Introduction `a lanalyse microéconomique Compléments utiles sur PDF

19 дек. 1978 г. l) une fonction a dans. R- ) homogène de degré 0 par rapport a

QUELQUES RÉSULTATS THÉORIQUES CONCERNANT LES

désigne un bloc factoriel homogène si la fonction g est homogène de degré quelconque. Fonction de production semi-homogène : une fonction de produc tion y = f(

Les fonctions de production dans la littérature économique

Homogène de degré 1. (2) z = Vxy = x'/zy'/z. Homogène de degré 1. (3) z=a-. = ax° + xy' 1 Homogène de degré 0. (4) z— 2Hxy — Ax 2— By2 ...Homogène de degré ...

Groupes analytiques en caractéristique 0

2° Une fonction analytique xn) dont toutes les composantes homogènes non nulles sont de degré 0 en xi ne dépend pas de xi . Les fonctions obtenues à ...

Fonctions de plusieurs variables

(Admis) Soit f une fonction homogène de degré k et de classe C1. Alors les fonction de contrainte "g(x

Transformation de Fourier des distributions homogènes

est une fonction régulière homogène et de degré . Alors il est immédiat que si l'hyperplan xo 03BE == 0 ne touche pas la variété s-1(0) FT03B1 est

Propagation des singularités des solutions déquations pseudo

où 6(r) est une fonction homogène de degré 0 égale à 1 dans Pô et nulle hors de Pr

Théorème dEuler

Déterminons les fonctions de classe C1 positivement homogènes de degré 0 c'est à dire les fonctions Soit f 2ℋ0 homogène de degré 0

Transformation de Fourier pour les fonctions homogènes de degré

Rn {0} avec une fonction k E C (Rn v {0}) . On va montrer que k répond à la question. Tout d'abord k est homogène de de- gré - n : il suffit pour le voir d

Introduction `a lanalyse microéconomique Compléments utiles sur

Par définition de l'homogénéité de degré 0 x(?p

Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables

1) Cette formule n'a d'intérêt que pour (h k) voisin de (0

Fonctions de plusieurs variables

Théorème 16. Théorème d'Euler. Soit f une fonction définie et de classe C1 sur U =]0+?[2. Alors : f homogène de degré k sur U ?? ?(x

Théorème dEuler

f positivement -homogène en x () 8t >0; t¡ f(tx)= f(x) Déterminons les fonctions de classe C1 positivement homogènes de degré 0 c'est à dire les ...

Propagation des singularités des solutions déquations pseudo

Un champ de secteur Y est dit M-quasi homogène de degré 0 si: V/*e C^F). ( > 0 (Y/*) o H?1 Si À est une fonction quasi homogène

Distributions analyse de Fourier

http://www.cmls.polytechnique.fr/perso/golse/MAT431-09/cours5.pdf

Untitled

On le notera simplement par 0 en l'absence de confusion! Soit f une fonction de R" dans R

Degrés dhomogénéité de lensemble des intersections complètes

ractéristique 0 l'ensemble des hypersurfaces singulières de degré d dans PN fonction polynomiale en les dl dont le polynôme est donné par le terme de.

Feuille dexercices n 6 Fonctions de plusieurs variables Exercice 1

Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 des fonctions suivantes : n vers R. Elle est dite homogène de degré k lorsque pour tout t > 0ona:.

la-theorie-de-la-demande.pdf

homogène de degré O. En d'autres termes la fonction de demande est telle. que lorsque Rappel mathématique : définition de l'homogénéité d'une fonction.

[PDF] Durée: 1 h 30

Comme toute fonction homogène de degré d'homogénéité -3 admettant des dérivées partielles ƒ vérifie l'identité d'Euler: pour tout (1 2) EV

[PDF] Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables

Propriété 1: Si une fonction homogène est de degré k ses dérivées partielles si elles existent sont homogènes de degré k-1 Démonstration: soit f : (xy)

[PDF] Fonctions de plusieurs variables

On dit que f est une fonction homogène de degré k sur C si : ?t > 0 ?(x y) ? C f(tx ty) = tkf(x y) Exemples : E 1 Soit f la fonction définie par

