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Pour conduire un commentaire de documents en Géographie, il faut commencer par: lire le titre et les documents, prendre connaissance des questions qui accompagnent les documents, analyser les documents en vue de faire la synthèse.
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Chapitre 1 : Taux d'évolution
I ] Rappels de lycée pourcentages :
I.1. Pourcentage :
Calculer t % d'une quantité A c'est faire :
tA100 Exercice : Dans une assemblée de 550 députés, 8 % sont des avocats. Combien y a-t-il de députés dont le métier est avocat ? Si 11 députés seulement étaient avocats, cela représenterait quel pourcentage desAugmentation ou diminution en pourcentage :
quantité A augmente de t % . Sa nouvelle valeur est égale àA' = (1 + t /100) ×A
On appelle le réel k = 1 + (t / 100) le coefficient multiplicateur. quantité A diminue de t % . Sa nouvelle valeur est égale à :A' = (1 t /100) ×A
Le coefficient multiplicateur est de k = 1 (t / 100)Exercices :
1. Conséquence de la crise
entreprise de location de véhicules a baissé de 18 %. En 2012, son montant était de 120 000 euros. Calculer le budget de 2013.2. La facture hors taxes dune note de frais s'élève à 130 euros ; il y a 5 % de
TVA. Calculer le montant de la facture toutes taxes comprises. D a v i d R o l l a n d , U n i v e r s i t é M o n t p e l l i e r 3, A E S L1-S 1Page 2
I.2.Variations relatives :
Un nombre y1 devient y2 après avoir été multiplié par un nombre k ; le nombre k = y2/y1 est le coefficient multiplicateur qui permet de passer de y1 à y2.Définition :
La variation relative de y1 à y2 est : t =
, t est aussi appelé taux d'évolution. Si t est positif, l'évolution est une augmentation ; si t est négatif, l'évolution est une diminution. Remarque : y2 - y1 est appelé variation absolue.Exercices :
1. Un produit coûtant 2500 euros en 2012, a coûté 2800 euros en 2013.
Calculer le coefficient multiplicateur et la variation relative.2. Ce même produit coûtera 2600 euros en 2014. Calculer alors la
variation relative. D a v i d R o l l a n d , U n i v e r s i t é M o n t p e l l i e r 3, A E S L1-S 1Page 3
II ] Taux d'évolution
Définition : Le taux d'évolution (ou variation relative) entre deux nombres réels strictement positifs, y1 et y2 est le nombre te =On a alors y2 = (1 + te ) y1 ;
on dit que 1+ te = k est le coefficient multiplicateur. Si k >1 , cela correspond à une hausse, si k < 1 cela correspond à une baisse. Définition : Taux global : le taux global d'évolution correspondant à deux évolutions successives de taux respectifs t1 et t2 est le réel T tel que :1 + T = (1 + t1 ) ( 1 + t2 )
Exercice : La société Ventout a augmenté en 2012 son budget publicitaire de 15 % par rapport à son budget publicitaire de 2011. Elle l'a encore augmenté de 8 % en 2013 par rapport à celui de l'année précédente. Calculer le taux global T d'évolution du budget publicitaire sur la période2011-2013.
Définition :
Le taux moyen d'évolution correspondant à deux évolutions successives de taux respectifs t1 et t2 est le taux t qui, répété deux fois, fournirait le même taux global T. Donc ( 1 + t )² = 1 + T = (1 + t1 ) ( 1 + t2 ) Ce qui équivaut à 1 + t = ( 1 + t1 )( 1 + t2 ) Exercice suite : Quel est le taux moyen d'augmentation du budget publicitaire de la société Ventout entre 2011 et 2013. D a v i d R o l l a n d , U n i v e r s i t é M o n t p e l l i e r 3, A E S L1-S 1Page 4
Définition :
La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est le nombre réel positif k = a × b.Définition :
Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Pour tout réel a positif, il existe un unique réel x positif tel que xn = a . x est appelé racine n-ième de a , et on le note x = nnaaCas de n évolutions successives :
Le taux global d'évolution correspondant à n évolutions successives de taux respectifs t1 , t2 n est le réel T tel que :1 + T = (1 + t1 ) × ( 1 + t2 n ) .
