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PHQ526
parDavid SÉNÉCHAL
Ph.D., Professeur Titulairer¢DAE4¼½
r^EÅ1c @B@tAE0 r¢BAE0 r^H¡1c @D@tAE4¼c JUNIVERSITÉ DESHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
30 mai 2018
2Table des matières
1 Équations de Maxwell7
A Charge électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.A.1 Forces et unités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.A.2 Quantification de la charge électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.A.3 Distributions de charge et de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
B Forces électrique et magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
C Champs électrique et magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
D Lois de Gauss et d"Ampère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
E L"induction électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
F Les équations de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2 Potentiels et énergie électromagnétiques25
A Les potentiels électromagnétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
B Particule chargée dans un champ électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
C Théorème de Poynting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
D Potentiels retardés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.D.1 Équation d"onde pour les potentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
2.D.2 Fonction de Green pour l"équation de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . .32
2.D.3 Ondes électromagnétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
E Électrostatique des conducteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
2.E.1 Loi d"Ohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
2.E.2 Distribution des charges dans un conducteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
2.E.3 Capacité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
3 Dipôles électriques et magnétiques41
A Moment dipolaire électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
B Développement multipolaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
C Moment quadripolaire électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
D Énergie d"une distribution de charge dans un potentiel externe. . . . . . . . . . . . . .46E Moment dipolaire magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
F Moment dipolaire magnétique et moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 G Force et couple sur un moment dipolaire magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .514 Champs macroscopiques57
A ChampsD,P,HetM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57B Conditions de continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
C Potentiel scalaire magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
4.C.1 Exemple : sphère avec aimantation uniforme.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
D Énergie électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
34TABLE DES MATIÈRES
5 Ondes planes dans le vide et les diélectriques67
A Ondes planes et représentation complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67B Polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
C Densité et flux d"énergie d"une onde monochromatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .73D Décomposition spectrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
E Lumière partiellement polarisée et paramètres de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . .77
6 Théorie de la constante diélectrique83
A Polarisabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
B Modèle de Drude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
C Équation de Clausius-Mossoti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
D Fréquence de plasma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
E Plasma en champ magnétique : magnétosphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 F Dispersion dans les conducteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 G Propagation dans un conducteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .997 Réflexion et réfraction105
A Incidence normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
B Incidence oblique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
C Angle de Brewster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
D Coefficients de réflexion et transmission. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
E Réflexion totale interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
F Réflexion et réfraction sur les conducteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
8 Propagation dans un diélectrique anisotrope119
A Tenseur diélectrique et systèmes cristallins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
B Surface des indices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
C Vecteur radial et surface des rayons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
D Polarisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
9 Guides d"ondes et cavités135
A Équation de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
B Réduction aux composantes longitudinales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137C Modes TEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
D Modes TE et TM dans un guide conducteur creux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143E Guide d"onde rectangulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
F Guides d"ondes à section circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
9.F.1 Guide d"onde creux à section circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
9.F.2 Distribution du courant dans un fil conducteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
9.F.3 Fibre optique à saut d"indice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
G Pertes d"énergie dans les guides d"onde à parois conductrices. . . . . . . . . . . . . . .157
H Cavités électromagnétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
I Facteur de qualité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
10 Rayonnement d"ondes électromagnétiques167
A Rayonnement par une source monochromatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 B Rayonnement multipolaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17010.B.1 Rayonnement dipolaire électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
TABLE DES MATIÈRES5
10.B.2 Rayonnement dipolaire magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
10.B.3 Rayonnement quadripolaire électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
C Antennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
10.C.1 Antenne linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
10.C.2 Résistance de rayonnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
10.C.3 Antennes réceptrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
10.C.4 Réseaux d"antennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
11 Diffraction187
A Diffraction scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
11.A.1 Diffraction vectorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
B Approximation de Fraunhofer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194 C Diffraction par une ouverture circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196D Principe de Babinet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
E Formule de Stratton-Chu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
12 Diffusion de la lumière205
A Diffusion par un électron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
B Théorie générale de la diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211
C Facteur de forme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213
D Fluctuations de densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214
13 Rayonnement par des charges ponctuelles221
A Champs produits par une charge en mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221 B Charge en mouvement uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225C Rayonnement non relativiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
D Cas où la vitesse est parallèle à l"accélération. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227
E Cas d"une orbite circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229
F Rayonnement synchrotron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23114 Formulation relativiste235
A Quadrivecteurs en relativité restreinte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236
14.A.1 Tenseurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238
14.A.2 Exemples d"invariants et de quadrivecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240
B Forme covariante des équations de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24214.B.1 Tenseur de Faraday. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243
C Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246
14.C.1 Formule de Larmor relativiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247
D Formulation lagrangienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249
15 Annexes257
A Formulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257
15.A.1 Notation indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257
15.A.2 Formules d"analyse vectorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258
15.A.3 Conversion entre les systèmes SI et gaussien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261
B Théorème de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262
D Polynômes de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265
Table des matières
E Fonctions de Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268
15.E.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268
15.E.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269
15.E.3 Fonctions de Bessel modifiées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271
F Méthodes de solution de l"équation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272
15.F.1 Propriétés des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272
15.F.2 Séparation des variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273
15.F.3 Séparation des variables en coordonnées cartésiennes. . . . . . . . . . . . . . .274
15.F.4 Séparation des variables en coordonnées sphériques. . . . . . . . . . . . . . . .275
15.F.5 Séparation des variables en coordonnées cylindriques. . . . . . . . . . . . . . .278
G Vecteurs et tenseurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .280
6CHAPITRE1
Équations de Maxwell
L"objectif de ce chapitre est l"établissement des lois fondamentales de l"électromagnétisme - soit les
équations de Maxwell - à partir des observations empiriques. Il s"agit donc d"un procédé inductif.