[PDF] Sur quelques formules des fonctions homogènes et sur - Numdam

Soit F(;37 w) une fonction homogène d'un degré quel- conque m par rapport à x^ w En adoptant la notation connue Vp^q^x^ w) des dérivées on aura la

[PDF] Transformation de Fourier pour les fonctions homogènes de degré

fonctions complexes h sur l'ouvert (0) de R~ (n ~ 1 ) localement som- mable et positivement homogènes de degré s : h e G~ équivaut ainsi à y

[PDF] Théorème dEuler - Xiffr

On se place dans E =R2 et dans le demi-plan U = (x; y)2R2 : x>0 qui est bien un R+ -cône Déterminons les fonctions de classe C1 positivement homogènes de degré

[PDF] Chapitre 4 fonction de plusieures variables Cours - Esentn

On vérifie qu'une fonction de Cobb-Douglas est une fonction homogène de degré a +? et que les élasticités par rapport à x et y sont respectivement a et B

[PDF] Degrés dhomogénéité de lensemble des intersections complètes

La fonction P? est alors la fonction d'Ehrhart du polytope auxilliaire {(x y) ? R?X1Ry ? Q 0 ? x ? ?(y)} et est donc polynomiale en l de degré ? dim(

[PDF] Introduction `a lanalyse microéconomique Compléments utiles sur

Par définition de l'homogénéité de degré 0 x(?p ?R) = x(p R) Si on dérive la fonction de demande marshalienne par rapport `a ? (en considérant ?R et ?pi

[PDF] Fonctions de plusieurs variables - Alain TROESCH

Correction de l'exercice 11 – (fonctions homogènes) 1 (a) Soit f une fonction positivement homogène de degré ? et i ? [[1n]] Soit à t > 0 fixé

Introduction a l'analyse microeconomique

Complements utiles sur la theorie du consommateur

Marianne Tenand

Monitorat ENS 2014-2015

marianne.tenand@ens.fr

1 Preferences : quelques denitions

1.1 Monotonicite des preferences

Monotonicite faible

six≥yalorsx⪰y Au moins autant est au moins aussi bien : garantit que le bien ou le service en question est un ≪bien≫et non un≪mal≫.

Monotonicite

six>yalorsx≻y Strictement plus de l'ensemble des biens est strictement mieux.

Monotonicite forte

six≥yetx≠yalorsx≻y Strictement plus d'un bien et au moins autant de l'ensemble des autres biens est stricte- ment prefere.

Non-satiete locale

Pour toutx?Xet pour tout>0, il existe un panier de consommationy?Xavec ?x-y?La monotonicite implique la non-satiete locale. Exemple d'utilisation :Dans la demonstration de la dualite, on l'utilise pour trouver un panier de consommation tres proche du panier solution au PMU, qui apporte plus d'utilite que ce dernier tout en etant realisable au regard de la contrainte de budget.

2 Proprietes de la demande marshallienne

2.1 Loi de Walras

La loi de Walras dit que, pour des preferences monotones, le consommateur depense entierement son revenu pour acquerir le panier de consommation qui maximise son utilite : ?p;R?X2; x(p;R):p=R

2.2 Homogeneite de degre 0

On dit qu'une fonctionf(x)est homogene de degredenxlorsque,?>0 : f(x)=df(x) La demande marshalienne est homogene de degre 0 en(p;R): lorsqu'on multiplie tous les prix et le revenu par une constante strictement positive,, la demande reste inchangee. En eet, l'ensemble de budget (soit l'ensemble des paniers de consommation qui respecte la contrainte budgetaire) reste le m^eme.

Formellement :

x(p;R)=0x(p;R)=x(p;R)

2.3 Theoreme d'Euler

Soitxun panier de consommation akbiens.?l?{1;:::;k}, si?(p;R)xl(p;R)est ho- mogene de degre 0, alors : k i=1p i@xlp i+@xl@R R=0 2 Ce qui implique, en prenant la denition de l'elasticite-prix (croisee) et de l'elasticite-revenu : k i=1 l;i+l;R=0 Autrement dit, les eets-prix et -revenu sont separables, et l'eet-revenu est egal (mais de sens inverse) a l'ensemble des eets-prix. Demonstration :Soit>0. Par denition de l'homogeneite de degre 0,x(p;R)=x(p;R). Si on derive la fonction de demande marshalienne par rapport a(en considerantRetpicomme des fonctions de) : @x l(p;R)@ =@xl(p;R)@ k i=1p i@xl(p;R)@(pi)@(pi)@ +@xl(p;R)@(R)@(R)@ k i=1p i@xl(p;R)@(pi)pi+@xl(p;R)@(R)R Or par denition de l'homogeneite de degre 0, la demande marshalienne ne variant pas lorsque les prix et le revenu sont multiplies par un m^eme facteur, on a : @x l(p;R)@ =0