Le taux moyen d'évolution correspondant à n évolutions successives de taux respectifs t1 , t2 n est le taux t qui, répété n fois, fournirait le même taux global T . Donc (1 + t )n = 1 + T = (1 + t1 ) × ( 1 + t2 n ) ce qui équivaut à 1 + t = n1T D a v i d R o l l a n d , U n i v e r s i t é M o n t p e l l i e r 3, A E S L1-S 1Page 5
Exemples :
Le SMIC horaire a augmenté de 5,2 % en 2001 par rapport à l'année2000, de 3,2 % en 2002 puis de 3,8 % en 2003.
On a alors k1 = 1 + t1 = 1,052 ; k2 = 1 + t2 = 1,032 et k3 = 1 + t3 = 1,038.Le coefficient multiplicateur global est
k = k1 ×k2 ×k3 = 1,052 ×1,032 ×1,038 = 1,127 ( arrondi à 0,001) . On n'en déduit : le SMIC horaire a augmenté de 12,7 % entre2000 et 2003.
Le taux moyen d'augmentation t vérifie l'égalité ( 1 + t )3 = 1,127 soit 1 + t = 1,1271/3 = 1,041. Soit un taux moyen annuel d'augmentation égal à 4,1 %. Le baril de pétrole a augmenté de 17,5 % en un an. L'augmentation moyenne mensuelle correspondante est égale à1 + t = 1,1751/12 = 1,0135.
Soit une augmentation mensuelle moyenne de 1,35 %.Taux d'évolution réciproque :
Pour une évolution de y1 à y2 , de taux d'évolution t , l'évolution réciproque de y2 à y1 multiplicateur l'inverse du coefficient multiplicateur de y1 à y21 + t .
D a v i d R o l l a n d , U n i v e r s i t é M o n t p e l l i e r 3, A E S L1-S 1Page 6
III ] Approximation de taux d'évolution
Formules d'approximations au voisinage de zéro : lorsque t est un nombre proche de zéro, on a les formules d'approximations suivantes : (1 + t )²1 + 2t ; 1
1 + t 1 t On considère des taux d'évolution t petits, c'est-à-dire proche de zéro :Propriétés :
Si on a 2 variations successives d'un même taux t proche de 0, alors 2t est une approximation du taux global d'évolution. Si t est le taux, proche de 0, d'une évolution alors - t est une approximation du taux de l'évolution réciproque.Exercice 1 : Un
bénéficié depuis de deux augmentations successives de 2 %.1. À l'aide d'une formule d'approximations pour les petits taux
d'évolution, donner une valeur approchée t' sous forme de pourcentage, du taux d'évolution global t du salaire après les deux augmentations.2. Utiliser la valeur de t' pour déterminer une valeur approchée S' du
salaire S du technicien après les deux augmentations.3. Calculer la valeur exacte sous forme de pourcentage du taux
d'évolution global t.4. En déduire la valeur exacte du salaire S après les deux
augmentations.5. Vérifier que la différence S S' est inférieure à 50 centimes d'euros.
Exercice 2
dernière. D a v i d R o l l a n d , U n i v e r s i t é M o n t p e l l i e r 3, A E S L1-S 1Page 7
1. Calculer le prix P1 du kilo de cette matière première après une
hausse de 1 %.2. Calculer le coefficient multiplicateur k1 de la baisse qu'il faudrait
appliquer au prix du kilo de cette matière première pour qu'ils -4 .3. En déduire le taux d'évolution t1 de cette baisse sous forme de
pourcentage.4. À l'aide d'une formule d'approximations pour les petits taux
d'évolution, donner une valeur approchée t2 du pourcentage de la baisse qui ramènerait le prix du kilo de matière première de P1 à 1405. En faisant baisser le prix P1 de t2 % , retrouve-t-
IV] Indice simple en base 100
Définition :
y1 et y2 étant deux nombres réels strictement positifs, l'indice simple en base 100 de y2 par rapport à y1 est : I = 100 y2 Si I est l'indice de y2 par rapport à y1 alors I100 = y2
y1 est le coefficient multiplicateur de y1 à y2. Pour traduire des évolutions successives, on utilise souvent la notion d'indice : on choisit une date de référence n , on détermine l'évolution par rapport à cette date de référence. À cette valeur de référence, on affecte l'indice 100. Les autres indices sont calculés ainsi :Indice à la date k = valeur à la date k
valeurs à la date de référence × 100 D a v i d R o l l a n d , U n i v e r s i t é M o n t p e l l i e r 3, A E S L1-S 1quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4[PDF] association de plusieurs documents en un seul fichier pdf
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