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Mathématiques et magie à la Maison

des Mathématiques et de l"Informatique de Lyon

Catherine Combelles

Lors des JournŽes de Lyon, Jean-Baptiste Aubin, qui enseigne les mathŽmatiques ˆ

l"INSA, nous a rŽgalŽs d"une confŽrence intitulŽe Ç?Magimathique?È, durant laquelle

il a prŽsentŽ puis dŽcryptŽ plusieurs tours de magie o les mathŽmatiques jouent un

r™le essentiel. Elle a ŽtŽ enregistrŽe dans sa totalitŽ et vous pouvez la visionner ˆ

partir de la page Web de ce bulletin. Un vrai bonheur?! Ce sont ses activitŽs au sein de la Maison des MathŽmatiques et de l"Informatique de Lyon, la MMI, qui ont conduit Jean-Baptiste Aubin ˆ s"intŽresser aux tours de magie mathŽmatiques?: il est en effet le commissaire et directeur scientifique de l"exposition MAGIMATIQUE, ouverte tout au long de cette annŽe scolaire au grand public les mercredis et samedi, et accompagnŽe d"un spectacle. J"ai voulu en savoir un peu plus, et j"ai eu droit ˆ une visite guidŽe de cette exposition sous la conduite de Gilles Aldon que je remercie. La Maison des MathŽmatiques et de l"Informatique accueille chaque jour des classes de niveaux variŽs pour des activitŽs mathŽmatiques ou informatiques, animŽes par des universitaires et des

Žtudiants?: le planning est impressionnant?!

Aujourd"hui, 8 dŽcembre, ce sont des classes d"une Žcole primaire qui ont manipulŽ l"exposition. classiques?: un mme disque, s"il est entourŽ de disques plus gros, para"t minuscule, alors qu"il semble plus imposant lorsqu"il est entourŽ de tout petits disques ; et la concaves ou convexes. brave parallŽlogramme tout simple, s"il est prŽsentŽ comme un plateau de table avec selon qu"il est disposŽ en long ou en large, ses dimensions vous semblent nettement diffŽrentes. C"est pourtant bien un parallŽlogramme, et c"est bien deux fois le mme?: un tŽmoin magnŽtique permet de l"attester.

Dossier : Récréations mathématiques189

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(*) combelles.catherine@gmail.com Combelles.qxp_Mise en page 1 23/03/2017 19:10 Page189 diffŽrentes, simplement parce qu"ils figurent des longueurs diffŽrentes?: en rŽalitŽ ce sont bien des segments de mme longueur. Mais notre interprŽtation du dessin l"emporte sur la simple observation. On retrouve cette mme explication sur une autre illusion qui concerne les couleurs?: l"ombre. La partie grise ŽclairŽe, parce que nous la savons sombre, semble beaucoup plus foncŽe que la partie blanche ˆ l"ombre...c"est pourtant exactement le mme gris, un petit carrŽ gris, lˆ encore, permet d"en tŽmoigner.

190Dossier : Récréations mathématiques

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Combelles.qxp_Mise en page 1 23/03/2017 19:10 Page190 Autre surprise colorŽe? : une jolie spirale multicolore prŽsente des plages vertes striŽes d"orange et d"autres striŽes de violet?: c"est bien le mme vert, mais c"est bien difficile ˆ croire?: le premier para"t plus jaune, et l"autre plus bleu. sculptures donnent l"illusion d"Ç? objets impossibles?È. Illusion parfaite, crŽe par les ombres?: ce qui para"t en relief est en rŽalitŽ en creux, mais il faut s"approcher et avoir le nez dessus pour s"en apercevoir. L"objet est vraiment magnifique?! Les illusions sonores sont tout aussi Žtonnantes?: un son qui para"t monter (ou qui para"t descendre) sans cesse de faon continue? s"obtient en superposant des octaves successives dont on fait varier les intensitŽs (1) . Quand on le sait, on parvient ˆ percevoir les Ç?dŽcrochements?È de l"octave supŽrieure avec beaucoup d"attention, continue. Mme en connaissant la mŽthode utilisŽe, on est alors totalement trompŽ?! Plus loin, trois entonnoirs identiques de plastique vert sont posŽs sur une table?:

Gilles Aldon joue au magicien.