Les chapitres suivants seront, par contraste, plus déductifs. On suppose ici que ces lois sont déjà
connues; ce chapitre est donc en bonne partie composé de rappels.ACharge électrique
1.A.1Forces et unités
Les phénomènes électriques sont connus depuis l"Antiquité. THALÈSde Milet, six siècles avant notre
ère, savait que l"ambre1frotté pouvait attirer à lui de menus objets, comme des brindilles. Un mys-
tère fascinant a toujours entouré cette capacité des corps électrisés à exercer une force à distance sur
d"autres corps. Cependant, ce n"est qu"au 18e siècle, par une application de la méthode expérimen-
électrique» est un fluide qui peut s"écouler d"un corps à l"autre. Un corpsélectrifiépeut transmettre
ce fluide à un autre corps par contact direct. Il peut aussi attirer à lui des petits objets qui ne sont
pas au préalable électrifiés, mais qui le deviennent à son contact et qui sont par la suite violemment
repoussés par lui. En 1729, Stephen GRAYdistingue les corpsconducteurs, qui peuvent transporterle fluide électrique d"un objet à l"autre, des corpsisolants. Quelques années plus tard, CharlesDU
FAYpropose le modèle dit desdeux fluides: l"ambre frotté porte une électricité diterésineuse, alors
que le verre frotté porte une électricité ditevitrée. Les deux fluides s"attirent l"un l"autre et se neu-
tralisent lorsqu"ils entrent en contact. Par contre, deux corps portant des électricités du même type
se repoussent. Benjamin FRANKLINpropose plus tard la théorie dufluide unique: il n"y a qu"un typed"électricité, qui est normalement en quantité équilibrée dans les corps. C"est son surplus dans un
corps qui correspond à l"électricité vitrée (ou positive, selon Franklin) et son déficit qui correspond à
l"électricité résineuse (ou négative). Le 18e siècle voit aussi l"invention du condensateur, alors appelé
bouteille de Leyde, qui permet de stocker le fluide électrique pendant un certain temps.1.elektron, en grec
7Chapitre 1. Équations de Maxwell
La loi de Coulomb
À la fin du 18e siècle, l"influence de Newton pousse les savants à déterminer des lois quantitatives sur
les forces exercées par les corps électrisés. C"est Charles COULOMBqui, en 1785, réalise le premier des
expériences précises sur la grandeur de ces forces, à l"aide d"une balance à torsion de son invention.
du carré de la distance séparant les deux sphères, comme la force de gravité. De plus, cette force est
proportionnelle à la quantité de fluide électrique sur chaque sphère, est attractive si les deux objets
ont des charges de signes opposés, négative dans le cas contraire. Ainsi, la grandeur de cette force
s"exprime ainsi :F=keq1q2
r2(1.1)oùq1etq2dénotent la quantité de fluide électrique - lacharge électrique- sur les objets 1 et 2
respectivement, alors querest la distance séparant les deux objets etkeest une constante. Cetteaffirmation suppose bien sûr une méthode qui permet d"ajouter à répétition à un objet une quantité
fixe de fluide électrique, de manière à pouvoir quantifier le fluide électrique.Forces sur des fils portant des courants
L"invention de la pile électrique par Volta a permis l"étude des courants électriques et l"électrolyse.
