur Cx :=f tx : t >0 g
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Propriété 1: Si une fonction homogène est de degré k ses dérivées partielles si elles existent sont homogènes de degré k-1 Démonstration: soit f : (xy) ?
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Théorème 4 5 Formule d'Euler Soit f une fonction de R" dans R homogène de degré k Si f admet des dérivées partielles premières continues au point x alors
Fonctions homogènes théorème d Euler et applications en actuariat
Fonctions homogènes théorème d Euler et alications en actuariat Etienne Marceau PhD ASA rofesseur titulaire École d actuariat Université Laval 3 avril
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Sur quelques formules des fonctions homogènes et sur la démonstration d'un théorème qui s'y rattache Bulletin de la S M F tome 30 (1902) p 181-194
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7 mai 2021 · Ce document contient quelques notes sur les fonctions homogènes le théorème d'Euler et des applications en actuariat 1 Introduction
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6 8 THEOREME D'EULER Définition : Si f est une fonction homogène de degré ? admettant des dérivée partielles premières continues; f(x y) est homogène de
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Théorème 21 SOLUTIONS GENERALES D'UNE EQUATION HOMOGENE Soient y1 y2 yn n solutions de l'équation linéaire homogène d'ordre n (3 4) sur I Alors la
Comment prouver qu'une fonction est homogène ?
Définition : Une fonction f : (x,y) ? f(x,y) est dite homogène de degré k ssi : pour tout a?R tel que f soit définie en (ax,ay) et (x,y), f(ax,ay) = akf(x,y).Comment calculer le degré d'homogénéité d'une fonction de production ?
Q = A K b L a dans laquelle a et b sont des paramètres positifs et a + b mesure le degré d'homogénéité de la fonction.
1deux fois plus de produits.2plus de deux fois plus de produits.3moins deux fois plus de produits.- Une application linéaire est homogène de degré 1. Un polynôme homogène est homogène de degré égal à celui de chacun de ses monômes. Une fonction sous-linéaire est positivement homogène de degré 1.
Introduction a l'analyse microeconomique
Complements utiles sur la theorie du consommateur
Marianne Tenand
Monitorat ENS 2014-2015
marianne.tenand@ens.fr1 Preferences : quelques denitions
1.1 Monotonicite des preferences
Monotonicite faible
six≥yalorsx⪰y Au moins autant est au moins aussi bien : garantit que le bien ou le service en question est un ≪bien≫et non un≪mal≫.Monotonicite
six>yalorsx≻y Strictement plus de l'ensemble des biens est strictement mieux.Monotonicite forte
six≥yetx≠yalorsx≻y Strictement plus d'un bien et au moins autant de l'ensemble des autres biens est stricte- ment prefere.Non-satiete locale
Pour toutx?Xet pour tout>0, il existe un panier de consommationy?Xavec ?x-y?2 Proprietes de la demande marshallienne
2.1 Loi de Walras
La loi de Walras dit que, pour des preferences monotones, le consommateur depense entierement son revenu pour acquerir le panier de consommation qui maximise son utilite : ?p;R?X2; x(p;R):p=R2.2 Homogeneite de degre 0
On dit qu'une fonctionf(x)est homogene de degredenxlorsque,?>0 : f(x)=df(x) La demande marshalienne est homogene de degre 0 en(p;R): lorsqu'on multiplie tous les prix et le revenu par une constante strictement positive,, la demande reste inchangee. En eet, l'ensemble de budget (soit l'ensemble des paniers de consommation qui respecte la contrainte budgetaire) reste le m^eme.Formellement :
x(p;R)=0x(p;R)=x(p;R)2.3 Theoreme d'Euler