Sur leur face infŽrieure, cachŽe, trois portraits de mathŽmaticiens, disons 1,2, 3 pour simplifier?: je dois en choisir un sans le rŽvŽler, bien sžr. Je suis priŽe ensuite, toujours ˆ l"insu du magicien, d"inverser la position des deux entonnoirs que je n"ai pas choisis. A sa vue, je peux ensuite dŽplacer ˆ ma guise les trois entonnoirs.

Mathématiques et magie191

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(1) On trouvera un fichier son de cette illusion appelŽe gamme de Shepard par exemple ˆ l"adresse : https://www.youtube.com/watch?v=6m6_56IM1U8 Combelles.qxp_Mise en page 1 23/03/2017 19:10 Page191 Explication?: il s"agit de retrouver l"entonnoir qui n"a pas ŽtŽ dŽplacŽ. Gilles n"a pas

quittŽ des yeux celui qui Žtait au milieu pendant que je Ç? mŽlangeais? È les

entonnoirs ; c"est facile?: je ne suis pas un magicien professionnel?! Et c"est celui-lˆ qu"il retourne et examine?: si c"est 2, c"est qu"il n"a pas ŽtŽ inversŽ et c"est donc celui

que j"ai choisi. Si c"est 1, alors 1 et 2 ont ŽtŽ inversŽs et la bonne rŽponse est 3, et si

Un autre tour beaucoup plus complexe et qui ne rŽussit pas ˆ coup sžr?: on dispose des 24 cartes de 1 ˆ 6 d"un jeu de 52 cartes ; on mŽlange le jeu et on place toutes les cartes en rond, face visible, pour former une sorte de circuit circulaire o les cases cartes, choisie au hasard, on avance d"un nombre de cases Žgal au nombre marquŽ sur cette carte. On poursuit de mme en sautant de carte en carte, en respectant toujours le nombre de cases indiquŽ sur la carte o l"on a atterri?: ceci jusqu"ˆ repasser sur la case de dŽpart?: on ne s"arrte bien sžr pas exactement sur cette case?! Mais o atterrit-on?? Avec une probabilitŽ supŽrieure ˆ 0,93, m"annonce Gilles, on aboutit toujours sur la mme case pour un circuit donnŽ, quelle que soit la carte de

dŽpart?! Le Ç?magicien?È n"a qu"ˆ faire le calcul de tte en dŽbut de sŽance tout en

plaant les cartes en rond, et il conna"t d"avance la rŽponse. La dŽmonstration? ? Elle n"a pas ŽtŽ faite, et si vous la trouvez, nous sommes preneurs?! Cette probabilitŽ est basŽe sur une statistique, m"explique Gilles. A vous de vŽrifier ses dires, mais il a bien devinŽ la case d"arrivŽe.

ˆ cet objet sur le site Ç? Image des MathŽmatiques? È en juillet 2016. Il Žcrit? :

ÇSupposons qu"on observe un objet?X?dans l"espace en en faisant le tour et en prenant par exemple des photographies dans toutes les directions.(...) RŽciproquement, supposons maintenant qu"on dispose d"une infinitŽ de photos, une pour chaque direction. Existe-il un objet?X?dans l"espace dont les photos sont celles dont on dispose???È. Le mathŽmaticien Žcossais Kenneth Falconer a dŽmontrŽ en

1986 que oui, un tel objet existe. Et Falconer avait songŽ ˆ cette application

inattendue puisqu"il Žcrivit dans son article, nous apprend Etienne Ghys??: Ç?Il est possible, au moins en thŽorie, de construire un ensemble dans l"espace dont l"ombre ˆ presque tout moment de la journŽe donne l"heure Žcrite en chiffres?È Cet objet a depuis ŽtŽ fabriquŽ, il est en vente sur internet?! Selon la direction des rayons du soleil, c"est telle ou telle heure qui appara"t sur son cadran, de faon purement gŽomŽtrique et sans la moindre pile?! Magique?!