Cette dernière a permis de mesurer un courant par la quantité de matière produite par électrolyse
en un temps donné. Suite à la découverte de Oersted sur l"influence d"un courant électrique sur une
boussole, André-Marie AMPÈREa mis en évidence les forces mutuelles entre des fils conducteurs
portant des courants électriques. Explicitement, deux fils conducteurs parallèles, séparés par une
distancer, dans lesquels circulent des courants I1et I2subissent une force mutuelle proportionnelleau produit des courants, attractive si les courants sont parallèles et répulsive s"ils sont antiparallèles.
La valeur de cette force est
F=kmI1I2L1L2
r2(1.2)où L1,2sont les longueurs des deux fils (cette formule n"est en fait qu"approximative, valable seule-
ment dans la limiterL1,L2). La constantekmest reliée à la constante de Coulombke. Du simple point de vue des unités, le rapportke=kma les unités d"une vitesse au carré, et on posera ke km=c2(1.3)oùcest une vitesse universelle et caractéristique des forces électromagnétiques, qui coïncide en fait
avec la vitesse de la lumière. En principe, cette vitesse peut être mesurée par des moyens strictement
électromagnétiques. En pratique, elle est maintenant une quantité définie : c=299 792 458 m=s (1.4) (le mètre est défini par la seconde et par cette valeur dec).Les unités de la charge électrique
Une formulation plus précise des lois de l"électromagnétisme requiert bien sûr la définition d"un sys-
tème d"unités de mesure pour la quantité de charge électrique, et donc une définition de la constante
8A. Charge électrique
kefigurant dans la loi de Coulomb (1.1), ou de la constantekmfigurant dans la formule (1.2). Le système international (SI) définit ke=140km=0
4(1.5)
où par définition0=4107, ce qui constitue en fait une définition de l"ampère.Nous adopterons plutôt, dans ce cours, le système d"unitésgaussien, ounaturel, dans lequel la
constantekeest l"unité. Dans ce système, l"unité de la charge électrique est dérivée des unités
mécaniques de force et de distance. Traditionnellement, ce système est conjugué avec le système
CGS (pour centimètre-gramme-seconde), dans lequel l"unité de force est le dyne (1 dyne=1 gramme.cm/s2=105newton). Mais cette association du système naturel avec le système CGSn"est pas essentielle. L"unité de charge électrique, appelée statcoulomb, est définie comme la quan-
tité de charge qui produit une force de 1 dyne lorsque les deux objets sont séparés de 1 cm. Ce
système a le net avantage de ne pas introduire de quantités dimensionnées nouvelles, par le biais de
constantes arbitraires comme0. Les unités dimensionnelles de la charge électrique sont simplement
(ML3=T2)1=2, où M désigne une masse, L une longueur et T un temps. Ce système est parfois désigné
par l"acronyme esu (electrostatic units), qui désigne également le statcoulomb. Dans ce système, la
formule (1.2) s"exprime comme F=1 c2I1I2L1L2
r2(1.6) L"annexe A explique comment convertir les unités gaussiennes en unités SI et vice-versa.1.A.2Quantification de la charge électrique
On sait, depuis les travaux de MILIKAN, que la charge électrique est quantifiée. Dans la compréhen-
sion actuelle des choses, chaque particule élémentaire possède une charge électrique bien définie, qui
caractérise son interaction électromagnétique (voir le tableau1.1). La charge d"un objet - macrosco-
pique ou non - est simplement la somme algébrique des charges associées à chacune des particules
qui le composent. La quantification de la charge électrique est expliquée dans le cadre des théories
unifiées des interactions fondamentales, de façon semblable à la quantification du spin en mécanique
quantique.2En dépit de la quantification de la charge, on peut en pratique la considérer comme une quantité
continue dans les corps macroscopiques, en raison du très grand nombre d"électrons qui peuventpasser d"un objet à un autre lors d"un contact. En pratique, les lois de l"électromagnétisme classique
sont exprimées en toute généralité à l"aide de distributions continues de charge et de courant.
La charge électrique est une quantité strictement conservée lors des interactions fondamentales : les
particules chargées peuvent changer de nature, mais la charge totale n"est pas modifiée. La conserva-
tion de la charge constitue l"une des symétries de base sur lesquelles se fonde notre compréhension
de l"Univers.L"équivalent magnétique de la charge électrique ne semble pas exister. La recherche des monopôles
magnétiques (c"est-à-dire de particules hypothétiques comportant une charge purement magnétique)
s"est toujours soldée par un résultat négatif. Ces recherches sont motivées par certaines théories
2. Signalons cependant que le détail de ces théories n"a pas jusqu"ici fait l"objet de confirmation expérimentale.
9Chapitre 1. Équations de Maxwell
nom charge (e) compositionélectron1 -
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