D'ou :

k i=1p i@xl(p;R)@(pi)pi+@xl(p;R)@(R)R=0 Cette egalite se verie pour toute valeur positive de, en particulier pour=1. Ainsi : k i=1p i@xl(p;R)@p ipi+@xl(p;R)@R R=0 En divisant par la demande marshalienne (x(p;R)≠0 puisque les preferences sont mono- tones etR>0), on obtient : k i=1p i@xl(p;R)@p ip ix(p;R)+@xl(p;R)@R

Rx(p;R)=0

k i=1 l;i+l;R=0 3

3 Proprietes importantes

3.1 Le lemme de Shepard

Ce lemme relie la fonction de demande hicksienne a la fonction de depenses, pour un niveau de prixp>0 etu>U(0). ?j={1;:::;k}; hj(p;u)=@e(p;u)@p j

3.2 L'identite de Roy

?j={1;:::;k}; xj(p;R)=-@v(p;R)@p j@v(p;R)@R L'identite de Roy relie la demande marshalienne pour un bien donne aux variations dans la fonction d'utilite inidrecte induites par une variation marginale du prix du bien et par une variation marginale du revenu. Elle permet donc de deduire la demande marshalienne de l'expression de la fonction d'utilite indirecte.

Demonstration :

Supposons quex?soit solution au PMU pour un revenuR?et un vecteur de prixp?. On noteu?=U(x?). Alors, d'apres les proprietes de la dualite : u ?=v(p;e(p;u?) (?p>0)

Donc en particulier :

u ?=v(p?;e(p;u?)) NB : on peut ainsi voir que le second argument de la fonction d'utilite indirecte (le revenu R, qui est egal a la depense minimale necessaire pour atteindre le niveau d'utiliteu?) est une fonction du prix. Si on prend la derivee partielle de cette expression par rapport apj, on obtient (puisque u ?etant une constante, sa derivee par rapport apjvaut 0) :

0=@v(p?;R?)@p

j@p j@p j+@v(p?;R?)@R @e(p;u?)@p j En utilisant le lemme de Shepard, on peut donc remplacer la derivee partielle de la fonction de depense par rapport au prixpjpar la fonction de demande hicksienne :

0=@v(p?;R?)@p

j+@v(p?;R?)@R h(p?;u?) 4

Or, toujours d'apres les proprietes de dualite :

x(p?;R?)=h(p?;u?)

Ainsi,

0=@v(p?;R?)@p

j+@v(p?;R?)@R x(p?;R?) En rearrangeant les termes on obtient bien l'identite de Roy.

3.3 L'equation de Slutsky

Cette equation permet de quantier les eets de revenu et de substitution observes lors d'un changement dans le prix d'un bien. ?j={1;:::;k};@xi(p;R)@p j=@hi(p;R)@p j-xj(p;R)@xi(p;R)@R Cette propriete se demontre en utilisant les proprietes de la dualite du PMU et du PMD.

Dans le cas oui=j:

@xi(p;R)@p iest l'eet-prix total; @hi(p;R)@p iest l'eet de substitution (c'est bien la variation marginale de la demande hicksienne qui est en jeu). Il est toujours negatif (lorsque le prix d'un bien augmente, la demande compensee pour ce bien diminue); - xi(p;R)@xi(p;R)@R est l'eet de revenu : il est d'autant plus fort que la consommation de bienien laquelle est evaluee l'eet d'un changement marginal de prix est elevee. Il est souvent negatif (la hausse du revenu entra^ne une augmentation de la quantite du bieniconsommee); mais il peut ^etre positif (bien inferieur). Si l'eet-revenu (positif) depasse l'eet de substitution (negatif), alors une hausse du prix du bieniva induire une augmentation de sa consommation. Le bieniest alors un bien de Gien. 5quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40