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Combelles.qxp_Mise en page 1 23/03/2017 19:10 Page192 Un peu plus loin tout au fond de la salle, un portrait un peu flou de Marilyn Monroe. Je m"approche?: le joli minois de l"actrice s"est transformŽ en un portrait d"Einstein?! Il s"agit d"une image hybride fabriquŽe par la superposition de deux images? : place au visage de Marilyn. Cette technique a ŽtŽ dŽveloppŽe par deux chercheurs organisŽ permettant au magicien de ma"triser l"ordre des cartes qu"il manipule. C"est le cas du mŽlange Faro, qui consiste ˆ couper un jeu de 2n cartes en deux jeux de n cartes et ˆ les assembler en alternant rigoureusement dans l"ordre une carte de chaque jeu. Il y faut bien sžr une grande dextŽritŽ, et n"est pas magicien qui veut?;?mais les p cartes une succession de pmŽlanges Faro permet de revenir ˆ l"ordre initial. Ainsi, pour un le prŽcieux site Image des MathŽmatiques permet d"approfondir la question, avec l"article Ç?MŽlanges de cartes et mathŽmatiques?È, de Bruno Belhoste. Beaucoup plus simple?: un joli tour qui utilise la preuve par neuf?! Sur un tableau carrŽ 3 x 3 o sont rangŽs dans l"ordre les chiffres de 1 ˆ 9, le magicien demande ˆ un spectateur de choisir une ligne et une colonne et de former deux nombres de 3 chiffres ˆ partir des chiffres de chacune, dans l"ordre qu"il voudra. Il doit ensuite effectuer leur multiplication et indiquer au magicien les chiffres autres que zŽro du produit obtenu? : tous sauf un...que le magicien va dŽterminer. C"est facile, car?chacun de ces nombres est forcŽment multiple de 3, et leur produit est donc un multiple de 9. La somme de ses chiffres doit donc tre congrue ˆ zŽro modulo 9, ce

Mathématiques et magie193

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qui permet de dŽterminer ˆ coup sžr le chiffre manquant?: ˆ coup sžr, car on a ŽcartŽ

zŽro, Žgal ˆ 9 modulo 9?! Le dernier tour dŽvoilŽ est la multiplication de 142 857 par un nombre N de taille donnŽe, taille qui dŽpendra de la dextŽritŽ du calculateur. C"est un des tours que Jean- Baptiste Aubin a expliquŽ dans sa confŽrence, et je le rŽsume ici. Pourquoi ce nombre?? Parce que c"est la pŽriode du dŽveloppement dŽcimal de 1/7?!

Et donc?:

142 857 7 999 999 1 000 000 1.

Multiplier par 7qle nombre 142 857 n"est donc pas bien difficile, cela donne?: q 10 6 q Pour multiplier N par 142857, on va donc commencer par diviser N par 7, ce qui se fait facilement de tte par exemple pour les nombres de 2 chiffres.

Ë partir de N 7qr, il vient?: 142 857 N q

10 6 q142 857 r. c"est un nombre cyclique, au sens o ses multiples successifs, de 1 ˆ 6 s"Žcrivent par une simple permutation circulaire de ses chiffres. Il suffit de conna"tre le premier chiffre, et comme ces 6 multiples sont en ordre croissant, le premier chiffre de

1 142 857 =?142 857

2 142 857 = 285 714

3 142 857 = 428 571

4 142 857 = 571?428

5 142 857 = 714 285

6 142 857 = 857?142

Multiplions par exemple 142 857 par 23.

23 3 7 2.

Le rŽsultat est donc?: 3 000 000 - 3 + 285 714 = 3 285 711. Il faut certes un peu d"agilitŽ calculatoire, mais nul besoin d"tre un calculateur prodige?! leur curiositŽ et leur plaisir de jouer. On ne peut qu"applaudir les organisateurs de cette exposition et plus gŽnŽralement tous ceux qui dŽploient des trŽsors d"intelligence et de gŽnŽreuse inventivitŽ pour animer cette belle structure qu"est la Maison des MathŽmatiques et de l"Informatique de Lyon. 1 7 =0,14285171428517?

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Combelles.qxp_Mise en page 1 23/03/2017 19:10 Page194quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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