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Physique Documents de cours - Équations locales de l"électromagnétisme

Documents de cours - Équations locales de

l"électromagnétismeIntroduction

Nous avons sommes pour l"instant limités à l"électrostatiqueet à lamagnétostatique, pour lesquels les

champs électrique-→Eet magnétique-→Bétaient découplés. Nous allons ici aborder l"électromagnétisme dans

un domaine plus large, comprenant les régimes variables, pour lesquels champs électrique et magnétique sont

indissociables et forment lechamp électromagnétique. Nous introduirons notamment leséquations de

Maxwellrégissant le couplage entre ce champ et les sources (charges et courants).MP

2- Année 2021/2022 1 Lycée Janson de Sailly

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I Un peu d"analyse vectorielle...

Nous aurons besoin de nouveaux opérateurs mathématiques afin de formaliser de façon compacte les notions

d"électromagnétisme. Nous les introduisons ici de façon non exhaustive

1, et nous verrons leur signification

physique par la suite.

I.1 Opérateurs scalaires et vectoriels

On notera que tous les opérateurs présentés ensuite sont linéaires. a) Opérateur gradientLegradientqui est un opérateurvectorielagissant sur unscalaire.

Par exemple, en coordonnées cartésiennes

2, pour une fonctionfscalaire:

grad f=∂f∂x -→ux+∂f∂y -→uy+∂f∂z -→uz=( (((((((∂f∂x ∂f∂y ∂f∂z )))))))En coordonnées cylindriques : --→grad f=∂f∂r -→ur+1r ∂f∂θ -→uθ+∂f∂z -→uzEn coordonnées sphériques : --→grad f=∂f∂r -→ur+1r ∂f∂θ -→uθ+1rsinθ ∂f∂? -→u?b) Opérateur divergence Ladivergenceest un opérateurscalaireagissant sur une grandeurvectorielle.

Par exemple, en coordonnées cartésiennes

3: Div -→a=∂ax∂x +∂ay∂y +∂az∂z

Afin de retenir cette expressionen coordonnées cartésiennes uniquement, on peut l"écrire sous la forme

d"un produit scalaire : Div -→a=( (((((((∂∂x ∂∂y ∂∂z (a x a y a z) )1. On se reportera au formulaire d"analyse vectorielle pour davantage de détails.

2. Les expressions en coordonnées cylindriques et sphériques seront systématiquement données dans les énoncés des problèmes.

3. Les expressions en coordonnées cylindriques et sphériques seront systématiquement données dans les énoncés des problèmes.MP

2- Année 2021/2022 2 Lycée Janson de Sailly

Physique Documents de cours - Équations locales de l"électromagnétisme c) Opérateur rotationnel Larotationnelest un opérateurvectorielagissant sur une grandeurvectorielle.

En coordonnées cartésiennes

4:

Rot-→a=?∂az∂y

-∂ay∂z -→ux+?∂ax∂z -∂az∂x -→uy+?∂ay∂x -∂ax∂y -→uz=( (((((((∂a z∂y -∂ay∂z ∂a x∂z -∂az∂x ∂ay∂x -∂ax∂y

)))))))Afin de retenir cette expressionen coordonnées cartésiennes uniquement, on peut l"écrire sous la forme

d"un produit vectoriel :

Rot-→a=(

(((((((∂∂x ∂∂y ∂∂z (a x a y a z) )d) Opérateurs Laplacien scalaire et Laplacien vectoriel

LeLaplacienest :

soit un op érateurscalaireagissant sur une grandeurscalaire, et on le noteΔ. Pour une fonctionf

scalaire, en coordonnées cartésiennes5:

Δf=∂2f∂x

2+∂2f∂y

2+∂2f∂z

2Afin de retenir cette expressionen coordonnées cartésiennes uniquement, on peut l"écrire sous la forme

d"un produit scalaire :

Δf=(

(((((((∂∂x ∂∂y ∂∂z (((((((∂∂x ∂∂y ∂∂z

)))))))f-soit un op érateurvectorielagissant sur une grandeurvectorielle, et on le note-→Δ. Pour une grandeur-→avectorielle, en coordonnées cartésiennes6:

Δ-→a=?∂2ax∂x

2+∂2ax∂y

2+∂2ax∂z

2? -→ux+?∂2ay∂x

2+∂2ay∂y

2+∂2ay∂z

2? -→uy+?∂2az∂x

2+∂2az∂y

2+∂2az∂z

2?

-→uzAfin de retenir cette expressionen coordonnées cartésiennes uniquement, on peut l"écrire sous la forme

d"un produit scalaire :

Δ-→a=(

(((((((∂∂x ∂∂y ∂∂z (((((((∂∂x ∂∂y ∂∂z (a x a y a z)

)4. Les expressions en coordonnées cylindriques et sphériques seront systématiquement données dans les énoncés des problèmes.

5. Les expressions en coordonnées cylindriques et sphériques seront systématiquement données dans les énoncés des problèmes.

6. Les expressions en coordonnées cylindriques et sphériques seront systématiquement données dans les énoncés des problèmes.MP

2- Année 2021/2022 3 Lycée Janson de Sailly

Physique Documents de cours - Équations locales de l"électromagnétisme d) Opérateur Nabla

Un moyen mnémotechnique pour retenir les expressions des trois opérateurs précédentsen coordonnées

cartésiennes uniquement, est de les exprimer à l"aide de l"opérateurvectorielNabla, noté-→?et défini par :

(((((((∂∂x ∂∂y ∂∂z )))))))On peut ainsi écrire : --→grad f=-→?fDiv -→a=-→? ·-→a--→ Rot-→a=-→? ?-→aΔf=-→? ·-→?f=-→?2fet

-→Δ-→a=-→? ·-→?-→a=-→?2-→aOn veillera cependant bien à ne pas utiliser cette notation dans les devoirs.

•-→A2=K[x-→ux-y-→uy] 1.

Calculer les op érateursdiver gence,r otationnelet L aplacienve ctorielasso ciésà chaque champ

de vecteurs. 2. Déterminer l"al luredes lignes de champ. Exemple MP

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I.2 Théorèmes d"analyse vectorielle

Introduisons maintenant deux théorèmes d"analyse vectorielle qui nous seront utiles dans tout le cours

d"électromagnétisme. a) Théorème d"OstrogradskyThéorème d"Ostrogradsky : -→a ,?(Σ)fermée,? (Σ)dΦ???? -→a·-→dSext flux de-→a= (V)Div-→a dτ où (Σ) est une surfaceferméede volume intérieur (V), orientée vers l"extérieurpar convention.dS(V) (S)ext?

???????Ce théorème permet de comprendre l"origine du terme de "divergence" : localement,dΦ =Div-→adτ,

et donc : •siDiv-→a >0,dΦ>0donc-→adiverge; •siDiv-→a <0,dΦ<0donc-→aconverge.Remarque MP

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Physique Documents de cours - Équations locales de l"électromagnétisme b) Théorème de Stokes Théorème de Stokes :?-→a ,?(C)fermé,? (C)dC???? -→a·-→d?orienté circulation de-→a=

(S)--→Rot-→a·-→dSorientéeoù (C) est un contourferméetorienté, et (S) une surface quelconque s"appuyant sur (C), etorientée avec la

règle du tire-bouchon de Maxwell ou la règle de la main droite.dS(V) (S)ext a) b) (C)dS (S) (C)dS (S) orientée

orientéeFigure1 -a) Par convention, pour une surface fermée, on oriente toujours le vecteur surface élémentaire?dS

vers l"extérieur de celle-ci. b) En revanche, lorsque la surface considérée est ouverte, le sens de?dSdépend de

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