Soitxun panier de consommation akbiens.?l?{1;:::;k}, si?(p;R)xl(p;R)est ho- mogene de degre 0, alors : k i=1p i@xlp i+@xl@R R=0 2 Ce qui implique, en prenant la denition de l'elasticite-prix (croisee) et de l'elasticite-revenu : k i=1 l;i+l;R=0 Autrement dit, les eets-prix et -revenu sont separables, et l'eet-revenu est egal (mais de sens inverse) a l'ensemble des eets-prix. Demonstration :Soit>0. Par denition de l'homogeneite de degre 0,x(p;R)=x(p;R). Si on derive la fonction de demande marshalienne par rapport a(en considerantRetpicomme des fonctions de) : @x l(p;R)@ =@xl(p;R)@ k i=1p i@xl(p;R)@(pi)@(pi)@ +@xl(p;R)@(R)@(R)@ k i=1p i@xl(p;R)@(pi)pi+@xl(p;R)@(R)R Or par denition de l'homogeneite de degre 0, la demande marshalienne ne variant pas lorsque les prix et le revenu sont multiplies par un m^eme facteur, on a : @x l(p;R)@ =0D'ou :
k i=1p i@xl(p;R)@(pi)pi+@xl(p;R)@(R)R=0 Cette egalite se verie pour toute valeur positive de, en particulier pour=1. Ainsi : k i=1p i@xl(p;R)@p ipi+@xl(p;R)@R R=0 En divisant par la demande marshalienne (x(p;R)≠0 puisque les preferences sont mono- tones etR>0), on obtient : k i=1p i@xl(p;R)@p ip ix(p;R)+@xl(p;R)@RRx(p;R)=0
k i=1 l;i+l;R=0 33 Proprietes importantes
3.1 Le lemme de Shepard
Ce lemme relie la fonction de demande hicksienne a la fonction de depenses, pour un niveau de prixp>0 etu>U(0). ?j={1;:::;k}; hj(p;u)=@e(p;u)@p j3.2 L'identite de Roy
?j={1;:::;k}; xj(p;R)=-@v(p;R)@p j@v(p;R)@R L'identite de Roy relie la demande marshalienne pour un bien donne aux variations dans la fonction d'utilite inidrecte induites par une variation marginale du prix du bien et par une variation marginale du revenu. Elle permet donc de deduire la demande marshalienne de l'expression de la fonction d'utilite indirecte.Demonstration :
Supposons quex?soit solution au PMU pour un revenuR?et un vecteur de prixp?. On noteu?=U(x?). Alors, d'apres les proprietes de la dualite : u ?=v(p;e(p;u?) (?p>0)Donc en particulier :
u ?=v(p?;e(p;u?)) NB : on peut ainsi voir que le second argument de la fonction d'utilite indirecte (le revenu R, qui est egal a la depense minimale necessaire pour atteindre le niveau d'utiliteu?) est une fonction du prix. Si on prend la derivee partielle de cette expression par rapport apj, on obtient (puisque u ?etant une constante, sa derivee par rapport apjvaut 0) :0=@v(p?;R?)@p
j@p j@p j+@v(p?;R?)@R @e(p;u?)@p j En utilisant le lemme de Shepard, on peut donc remplacer la derivee partielle de la fonction de depense par rapport au prixpjpar la fonction de demande hicksienne :0=@v(p?;R?)@p
j+@v(p?;R?)@R h(p?;u?) 4Or, toujours d'apres les proprietes de dualite :
x(p?;R?)=h(p?;u?)Ainsi,
0=@v(p?;R?)@p
j+@v(p?;R?)@R x(p?;R?) En rearrangeant les termes on obtient bien l'identite de Roy.3.3 L'equation de Slutsky
Cette equation permet de quantier les eets de revenu et de substitution observes lors d'un changement dans le prix d'un bien. ?j={1;:::;k};@xi(p;R)@p j=@hi(p;R)@p j-xj(p;R)@xi(p;R)@R Cette propriete se demontre en utilisant les proprietes de la dualite du PMU et du PMD.Dans le cas oui=j:
@xi(p;R)@p iest l'eet-prix total; @hi(p;R)@p iest l'eet de substitution (c'est bien la variation marginale de la demande hicksienne qui est en jeu). Il est toujours negatif (lorsque le prix d'un bien augmente, la demande compensee pour ce bien diminue); - xi(p;R)@xi(p;R)@R est l'eet de revenu : il est d'autant plus fort que la consommation de bienien laquelle est evaluee l'eet d'un changement marginal de prix est elevee. Il est souvent negatif (la hausse du revenu entra^ne une augmentation de la quantite du bieniconsommee); mais il peut ^etre positif (bien inferieur). Si l'eet-revenu (positif) depasse l'eet de substitution (negatif), alors une hausse du prix du bieniva induire une augmentation de sa consommation. Le bieniest alors un bien de Gien. 5quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] fonction homogène exercices corrigés
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